Proprietà commutativa dell'addizione

La proprietà commutativa dell'addizione stabilisce che, in un'addizione, cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia. In altri termini la somma tra due addendi non dipende dall'ordine con cui si considerano gli addendi.

 

La proprietà commutativa dell'addizione è certamente una delle proprietà più famose in Matematica e tutti, bene o male, ne ricordano l'importanza. Essa permette di velocizzare il calcolo mentale e inoltre permette di controllare la correttezza del risultato di un'addizione.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Su YM sono anche presenti una lezione sulla proprietà commutativa ed una sulle proprietà dell'addizione, dedicate agli studenti delle scuole medie.

 

La proprietà commutativa dell'addizione

 

Prima di spiegare in cosa consiste la proprietà commutativa dell'addizione, inizieremo proponendo agli alunni un esempio: Ester ha 4 matite colorate e mentre Lester ne ha 3. Decidono di metterle in un unico astuccio. Quante saranno le matite, in tutto?

 

Innanzitutto inviteremo i bambini a rappresentare la situazione con dei disegni: da una parte le matite di Ester, dall'altra quelle di Lester.

 

 

Esempio sulla proprietà commutativa dell'addizione


Proprietà commutativa: primo modo di svolgere l'addizione.

 

 

Calcoliamo l'addizione come operazione:

 

4+3=7

 

Cerchiamo di attirare l'attenzione dei bambini e di incentivare la discussione, ponendo le seguenti domande:

 

- cosa succede alla somma se è Lester ad inserire per primo le sue matite?

 

- La somma è cambiata? 

 

Rappresentiamo anche questa situazione:

 

 

Secondo esempio sulla proprietà commutativa dell'addizione


Proprietà commutativa dell'addizione: secondo modo di svolgere l'addizione.

 

 

Facciamo quindi notare agli alunni che in questo caso l'addizione è

 

3+4=7

 

ma la somma è sempre la stessa!

 

 

Rappresentazione proprietà commutativa addizione


Proprietà commutativa dell'addizione:
la somma non dipende dall'ordine degli addendi.

 

 

Mettiamo in evidenza la morale dell'esempio: nonostante sia cambiato l'ordine degli addendi, la somma è sempre la stessa. I bambini potrebbero pensare che si tratti di un caso fortuito, dunque starà a noi convincerli del contrario, mostrando con altri esempi e con numeri diversi che questa regola continua a valere.

 

Dopo qualche esempio, potremo finalmente proporre la regola della proprietà commutativa dell'addizionecambiando l'ordine degli addendi, la somma non cambia.

 

Per rafforzare questo concetto nei bambini sarà opportuno utilizzare tutti i mezzi a nostra disposizione: la linea dei numeri e l'abaco potranno esserci di grande aiuto!

 

Proprietà commutativa dell'addizione sulla linea dei numeri

 

Ora vediamo di passare alla prima attività didattica per agevolare l'apprendimento della proprietà commutativa dell'addizione, facendo ricorso alla linea dei numeri.

 

Partiamo con un esempio: vogliamo sommare 4 a 11, ossia determinare il risultato dell'addizione

 

11+4

 

I bambini dovranno:

 

- individuare l'11 sulla linea;

 

- effettuare 4 salti in avanti, così da arrivare al numero 15.

 

 

Proprietà commutativa addizione con linea dei numeri


Proprietà commutativa dell'addizione sulla linea dei numeri - Primo modo.

 

 

Cosa succede se si cambia l'ordine degli addendi? Il primo addendo in questo caso è 4, il secondo è 11, e l'operazione da svolgere sarà

 

4+11

 

Questa volta i bambini individueranno il numero quattro e faranno 11 salti verso destra, e anche in questo caso la somma sarà ancora 15.

 

 

Esempio sulla proprietà dell'addizione con la linea dei numeri


Proprietà commutativa dell'addizione sulla linea dei numeri - Secondo modo.

 

Proprietà commutativa dell'addizione con l'abaco

 

Ora passiamo alla seconda attività didattica e mostriamo agli alunni che la proprietà commutativa dell'addizione può essere comprovata anche con l'abaco.

 

Calcoliamo l'addizione:

 

12+24

 

I bambini dovranno dunque riempire l'abaco inserendo 1 pallina decina nella guida delle decine e 2 palline unità nella guida delle unità. Il primo addendo è a posto. Aggiungiamo nella guida delle unità 4 palline unità, in seguito 2 palline decine nella guida delle decine. il risultato è 36.

 

Successivamente invertiremo l'ordine degli addendi. Ai bambini il compito di determinare la somma dell'addizione

 

24+12

 

Impostando nel modo corretto l'abaco, e contando le palline nella guida delle unità e in quella delle decine, otterranno lo stesso risultato: 24 + 12 = 36.

 

 

Proprietà commutativa dell'addizione con l'abaco


Proprietà commutativa dell'addizione con l'abaco.

 

Proprietà commutativa come prova dell'addizione in colonna

 

Le attività precedenti hanno un unico scopo: convincere i bambini della validità della proprietà commutativa dell'addizione. Gli alunni però, con ogni probabilità, non ne avranno ancora compreso l'utilità.

 

La proprietà commutativa in effetti permette di verificare la correttezza del risultato di un'addizione, e si rivela particolarmente utile nel caso delle addizioni in colonna. Ecco come procedere:

 

- si calcola la somma tra due numeri in colonna;

 

- si cambia l'ordine degli addendi e si esegue la nuova addizione in colonna.

 

Se i due risultati coincidono, allora i conti sono corretti.

 

Se i due risultati non coincidono, invece, vorrà dire che una delle due operazioni è sbagliata, ma quale?

 

 

Ecco un esempio di come dovrebbe essere utilizzata la proprietà commutativa per controllare l'esattezza del risultato. Consideriamo ad esempio l'addizione:

 

13+15

 

Il compito dei bambini prevede di incolonnare i numeri e sommarli, ottenendo 28 come risultato.

 

Dopo aver cambiato l'ordine degli addendi, i bambini eseguiranno la nuova operazione.

 

 

Proprietà commutativa per verificare un'addizione in colonna


Proprietà commutativa nelle addizioni in colonna.

 

 

I risultati sono uguali. 

 

Proprietà commutativa dell'addizione per il calcolo mentale

 

Oltre ad avere la funzione di controllo, la proprietà commutativa aiuta anche nei calcoli a mente! È soprattutto utile quando nell'addizione appaiono tre o più addendi (argomento che affronteremo in una delle guide successive).

 

Ad esempio, ecco come addizionare a mente e in modo furbo:

 

12+5+8

 

Solitamente si determina la somma 12+5, dopodiché il risultato ottenuto va sommato con il terzo addendo, ossia 8. Il risultato sarà 25, ma... che fatica! :P

 

Invitiamo i bambini a porre maggiore attenzione agli addendi in gioco: l'unità del primo addendo e il terzo addendo, 2 e 8, sono numeri amici del 10. La proprietà commutativa dell'addizione permette di cambiare di posto 5 e 8, così da sommare prima 12 e 8 e infine il 5.

 

 


 

Nelle prossime lezioni analizzeremo, via via, le altre proprietà delle operazioni elementari. Prima però ci occupiamo dei numeri dal 31 al 99.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione successiva

 
 

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