Punto, retta e piano

Punto, retta e piano sono detti anche enti geometrici fondamentali e sono concetti geometrici che vengono definiti intuitivamente: un punto è privo di dimensioni, una retta ha una sola dimensione e un piano ne ha due. A partire da punto, retta e piano vengono definiti tutti gli altri enti geometrici.

 

Immaginiamo di voler costruire un palazzo di molti piani. Da quale piano partiamo? Ovviamente dal piano terra. Successivamente costruiremo il primo piano, poi il secondo, il terzo, il quarto e così via... E che dire delle fondamenta? :) Per costruire il palazzo di Geometria dobbiamo partire proprio da lì, ossia da punto, retta e piano.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Per chi fosse interessato, c'è anche una lezione sugli enti geometrici fondamentali dedicata agli studenti delle scuole medie.

 

Punto, retta e piano: gli enti fondamentali della geometria

 

Il punto, la retta ed il piano vengono considerati gli enti fondamentali della Geometria proprio perché da essi discendono tutti gli altri concetti geometrici. Ma cosa sono, di preciso? Non è affatto facile rispondere a questa domanda.

 

Punto, retta e piano sono idee. Il cervello è in grado di immaginarle ma non possiamo trovare esempi concreti che le rappresentino esattamente nella realtà; possiamo però trovare tanti esempi di oggetti che ne approssimino le caratteristiche.

 

Punto

 

I bambini dovrebbero già avere un'idea intuitiva di cosa sia il punto. Se lo domandassimo risponderebbero che un segno lasciato dalla penna su un foglio, la capocchia di uno spillo, o ancora il piccolo foro lasciato da una puntina sul muro sono esempi di punti. Questi sono riferimenti concreti per indicare qualcosa che assomiglia a un punto, ma cosa si può dire dal punto di vista matematico?

 

Il punto in Matematica è più piccolo di tutti gli oggetti che abbiamo nominato. Anzi, possiamo dire di più: è più piccolo di qualsiasi cosa che riusciamo a immaginare. 

 

Proprio per questo motivo diremo che il punto non ha dimensioni. Non è grosso, non è alto, non è basso, non è profondo.

 

Certamente gli alunni avranno sentito spessissimo frasi come "se cerchi il giocattolo, guarda in quel punto lì". Un'espressione del genere viene utilizzata per indicare la posizione di un oggetto. Ebbene il punto matematico serve proprio a questo, ossia a indicare una posizione. Se poniamo la questione in questi termini, la spiegazione sarà tutta in discesa.

 

Per semplificare le cose possiamo utilizzare il trattino lasciato dalla penna per indicare il punto, la fervida immaginazione dei bambini farà il resto.

 

Inoltre utilizzeremo le lettere maiuscole dell'alfabeto per dare un nome ai punti e per riferirci ad essi: A, B, C, D, ...

 

Retta

 

Altro concetto fondamentale della geometria è la retta. Abbiamo già parlato di linea retta nella guida didattica sulle linee, quindi bene o male gli alunni dovrebbero avere già un'idea di cosa sia, ma se ciò non bastasse non scoraggiamoci e forniamo altri esempi: uno spaghetto crudo, un filo lungo e teso, un fascio di luce che entra dallo spioncino di una porta.

 

Così come il punto anche la retta è solamente un'idea, ma in questo caso le caratteristiche sono diverse: la retta ha solo lunghezza e non ha spessore, né profondità. In termini equivalenti, la retta ha una sola dimensione.

 

Cosa intendiamo con ha solo lunghezza? Non è semplicissimo rispondere a una domanda del genere. Diciamo che se qualcuno ci chiedesse di rappresentare una retta su una lavagna non potremmo farlo, perché:

 

- non basterebbero tutte le lavagne di questo mondo. Non basterebbero nemmeno tutti i fogli perché una retta è davvero molto lunga, anzi ogni cosa che riusciamo ad immaginare sarà comunque meno lunga della retta: la retta ha una lunghezza infinita e non ha inizio e né fine

 

- è formata da infiniti punti allineati.

 

Per dare un'idea, immaginiamo di trovarci sulla spiaggia. Iniziamo a camminare sulla sabbia seguendo una sola direzione. Un piede dietro l'altro, lasciamo tante impronte che indicano il nostro passaggio. Ecco abbiamo delineato una linea retta formata da tante impronte. Allo stesso modo la retta matematica è formata da un'infinità di punti.

 

Per rappresentare una retta utilizzeremo una linea dritta, con dei tratteggi agli estremi che servono per indicare che la retta non ha inizio né fine. Riguardo ai nomi, per denotare le rette utilizzeremo le lettere minuscole del nostro alfabeto: a, b, c, d, ...

 

 

Rappresentazione di una retta

 

Ecco un esempio di retta. La lettera a ne indica il nome. I trattini servono per ricordare che la retta continua sia da una parte che dall'altra.

 

Una curva spezzata non è una retta

 

Questa non è una retta, infatti presenta dei cambi di direzione.

 

 

A meno di essere dei disegnatori precisissimi, se proviamo a disegnare una retta a mano libera otteniamo il più delle volte una linea storta. Per fare le cose per bene ci sono degli strumenti che ci possono aiutare: il righello e le squadrette.

 

 

Righello


Righello con cui tracciare linee dritte.

 

 

Squadretta 45-45 e 30-60


Altri due strumenti per disegnare le rette: le squadrette.

 

Piano

 

Per rappresentare un punto o una retta abbiamo bisogno di un piano. Come i primi due enti fondamentali, è un concetto che non ha un riscontro concreto nella realtà e ha due caratteristiche molto speciali:

 

possiede solo due dimensioni, vale a dire lunghezza e la larghezza, e non ha spessore;

 

- è infinito.

 

Se gli alunni dovessero riscontrare (come sicuramente accadrà) delle difficoltà nel digerire l'idea intuitiva di piano, possiamo proporre un semplice esempio. Immaginiamo un foglio di carta ben steso sul banco. Chiediamo ai bambini di usare l'immaginazione per farlo diventare sempre più lungo e sempre più largo, in modo che questo foglio copra prima tutta la stanza, poi tutto il mondo.

 

Ebbene questo foglio di carta straordinariamente grande non è ancora abbastanza: è ancora più piccolo del piano matematico.

 

 


 

Ci fermiamo qui. Nella guida successiva proseguiremo con ulteriori concetti geometrici e ci occuperemo, nello specifico, di rette, semirette e segmenti.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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