Proprietà associativa dell'addizione

La proprietà associativa dell'addizione stabilisce che, in un'addizione con più di due addendi, se si sostituiscono due addendi con la loro somma (detta somma parziale) si ottiene comunque lo stesso risultato.

Dopo la serie di guide dedicate alla Geometria, con cui abbiamo concluso la parte relativa alla seconda elementare, ripartiamo con la terza tornando a parlare di Algebra ed in particolare della proprietà associativa dell'addizione. In questa guida ne vediamo l'enunciato e spieghiamo a cosa serve, corredando il tutto con esempi svolti. Insomma, tutto quello che servirà sapere agli alunni.

Per chi se la fosse persa, ricordiamo che in precedenza ci siamo già occupati di una proprietà dell'addizione, la prima e più intuitiva: la proprietà commutativa dell'addizione. Nel caso lo riteneste necessario, vi raccomandiamo di far fare un ripasso ai bambini prima di proseguire.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Terza Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Per chi fosse interessato, su YM sono disponibili anche delle lezioni dedicate agli studenti delle scuole medie. Le potete consultare qui: proprietà associativa e proprietà dell'addizione.

La proprietà associativa dell'addizione

Cosa dice la proprietà associativa dell'addizione? Prima di proporre l'enunciato agli alunni, partiamo da un esempio. Immaginiamo di voler calcolare la seguente addizione con più addendi:

10+5+17+3

Chiediamo ai bambini se si ricordano come si svolgono le addizioni con più addendi, ed eventualmente rinfreschiamone la memoria con un piccolo ripasso:

- si esegue il calcolo tra i primi due addendi

10+5=15

- la somma parziale viene sommata al terzo addendo

15+17=32

- la somma ottenuta nel passo precedente verrà sommata con il quarto addendo

32+3=35

Il risultato è proprio 35.

Ora proponiamo ai bambini un procedimento diverso. Chiediamo loro di:

- sommare 10 e 5 e ricavare il primo risultato parziale

10+5=15

- addizionare 17 e 3 e ricavare la seconda somma parziale

17+3=20

- per concludere, sommare i risultati parziali ottenuti

15+20=35

Scriviamo il procedimento appena seguito con le parentesi:

10+5+17+3=

=(10+5)+(17+3)=

=15+20=35

Facciamo notare agli alunni che abbiamo ottenuto lo stesso risultato. L'invarianza del risultato non è casuale, perché abbiamo fatto intervenire una delle proprietà dell'addizione. In sostanza abbiamo sostituito a due addendi la loro somma, e nonostante ciò la somma finale non è cambiata.

Eccoci al cuore della lezione! A questo punto possiamo enunciare la regola della proprietà associativa dell'addizione: nelle addizioni con più addendi, se sostituiamo due o più addendi con la loro somma, il risultato finale non cambia.

Esempio sulla proprietà associativa dell'addizione con le quantità

A questo punto, con ogni probabilità, gli alunni potrebbero manifestare qualche perplessità. Proviamo con le quantità, sarà anche un modo per riprendere l'interpretazione logica dell'addizione.

Immaginiamo di voler calcolare

3+4+6

e rappresentiamo le quantità come tre gruppi: uno di tre elementi, uno di quattro elementi, uno di sei.

Chiediamo ai bambini di applicare ciò che hanno appreso sull'addizione con più addendi e guidiamoli nel calcolo. Addizioniamo i primi due addendi e facciamo notare che, dal punto di vista delle quantità, ciò corrisponde ad unire i due gruppi.

3+4=7

Proprietà associativa dell'addizione con le quantità: primo modo.

Successivamente raggruppiamo i tre insiemi e contiamo le quantità coinvolte

7+6=13

che è proprio il risultato dell'addizione considerata inizialmente.

Ora calcoliamo nuovamente l'addizione e raggruppiamo gli addendi in modo diverso. Prima prendiamo in considerazione l'insieme con 4 elementi e quello con 6 elementi:

4+6=10

Proprietà associativa dell'addizione con le quantità: secondo modo.

Infine, raggruppiamo i tre insiemi e contiamo gli elementi

3+10=13

Facciamo notare ancora una volta che la somma è rimasta la stessa.

Nota tecnica (a vostro uso e consumo): la proprietà associativa dell'addizione riflette implicitamente il principio di conservazione delle quantità discrete. Molto più semplicemente, raggruppando in modo diverso un insieme di oggetti, il loro numero non cambia.

Importanza della proprietà associativa dell'addizione

Capire il perché di ogni cosa, in Matematica, è al contempo un obiettivo e un incentivo. Dopo aver spiegato agli alunni la proprietà associativa dell'addizione, corroborando l'enunciato con altri esempi oltre a quelli già visti, è nostro preciso compito far sì che essi ne comprendano l'utilità.

La proprietà associativa dell'addizione si rivela molto utile nei calcoli, soprattutto quando abbiamo a che fare con gli amici del dieci, ossia quelle coppie di numeri che sommati tra loro danno 10. Prima di calcolare le addizioni meccanicamente è importante prestare attenzione e cercare di semplificarci la vita.

La proprietà associativa, insieme alla proprietà commutativa per l'addizione, diventa uno strumento potentissimo che ci aiuterà a calcolare a mente le addizioni. 

Supponiamo ad esempio di voler calcolare la somma

13+8+7+22

procederemo nel modo seguente:

- per prima cosa utilizziamo la proprietà commutativa dell'addizione. Scambiamo di posto 8 e 7, in modo da poter sfruttare la presenza delle coppie di amici del dieci

13+7+8+22

- dopo aver scambiato i posti possiamo addizionare in modo furbo

13+7=20

8+22=30

Queste addizioni sono facili perché 3 e 7 sommati danno 10, così come 8 e 2. Abbiamo così ridotto l'addizione dell'esempio a un'addizione molto più semplice: 20+30. Basta sommare le unità con le unità e le decine con le decine per arrivare velocemente al risultato

20+30=50

Ecco fatto, abbiamo detto tutto quello che servirà sulla proprietà associativa per l'addizione. A voi l'onere di proporre altri esercizi ed esempi, in modo che gli alunni riescano pian piano a padroneggiarla.

Nella guida successiva tratteremo un'altra importante proprietà, la proprietà dissociativa dell'addizione, nonché le proprietà che caratterizzano le altre operazioni. :)

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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