Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

La proprietà distributiva della moltiplicazione stabilisce che moltiplicare un fattore per la somma di due numeri equivale a calcolare la somma tra il prodotto del fattore per il primo addendo e il prodotto del fattore per il secondo addendo.

Continuiamo con le proprietà delle operazioni. Qui ci occuperemo della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. In realtà, il procedimento stesso della moltiplicazione in colonna si basa essenzialmente su tale proprietà, sebbene questa cosa venga omessa agli alunni.

Per presentarla ai bambini converrà iniziare con esempi basati su oggetti concreti e può tornare utile ripassare gli schieramenti e l'interpretazione logica della moltiplicazione.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Terza Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Qui su YM sono presenti anche una lezione sulla proprietà distributiva ed una sulle proprietà della moltiplicazione rivolta agli studenti della scuola media.

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

I bambini devono capire l'importanza di tale proprietà e vederla come uno strumento che permette di risolvere anche i piccoli problemi quotidiani. Ecco perché è utile introdurre la proprietà distributiva con un problema.

Il nostro amico Lester oggi è in spiaggia e nota che ci tantissimi palloni così distribuiti:

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: esempio introduttivo.

Tenta di contarli uno ad uno, ma è noioso e si accorge che ci vuole molto tempo. Chiediamo ai bambini di dargli una mano: con lo spirito di osservazione che li contraddistingue, gli alunni capiranno subito che quello che hanno di fronte è uno schieramento di palloni, e per poterli contare velocemente possono calcolare la moltiplicazione 12x5. Vi sono infatti 5 righe da 12 elementi ciascuno.

Adesso proponiamo un piccolo esperimento. Cosa succede se si spezza lo schieramento di palloni in due schieramenti più piccoli? Il numero di palloni è cambiato? La risposta è no ( nota tecnica: per il principio di conservazione delle quantità discrete).

Applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

I bambini avranno il compito di valutare la veridicità della precedente affermazione, contando i palloni nei due schieramenti:

10x5=50 ; 2x5=10

Sommando il numero di palloni dei due schieramenti si ottiene 60.

Il precedente, semplice esempio spiega come funziona la regola della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. È il momento di formalizzarla: per moltiplicare un numero per la somma di due numeri possiamo moltiplicare il fattore per ciascun addendo, e in un secondo momento addizionare i prodotti parziali.

Apprendere la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma

A poco a poco gli alunni dovranno fare a meno delle rappresentazioni, altrimenti l'utilizzo della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma si rivelerebbe impossibile. Impiegherebbero infatti più tempo a fare i disegni rispetto al calcolo dell'operazione in colonna.

Come possiamo far sì che l'apprendimento non risulti traumatico?

Vediamo un piccolo esempio commentato. Obiettivo: determinare il risultato della seguente moltiplicazione senza incolonnamenti.

13x6

Per prima cosa, si scompone il moltiplicando come addizione di due numeri:

10+3

che è una buonissima scelta.

Successivamente si moltiplica il secondo fattore per ciascuno degli addendi:

(10x6)+(3x6)

dove 10x6 e 3x6 sono prodotti facilissimi da calcolare.

Il passaggio successivo consiste nell'addizionare tra loro i prodotti parziali

60+18=78

Riassumendo il tutto in un'unica riga:

13x6 = (10+3)x6 = 10x6 + 3x6 = 60 + 18 = 78

Un altro esempio, questa volta però usiamo le operazioni in riga da subito

13x5

Che cosa è avvenuto? Semplicissimo, abbiamo separato le decine e le unità del moltiplicando come somma. Fatto ciò, abbiamo moltiplicato i due addendi separatamente per il moltiplicatore, ottenendo i due prodotti parziali; infine si sommano i prodotti parziali.

Approfondimento: perché la moltiplicazione in colonna funziona?

Vi siete mai chiesti quale sia la logica della moltiplicazione in colonna? La risposta risiede proprio nella proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Ecco cosa succede quando eseguiamo moltiplicazioni con il moltiplicatore a più cifre. Ad esempio:

Nella moltiplicazione in colonna moltiplichiamo le unità del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo il primo prodotto parziale.

In seguito moltiplichiamo le decine del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo il secondo prodotto parziale. Lo zero del secondo prodotto parziale si inserisce perché, quando moltiplichiamo 1 per 43, implicitamente stiamo moltiplicando 10 per 43.

Guardiamo ora la stessa moltiplicazione in riga e facciamo la stessa cosa. Il prodotto tra 43x10 fornisce il secondo prodotto parziale nella moltiplicazione in colonna. Il prodotto 43x5 sarà invece il primo prodotto parziale.

Non è un caso: la moltiplicazione in colonna si basa proprio sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Come di consueto vi salutiamo incitandovi a proporre agli alunni esercizi gradualmente più difficili, e vi aspettiamo nella guida successiva. ;)

Buona Matematica a tutti!

Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)

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