Interpretazione della moltiplicazione con il prodotto cartesiano

Moltiplicare due numeri può diventare un'impresa ardua, soprattutto quando questa nuova operazione viene spiegata senza il giusto metodo. Per evitare qualsiasi dubbio negli alunni è necessario giustificarne il senso in tutti i modi possibili.

 

Nella lezione precedente abbiamo visto che la moltiplicazione è un modo per esprimere una addizione ripetuta; qui invece vedremo la moltiplicazione come cardinalità del prodotto cartesiano.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Per chi fosse interessato c'è anche una lezione sul prodotto cartesiano dedicata agli studenti delle scuole medie.

 

Moltiplicazione come cardinalità del prodotto cartesiano

 

È evidente che non possiamo presentare l'argomento ai bambini usando da subito parole quali cardinalitàprodotto cartesiano, perché questo approccio richiede svariati prerequisiti: il concetto di insieme, di cardinalità di un insieme finito, di prodotto cartesiano e quello di coppia ordinata.

 

L'idea è di arrivarci gradualmente con l'ausilio di esempi e attività didattiche. Non è una strada semplice da percorrere, motivo per cui alcuni insegnanti preferiscono saltare a pié pari questo argomento. Dal canto nostro riteniamo che non vada assolutamente sottovalutato.

 

Che cos'è il prodotto cartesiano tra due insiemi?

 

La definizione di prodotto cartesiano richiede un piccolo ripasso sugli insiemi (finiti) e sulla loro cardinalità, che è il numero degli elementi che compongono gli insiemi.

 

Consideriamo due insiemi finiti A e B. Chiameremo prodotto cartesiano tra A e B, e lo indicheremo con AxB, il nuovo insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate tra A e B.

 

Cominciamo a proporre un esempio concreto. I nostri amici Lester ed Ester vanno in una pizzeria. Sul menù trovano le seguenti pietanze: pizza, patatine, panino.

 

Vediamo cosa possono scegliere Lester ed Ester aiutandoci con gli insiemi:

 

 

Rappresentazione sagittale del prodotto cartesiano


Introduzione al concetto di prodotto cartesiano tra due insiemi.

 

 

Nell'immagine abbiamo rappresentato due insiemi. Nel primo abbiamo Lester ed Ester; nel secondo abbiamo i piatti presenti nel menù: pizza, patatine e panino. Inoltre abbiamo collegato ciascun elemento del primo insieme con ciascun elemento del secondo, attraverso delle frecce che partono dal primo e arrivano al secondo insieme. 

 

Le frecce ci consentono di creare tutte le possibili coppie ordinate, che sono gli elementi del prodotto cartesiano tra i due insiemi.

 

 

Coppie ordinate di un prodotto cartesiano


Coppie ordinate come elementi del prodotto cartesiano tra due insiemi.

 

 

Elementi del prodotto cartesiano con una tabella a doppia entrata

 

Un modo comodo e veloce per individuare tutte le possibili coppie ordinate tra gli elementi di due insiemi prevede di ricorrere alle tabelle a doppia entrata.

 

Per scrivere una tabella a doppia entrata a partire da due insiemi, bisogna:

 

- lasciare vuota la prima cella;

 

- riportare nella prima colonna, a partire dalla seconda cella, gli elementi del primo insieme;

 

- riportare nella prima riga, a partire dalla seconda cella, gli elementi del secondo insieme.

 

- riempire la tabella inserendo le coppie ordinate in corrispondenza degli incroci tra le righe e le colonne.

 

Vediamo in dettaglio come si costruiscono le coppie ordinate. Il primo elemento della coppia non è altro che il primo elemento della riga corrispondente; il secondo elemento invece è il primo elemento della colonna corrispondente.

 

Riprendiamo l'esempio precedente. Gli insiemi sono:

 

A = Lester , Ester ; B = pizza, patatine, panino

 

Costruiamo la tabellina e riempiamola. Così facendo riusciamo ad elencare tutte le possibili coppie ordinate con gli elementi dei due insiemi, e siamo sicuri di non commettere alcuna dimenticanza.

 

 

 

PIZZA

PATATINE

PANINO

LESTER

(Lester, pizza)

(Lester, patatine)

(Lester, panino)

ESTER

(Ester, pizza)

(Ester, patatine)

(Ester, panino)

 

Prodotto tra due numeri

 

Dopo aver spiegato agli alunni che cos'è il prodotto cartesiano tra due insiemi, possiamo passare a parlare di prodotto tra due numeri come cardinalità del prodotto cartesiano. Attenzione, dovremo necessariamente usare una parola che risulterà difficile per i bambini: cardinalità.

 

Per cardinalità di un insieme si intende il numero di elementi dell'insieme. In realtà potremmo fare a meno di un termine così complicato, ma per gli alunni è utile imparare parole nuove. ;)

 

Partiamo da un esempio. Vogliamo calcolare il prodotto della seguente moltiplicazione

 

2x3

 

Il trucco è costruire due insiemi:

 

- il primo con tanti elementi quante sono le unità del moltiplicando, nel nostro esempio 2;

 

- il secondo con tanti elementi quante sono le unità del moltiplicatore, nel nostro esempio 3. 

 

Per rendere più interessante il processo potremo utilizzare dei disegni, ad esempio possiamo considerare le sciarpe e i cappellini del nostro amico Lester.

 

 

Tabella a doppia entrata per la moltiplicazione


Prodotto tra due numeri come cardinalità del prodotto cartesiano.

 

 

A questo punto contiamo tutte le coppie ordinate che abbiamo elencato. Sono 6 in tutto, pertanto

 

2x3=6

 

Il succo del discorso è che il prodotto cartesiano permette di definire l'operazione di moltiplicazione, in un modo alternativo e del tutto equivalente a quelli già noti agli alunni. Il prodotto tra due numeri è uguale al numero delle coppie ordinate che si possono formare con due insiemi, di cui:

 

- il primo ha tanti elementi quante sono le unità del moltiplicando;

 

- il secondo ha tanti elementi quante sono le unità del moltiplicatore. 

 

Abbiamo raggiunto il cuore della questione: abbiamo dato una definizione alternativa per la moltiplicazione e lo abbiamo fatto con l'aiuto degli insiemi.

 

Moltiplicare per 0 con il prodotto cartesiano

 

Abbiamo già detto che il prodotto tra un numero qualsiasi e 0 dà 0, esso è infatti l'elemento assorbente della moltiplicazione. Vediamo di giustificarne il risultato con il prodotto cartesiano.

 

Consideriamo la moltiplicazione

 

3x0

 

Cosa vuol dire? Significa considerare due insiemi, di cui uno di tre elementi e l'altro con 0 elementi. Quante coppie ordinate possiamo creare? Nessuna, quindi il prodotto cartesiano è formato da 0 coppie ordinate e tale sarà il risultato della moltiplicazione

 

3x0 = 0

 

Moltiplicare per 1 con il prodotto cartesiano

 

Occupiamoci infine dell'elemento neutro per la moltiplicazione mediante il prodotto cartesiano. Dire che 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione significa che la moltiplicazione tra un qualsiasi numero e 1 dà sempre il numero stesso.

 

Per dimostrare questa proprietà mediante il prodotto cartesiano basta considerare due insiemi, di cui uno con tanti elementi quante sono le unità del numero e l'altro con 1 solo elemento: il numero di coppie ordinate che possiamo costruire coincide con il numero stesso.

 

 


 

Per il momento è tutto, ma non scappate! Se siete interessati alle guide relative alla moltiplicazione per la Seconda Elementare, sappiate che ve ne sono molte altre qui su YM:

 

moltiplicazione

 

- moltiplicazione come cardinalità del prodotto cartesiano (quella che avete appena letto)

 

schieramenti e reticoli

 

tabelline

 

moltiplicazioni in colonna

 

proprietà commutativa della moltiplicazione

 

tavola pitagorica

 

Vi aspettiamo nella prossima guida didattica. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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Tags: interpretazione della moltiplicazione con il prodotto cartesiano per le scuole elementari.