Angolo concavo e convesso

La classificazione tra angolo concavo e convesso si riferisce al prolungamento dei lati dell'angolo e riguarda, di conseguenza, la misura dell'ampiezza dell'angolo. Un angolo concavo è tale se contiene il prolungamento dei suoi lati; un angolo convesso è tale se non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

 

Dopo aver parlato dei metodi per il confronto tra angoli possiamo proseguire e studiare le proprietà che li contraddistinguono. In questa guida ci occuperemo della caratterizzazione degli angoli concavi e degli angoli convessi.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Terza Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Qui su YM ci sono tante altre lezioni dedicate agli angoli e rivolte agli studenti della scuola media, reperibili nella sezione di Geometria Piana.

 

Introduzione agli angoli concavi e convessi: i prolungamenti

 

Prima di partire con la classificazione degli angoli concavi e convessi è necessario spiegare agli alunni cosa sono i prolungamenti di segmenti e semirette.

 

Intuitivamente prolungare una semiretta o un segmento significa aumentarne la lunghezza, seguendone la direzione. Una frase del genere, per quanto intuitiva, può risultare di difficile comprensione; è molto meglio affiancare la spiegazione con l'ausilio dei disegni, dopotutto stiamo lavorando con oggetti geometrici.

 

 

Prolungamenti di un segmento

 

Per costruire i prolungamenti di un segmento di estremi A e B:

 

-  disponiamo il righello in modo che tocchi i due estremi A e B, e facciamo notare agli alunni che il righello è attaccato al segmento.

 

- Tracciamo due linee tratteggiate che proseguono nella stessa direzione del segmento, una dall'estremo A e l'altra dall'estremo B. Esse saranno i prolungamenti del segmento AB.

 

 

Prolungamento di un segmento

Prolungamenti di un segmento.

 

 

Prolungamento di una semiretta

 

Per costruire il prolungamento di una semiretta il procedimento è del tutto analogo:

 

- si allinea il righello alla semiretta;

 

- si traccia una linea tratteggiata dalla parte opposta alla semiretta, partendo dalla sua origine.

 

 

Prolungamento di una semiretta

Prolungamento di una semiretta.

 

 

Formalmente i prolungamenti di un segmento sono le semirette aventi origine negli estremi del segmento e direzione data dalla retta su cui giace il segmento. Com'è ovvio che sia, un segmento può avere al più due prolungamenti, perché sono presenti solamente due estremi da cui è prolungabile. Per la semiretta ci sarà un solo prolungamento che parte dall'origine e avente direzione data dalla retta su cui la semiretta giace.

 

Nel proporre agli alunni i concetti di prolungamento di un segmento e di una semiretta sarà importante non utilizzare un linguaggio troppo formale, perlomeno non in un primo momento. Appelliamoci al compromesso didattico al fine di evitare complicazioni accessorie: gli approfondimenti avverranno a tempo debito.

 

Angolo convesso e angolo concavo

 

Dopo aver introdotto la nozione di prolungamento di un segmento e di una semiretta, possiamo finalmente addentrarci nel cuore della spiegazione: la caratterizzazione degli angoli convessi e degli angoli concavi.

 

Cominciamo dai primi e proponiamo agli alunni la seguente figura

 

 

Angoli convessi


Esempi di angoli convessi.

 

 

Chiediamo agli alunni se notano qualche caratteristica comune ai tre angoli. Certamente la proprietà che li accomuna non è l'ampiezza, infatti l'angolo verde ha un'ampiezza maggiore rispetto all'angolo rosso che, a sua volta, ha una ampiezza maggiore rispetto all'angolo blu. A questo punto si domanderanno quale possa essere la caratteristica condivisa dai tre angoli, il che ci darà l'opportunità di spiegare che ci troviamo di fronte a tre angoli convessi.

 

La prima regola che i bambini dovranno memorizzare è la seguente: un angolo è convesso se non contiene i prolungamenti dei propri lati, o più precisamente delle semirette che lo individuano.

 

Proponiamo alcuni esempi e usiamo colori diversi per indicare i lati dell'angolo, in modo da facilitare l'esposizione.

 

 

Esempio di angolo convesso

 

Si prolunga il lato di colore blu, posizionando il righello in modo che aderisca al medesimo e disegnando una linea tratteggiata.

 

 

Prolungamento del primo lato

 

Si procede allo stesso modo per il lato di colore rosso.

 

 

Prolungamento del secondo lato di un angolo convesso

 

 

I prolungamenti non invadono l'angolo, indicato con l'archetto di colore grigio, ed è dunque un angolo convesso.

 

 

Prolungamenti dei lati di un angolo

 

Angoli concavi

 

Una volta che gli alunni avranno digerito il concetto di angolo convesso, non avranno di certo problemi nell'intuire che c'è un'altra famiglia di angoli, che prendono il nome di angoli concavi. Cos'è che li rende diversi dagli angoli convessi?

 

Prima di dire che cosa è un angolo concavo, proponiamo un esempio e usiamo colori diversi per indicare i lati dell'angolo, in modo da facilitare l'esposizione.

 

Rappresentazione di un angolo concavo

 

 

Si prolunga la semiretta blu con un tratteggio, facendo aderire il righello alla stessa.

 

Prolungamento del primo lato di un angolo concavo

 

Ora tocca al lato rosso dell'angolo. Si prolunga il lato con la stessa tecnica.

 

 

Prolungamento del secondo lato di un angolo concavo

 

 

I prolungamenti dei lati invadono l'angolo, dunque non è convesso. Lo chiameremo angolo concavo.

 

 

Prolungamenti dei due lati di un angolo concavo 

 

 

La definizione che gli alunni dovranno tenere a mente è la seguente: un angolo concavo è tale se contiene i prolungamenti dei propri lati.

 

 


 

A ben vedere l'unica difficoltà nell'apprendimento delle nozioni di angolo convesso e di angolo concavo potrebbe riguardare il linguaggio. I termini nuovi tendono a disorientare gli alunni, cui capita spessissimo di confondere i nomi, perdendo di vista l'aspetto geometrico delle definizioni. Insistiamo dunque con gli esempi grafici: i disegni saranno i nostri più importanti alleati.

 

Sempre a proposito di nomi nuovi, nella guida successiva (angoli notevoli) vedremo ulteriori classificazioni degli angoli ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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