Proprietà commutativa per la moltiplicazione
La proprietà commutativa della moltiplicazione stabilisce che, in una moltiplicazione, scambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia. In modo equivalente, se in una moltiplicazione si scambiano moltiplicando e moltiplicatore, si ottiene lo stesso risultato.
I bambini nel calcolo delle prime moltiplicazioni avranno avuto modo di constatare che la moltiplicazione gode di una proprietà particolare: essa prende il nome di proprietà commutativa della moltiplicazione. Si tratta di una delle proprietà più note e anche chi ha un pessimo rapporto con la Matematica riesce facilmente a ricordarla.
Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Ci sono inoltre due lezioni che potrebbero interessarvi, dedicate agli studenti delle Scuole Medie: proprietà commutativa e proprietà della moltiplicazione.
Cos'è la proprietà commutativa della moltiplicazione?
La regola espressa dalla proprietà commutativa della moltiplicazione stabilisce che, in una moltiplicazione tra due numeri, il prodotto non cambia se si cambia l'ordine dei fattori.
Ricordiamo che con prodotto si intende il risultato dell'operazione di moltiplicazione.
Un errore che si commette spesso nell'enunciare tale proprietà è che si sostituiscono i termini prodotto con somma e fattori con addendi, il che vuol dire che non si pone abbastanza attenzione alle parole. È importante che gli alunni non facciano confusione tra la proprietà commutativa dell'addizione e quella del prodotto.
Non ci soffermeremo più di tanto su questo errore, seppur di per sé interessante da un punto di vista didattico: non è lo scopo di questa guida. Dobbiamo innanzitutto convincere i bambini del fatto che la proprietà funziona proponendo alcuni esempi.
Ormai gli alunni dovrebbero conoscere le tabelline e, ad esempio, sapranno che
3x2=6
In questa semplice moltiplicazione il primo fattore, ossia il moltiplicando, è 3. Il secondo fattore, ossia il moltiplicatore, è 2, mentre il prodotto è 6.
Cambiamo l'ordine tra i fattori e svolgiamo la nuova moltiplicazione
2x3=6
Facciamo notare ai bambini che il vecchio moltiplicando è diventato il moltiplicatore, mentre il vecchio moltiplicatore è diventato il nuovo moltiplicando; nonostante ciò, il risultato è lo stesso.
Cerchiamo di approfondire un po': il nostro obiettivo è mostrare agli alunni che la proprietà commutativa della moltiplicazione funziona sempre, e per farlo utilizzeremo tutti i mezzi a nostra disposizione.
Proprietà commutativa della moltiplicazione sulla linea dei numeri
Per cominciare verifichiamo con un esempio che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa facendo uso della linea dei numeri. Verifichiamolo nel caso della moltiplicazione 3x2 sulla linea dei numeri.
Moltiplicare 3 per 2 significa effettuare 2 salti ciascuno con ampiezza pari a 3 unità:
3x2 sulla linea dei numeri.
Ora cambiamo l'ordine dei fattori e svolgiamo la nuova moltiplicazione, 2x3, sulla linea dei numeri. Dobbiamo effettuare 3 salti di ampiezza 2:
2x3 sulla linea dei numeri.
Siamo arrivati allo stesso risultato, a conferma del fatto che la proprietà vale. Con ogni probabilità gli alunni non saranno ancora del tutto convinti e a tal proposito possiamo sempre ricorrere alle altre interpretazioni della moltiplicazione.
Proprietà commutativa della moltiplicazione con gli schieramenti
Possiamo mostrare la validità della proprietà commutativa della moltiplicazione mediante gli schieramenti. Giusto per cambiare, verificheremo la proprietà commutativa nel caso della moltiplicazione 5x3.
Disegniamo uno schieramento di gelati con 5 righe e tale da avere in ciascuna riga 3 oggetti.
5x3 con gli schieramenti.
I gelati sono 15, quindi 5x3=15.
Adesso cambiamo l'ordine dei fattori. Scriviamo 3x5 e disegniamo uno schieramento che lo rappresenti, dunque con 3 righe di 5 elementi ciascuno.
3x5 con gli schieramenti.
Anche in questo caso avremo 15 gelati. La proprietà commutativa della moltiplicazione continua a valere.
Proprietà commutativa della moltiplicazione con i reticoli
Possiamo anche mostrare, con un esempio a scelta, che la proprietà commutativa della moltiplicazione vale mediante i reticoli (oltretutto l'utilizzo degli incroci è forse il metodo più immediato e semplice).
Consideriamo il prodotto 3x5 e rappresentiamo un reticolo che ha 3 righe e 5 colonne.
Il numero di incroci è 15.
Cambiamo l'ordine dei fattori e consideriamo la moltiplicazione 5x3. Il reticolo in questo caso ha 5 righe e 3 colonne:
Il numero di incroci non è cambiato rispetto a prima: se contiamo bene, ci sono esattamente 15 incroci.
A cosa serve la proprietà commutativa della moltiplicazione?
Abbiamo detto cos'è la proprietà commutativa della moltiplicazione, ma a cosa serve? In che modo può aiutarci? Qui di seguito vi proponiamo i suoi principali utilizzi.
1) Ci aiuta a ricordare le tabelline.
Immaginiamo di non ricordare quanto fa 8x3. Se però ci ricordassimo la tabellina del 3, basterebbe cambiare l'ordine dei fattori e, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, ricordare che 3x8=24.
8x3 = 3x8 = 24
2) Ci permette di verificare la correttezza del risultato delle moltiplicazioni in colonna.
Vediamo come fare, come al solito facendo riferimento a un esempio. Vogliamo calcolare la moltiplicazione 23x15 in colonna. Una volta eseguita l'operazione, cambiamo l'ordine dei fattori e calcoliamo 15x23 in colonna.
Se i due risultati coincidono allora abbiamo svolto correttamente i conti. Se i due risultati sono diversi, allora abbiamo evidentemente sbagliato nel calcolo di una delle due operazioni, e sarà il caso di ripeterli entrambi.
Proprietà commutativa della moltiplicazione per la verifica dei risultati.
Entrambi i risultati coincidono, quindi l'operazione in colonna è corretta.
Con questo è tutto! Sarà fondamentale per i bambini esercitarsi moltissimo e svolgere parecchi esercizi, a voi il compito di assisterli. Per il resto vi aspettiamo nella guida successiva, dove parleremo della tavola pitagorica. ;)
Buona Matematica a tutti!
Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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