Proprietà associativa della moltiplicazione

La proprietà associativa della moltiplicazione stabilisce che, in una moltiplicazione con più di due fattori, se si sostituiscono due fattori qualsiasi con il loro prodotto (detto prodotto parziale) si ottiene lo stesso risultato.

 

Nelle guide dedicate alla seconda elementare abbiamo introdotto la proprietà commutativa della moltiplicazione. Qui di seguito ci occuperemo della proprietà associativa della moltiplicazione, un argomento delicato per gli alunni, che per inciso anche molti adulti tendono a dimenticare.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Terza Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. L'argomento è trattato in dettaglio anche nella lezione sulla proprietà associativa e in quella sulle proprietà della moltiplicazione, dedicate agli studenti delle scuole medie.

 

La proprietà associativa della moltiplicazione

 

Prima di enunciare la proprietà associativa della moltiplicazione conviene preparare il campo e proporre ai bambini un esempio con numeri e quantità.

 

Domandiamo ai bambini di eseguire la moltiplicazione:

 

2x3x4

 

Effettuiamo il calcolo con l'ausilio dei gruppi e dei grupponi.

 

Calcoliamo prima il prodotto 2x3. Ciò significa costruire 3 gruppi da 2 palline ciascuna. Moltiplicare il risultato per 4 significa creare 4 grupponi con 3 gruppi da 2 palline. In totale avremo 24 palline.

 

 

Proprietà associativa della moltiplicazione


Proprietà associativa della moltiplicazione con i gruppi: primo modo.

 

 

Ora proviamo a calcolare prima 3x4, ossia formiamo 4 gruppi di 3 palline. Moltiplicare per 2 significa infine creare 2 grupponi di 4 gruppi con 3 elementi ciascuno. Contando le palline otterremo ancora una volta come risultato 24.

 

 

proprietà-associativa-con-le-quantità


Proprietà associativa della moltiplicazione con i gruppi: secondo modo.

 

 

Proviamo a utilizzare le tabelline per avere una conferma sul risultato.

 

 

Proprietà associativa moltiplicazione e tabelline


Proprietà associativa della moltiplicazione con le tabelline: primo modo.

 

 

In questo caso moltiplichiamo il primo e il secondo fattore tra loro, abbiamo cioè associato i primi due fattori: 2x3=6. Successivamente abbiamo moltiplicato il prodotto parziale per il terzo fattore: 6x4=24.

 

Cosa succederebbe se associassimo i fattori in modo diverso?

 

Associamo tra loro il secondo e il terzo fattore, 3 e 4, così da ottenere 3x4=12. In un secondo momento moltiplichiamo il primo fattore, 2, per il prodotto parziale: 2x12=24.

 

Il risultato è ancora una volta 24.

 

 

Esempio sulla proprietà associativa della moltiplicazione


Proprietà associativa della moltiplicazione con le tabelline: secondo modo.

 

 

C'è anche una terza via, probabilmente la più delicata agli occhi degli alunni. Moltiplichiamo il primo e il terzo fattore: 2x4=8, e infine moltiplichiamo tale prodotto parziale per il fattore rimasto fuori dai giochi, 3. Otteniamo 8x3=24.

 

 

Terzo esempio sulla proprietà associativa della moltiplicazione


Proprietà associativa della moltiplicazione con le tabelline: terzo modo. 

 

 

Alla luce del precedente esempio l'enunciato della regola della proprietà associativa della moltiplicazione sembrerà del tutto ragionevole agli alunni: in una moltiplicazione a più fattori, se sostituiamo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.

 

Prima di cimentarci con ulteriori esempi, a questo punto è bene far notare ai bambini la somiglianza tra questo enunciato e quello della proprietà associativa dell'addizione, che abbiamo affrontato in una delle precedenti guide.

 

Altri esempi sulla proprietà associativa della moltiplicazione

 

Proviamo a fare qualche altro esempio:

 

3x5x4

 

Ormai i bambini conosceranno alla perfezione le tabelline e sapranno sicuramente che 3x5 fa 15, per cui il calcolo si riduce a

 

3x5x4 = (3x5)x4 = 15x4 = 60

 

Ora proviamo a suggerire un procedimento diverso e in particolare di associare prima il secondo ed il terzo fattore. 5x4 fa 20, e grazie alla proprietà associativa per la moltiplicazione i bambini passeranno alla moltiplicazione a due fattori

 

3x5x4 = 3x(5x4) = 3x20 = 60

 

Eseguire questa moltiplicazione è molto più semplice, perché la presenza dello zero semplifica molto la vita! :)

 

 

Un ultimo esempio, questa volta un po' più complicato. Proponiamo il seguente esercizio:

 

3x2x4x5

 

Eseguendo i conti da sinistra a destra, i bambini calcoleranno il primo prodotto parziale

 

3x2=6

 

Successivamente moltiplicheranno il prodotto ottenuto per 4

 

6x4=24

 

e infine si ritroveranno con

 

24x5=120

 

ottenendo il risultato. In una riga:

 

3x2x4x5 = (3x2)x4x5 = 6x4x5 = (6x4)x5 = 24x5=120

 

Tanta fatica che può essere evitata utilizzando la proprietà associativa per la moltiplicazione in un modo più furbo. Eseguendo il prodotto tra 3 e 2 e tra 4 e 5, la tavola pitagorica ci dice che 3x2=6 e 4x5=20:

 

3x2x4x5 = (3x2)x(4x5) = 6x20 = 120

 

La presenza dello zero, elemento assorbente della moltiplicazione, facilita il calcolo che può essere fatto a mente!

 

Dall'esempio si evince la particolare utilità della proprietà associativa della moltiplicazione nel caso delle moltiplicazioni con più fattori, utilità che sarà opportuno ribadire agli alunni con altri esempi: non conviene partire a raffica con i calcoli. Prima è cosa buona e giusta capire se, associando determinate coppie di fattori, esiste la possibilità di semplificare i calcoli.

 

Importanza della proprietà associativa della moltiplicazione

 

Come nel caso delle proprietà già viste, l'importanza è legata all'utilità. Con la pratica, i bambini riusciranno a fare a meno della calcolatrice, miglioreranno nel calcolo mentale e alleneranno le proprie capacità analitiche.

 

 


 

Per il momento è tutto. Non perdetevi le prossime guide: affronteremo dapprima la proprietà dissociativa della moltiplicazione, dopodiché passeremo all'importantissima proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. :)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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