Proprietà dissociativa della moltiplicazione

La proprietà dissociativa della moltiplicazione stabilisce che, in una moltiplicazione, se si sostituisce un fattore con due fattori tali che il loro prodotto coincida con il termine di partenza, il risultato dell'operazione non cambia.

 

Continuiamo il nostro percorso sulle proprietà di cui godono le operazioni. Gli alunni conoscono già la proprietà commutativa della moltiplicazione da tempo immemore, e da non molto la proprietà associativa della moltiplicazione. Qui parleremo la proprietà dissociativa della moltiplicazione. 

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Terza Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. L'argomento di questa guida viene trattato anche nella lezione sulla proprietà dissociativa e in quella sulle proprietà della moltiplicazione, dedicate agli studenti della scuola media.

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione

 

In questo caso iniziare con esempio di moltiplicazione con le quantità può essere elaborato e può confondere le idee, per cui preferiamo lavorare con i numeri.

 

Partire direttamente dalla regola espressa dalla proprietà dissociativa della moltiplicazione non è una cattiva idea: il prodotto di una moltiplicazione non cambia se si riscrive uno dei fattori come prodotto di altri numeri.

 

È davvero così difficile? Si sa, ormai gli alunni avranno già capito che la Matematica a parole diventa complicatissima, ma che poi nella pratica le regole diventano molto più semplici.

 

Senza ulteriori indugi, invitiamo i bambini a calcolare il prodotto tra i numeri 14 e 4:

 

14x4

 

Se gli alunni non sono sufficientemente allenati con il calcolo mentale, possono avvalersi della moltiplicazioni in colonna:

 

beginarrayccc 1 4 ×; 4 = ; cline1-3 5 6 endarray

 

e dunque ricorrere a carta e penna, o a una calcolatrice. C'è però uno strumento più comodo, veloce ed efficace: il cervello. :)

 

La proprietà dissociativa della moltiplicazione viene in nostro aiuto. Cerchiamo di scrivere il numero 14 come prodotto di due numeri. Se i bambini hanno difficoltà possono utilizzare la tabella della moltiplicazione che abbiamo già visto nella lezione sulle tabelline

 

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione: tavola pitagorica


Tavola pitagorica da 0 a 10.

 

 

Se il caso lo richiede, mettiamoci nei panni degli alunni e cerchiamo, insieme a loro, il numero 14 nella tavola pitagorica. Seguiamo la tabella con il dito fino a raggiungere la prima riga e la prima colonna, i numeri che troveremo nelle celle sono i fattori che scompongono il numero.

 

Ci accorgiamo che 14 è il prodotto tra 7 e 2, e infatti 7x2=14.

 

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione


Proprietà dissociativa della moltiplicazione.

 

 

Scriviamo 14 come prodotto di 7 e 2: stiamo effettuando quella che in matematica prende il nome di scomposizione.

 

Al secondo passaggio abbiamo 7x2x4.

 

A questo punto interviene la proprietà associativa della moltiplicazione, la quale semplifica parecchio il calcolo. Moltiplichiamo 2 e 4 così da ottenere 8.

 

7x2x4 = 7x(2x4) = 8

 

Rimane da calcolare il prodotto 7x8, che i bambini troveranno con l'ausilio delle tabelline: 7x8=56.

 

Il vantaggio è evidente, infatti abbiamo svolto la moltiplicazione senza impostare alcuna moltiplicazione in colonna. Volendo riassumere tutti i passaggi in una sola riga, abbiamo:

 

14x4 = 7x2x4 = 7x(2x4) = 7x8 = 56

 

 

Proponiamo un altro esempio, solo che in questo caso i bambini dovranno cavarsela da soli. L'obiettivo è calcolare

 

5x12

 

Chiediamo agli alunni di individuare il 12 nella tabella della moltiplicazione. Qui si presentano più possibilità, infatti 12 si può scrivere sia come 2x6, sia come 4x3. Quale scegliere tra le due scomposizioni? Facciamo sì che i bambini provino a seguire entrambe le strade. Solamente l'esperienza e il continuo esercizio permetteranno loro di sviluppare l'intuito necessario per seguire a priori la via più comoda.

 

5x12 = 5x2x6

 

A questo punto non resta che moltiplicare 5 e 2, 5x2=10, e in un secondo momento moltiplicare il risultato per 6

 

5x12 = 5x2x6 = (5x2)x6 = 10x6 = 60

 

Fantastico, i bambini hanno determinato il risultato senza mettere in colonna la moltiplicazione: un risparmio di tempo non indifferente!

 

Cosa succede se invece sostituiamo 4x3 al posto di 12?

 

5x12 = 5x4x3

 

Grazie alle tabelline, che ormai i bambini conosceranno a menadito

 

5x12 = 5x4x3 = 5x(4x3) = 5x12 = 60

 

Il risultato è ovviamente lo stesso nei due casi, sia con la prima che con la seconda scomposizione. L'unica regola che dovranno tenere a mente è la seguente: il prodotto dei due (o più) numeri che sostituiscono il fattore deve essere uguale a quest'ultimo.

 

 

Nota tecnica: esattamente come nel caso della proprietà dissociativa dell'addizione, precisiamo che la proprietà dissociativa non esiste in Matematica, anche se sarebbe più corretto dire che è l'altra faccia della medaglia della proprietà associativa. È una finta proprietà nata per questioni didattiche e che gli stessi insegnanti della Scuola Primaria mettono sovente in discussione.

 

Se i bambini utilizzeranno per bene la proprietà dissociativa della moltiplicazione, i conti diventeranno davvero molto, molto semplici da fare. Con un po' di allenamento diventeranno velocissimi e imbattibili nei calcoli a mente.

 

 


 

La prossima guida è dedicata alla proprietà invariantiva della divisione, dopodiché tratteremo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Non perdetevele! ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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