Circonferenza e cerchio per la Scuola Primaria
Nelle precedenti puntate abbiamo parlato di poligoni e di area dei poligoni. In questa guida continueremo a parlare di figure piane, ma ci occuperemo nello specifico di figure che non sono poligoni: il cerchio e la circonferenza.
Oltre a fornire le definizioni di base, proporremo delle dimostrazioni elementari su come si ricavano le formule della circonferenza e dell'area del cerchio, ovviamente adatte per gli alunni delle scuole elementari.
Nota: questa guida riguarda argomenti di Quinta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria. Su YouMath inoltre è presente una lezione rivolta agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: circonferenza e cerchio.
Cosa sono la circonferenza e il cerchio
Se i bambini osservano attentamente l'ambiente che li circonda, noteranno sicuramente che ci sono svariati oggetti rotondi:
Esempi di oggetti "rotondi".
La luna piena, una moneta, una ruota o ancora un'anello sono buoni esempi di oggetti che ricordano il cerchio e la circonferenza. Ma cosa sono queste due figure geometriche?
La circonferenza è una linea semplice chiusa (cfr: linee e tipi di linee) caratterizzata dal fatto che ogni suo punto si trova alla stessa distanza da un punto speciale, detto centro. Si chiama raggio ogni segmento che congiunge il centro con un qualsiasi punto della circonferenza.
Circonferenza, centro e raggio.
Ovviamente i raggi che congiungono il centro con i punti della circonferenza hanno tutti la stessa lunghezza.
Una buona attività didattica da proporre ai bambini consiste nel prendere una puntina e legare ad essa un filo di una lunghezza fissata. All'altra estremità del filo i bambini legheranno una matita, ottenendo un compasso rudimentale con cui disegnare circonferenze perfette.
Oltre al centro ed al raggio esistono diversi elementi della circonferenza. Il compito dei bambini consiste nel riconoscerli e impararne le definizioni.
Si chiama corda un qualsiasi segmento che congiunge due punti della circonferenza.
Qualsiasi corda che passa per il centro prende il nome di diametro. Quest'ultimo ha lunghezza doppia rispetto al raggio, e quindi il raggio ha lunghezza pari alla metà del diametro.
Un arco di circonferenza è la parte di circonferenza compresa tra due suoi punti qualsiasi, detti estremi dell'arco.
La semicirconferenza è un arco particolare, i cui estremi appartengono a un diametro.
La circonferenza divide il piano in due parti: una parte interna e una parte esterna. Si chiama cerchio la figura piana formata dai punti della circonferenza e da quelli interni alla circonferenza.
La parte di piano compresa tra una semicirconferenza e diametro si chiama semicerchio.
Purtroppo moltissimi bambini confondono la circonferenza con il cerchio e viceversa, sebbene siano concetti completamente diversi:
- la circonferenza è il contorno, ed è formata dai punti che stanno sul bordo;
- il cerchio invece è l'insieme dei punti interni alla circonferenza, quest'ultima inclusa.
Misura della circonferenza e area del cerchio
La circonferenza è una curva chiusa di cui è possibile calcolare la misura della lunghezza. A questo proposito interviene una costante matematica importantissima, che prende il nome di Pi Greco e che si indica col simbolo 
, che i bambini possono approssimare con il numero 3,14.
Una buona attività didattica che permette di capire come e perché nasce il numero consiste nel misurare la circonferenza dei tappi di alcuni barattoli che hanno diametri diversi. Per ciascun barattolo si contorna il tappo con un filo: in questo modo la lunghezza del filo coincide con la lunghezza della circonferenza del tappo. Si tagliano quindi altri tre pezzi di filo aventi lunghezza pari al diametro del tappo, e si adagiano l'uno a fianco all'altro come in figura.
La lunghezza della circonferenza è poco più grande di 3 volte la lunghezza del diametro.
Grazie a questa semplice attività didattica comprenderanno che la lunghezza della circonferenza è di poco più grande di 3 volte il diametro. Scriviamo una tabella in cui inserire le misure della circonferenza e del diametro associato, e in un secondo momento calcoliamone il quoziente:
La tabella mette in evidenza che il quoziente tra la circonferenza e il diametro è sempre lo stesso numero, che prende il nome di Pi Greco e che vale circa 3,14.
Per come è definita l'operazione di divisione, risulta inoltre
e poiché il diametro è il doppio del raggio, la formula della circonferenza si può riscrivere come
Riguardo all'area del cerchio, vale invece la formula
La dimostrazione per mostrare l'effettiva validità di tale formula è molto delicata e richiede attenzione. Proponiamo ai bambini la seguente immagine.
Il cerchio è suddiviso in settori e tagliato lungo un raggio. Nell'immagine a destra, i settori sono stati raddrizzati, così da formare un triangolo che ha come base la circonferenza e come altezza il raggio del cerchio. Grazie alla formula per l'area del triangolo, si ha che:
Per gli alunni, la formula semplificata e comunemente utilizzata per il calcolo dell'area del cerchio è la seguente:
dove, lo ribadiamo, perlomeno alla scuola primaria non è necessario lavorare col simbolo del Pi Greco, e ci si può limitare all'approssimazione 3,14.
Per questa guida, è tutto! Nella prossima lezione vedremo i solidi e accompagneremo gli alunni nel mondo della geometria tridimensionale.
Buona Matematica a tutti!
Salvatore Zungri (Ifrit)
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