Proposizioni e connettivi logici per la Scuola Primaria
Stranamente le proposizioni logiche e i connettivi logici non hanno di norma l'attenzione che meriterebbero nella Scuola Primaria. In effetti si tratta di argomenti difficili da assimilare per gli alunni, perché richiedono una certa maturità linguistica e logica che ancora non hanno acquisito a dovere. Nessuno però ci impedisce di proporre alcune considerazioni introduttive. ;)
Nota: questa guida riguarda argomenti di Quinta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria. Qui su YM abbiamo trattato l'argomento anche in un'ottica più avanzata, e per chi fosse interessato proposizioni logiche | connettivi logici e tavole di verità.
Cosa sono le proposizioni logiche
Lo studio delle proposizioni logiche permette di ridimensionare l'analfabetismo funzionale, ossia l'incapacità dei bambini di comprendere e interpretare in modo corretto un testo, matematico o letterario che sia. Ecco perché viene introdotto già nella Scuola Primaria, seppur in una forma semplificata.
Il linguaggio è caratterizzato dall'utilizzo di enunciati, per ciascuno dei quali è possibile stabilire un valore di verità: vero o falso. Il valore di verità è caratterizzato a sua volta dall'oggettività, ossia deve essere verificabile da tutti e non deve dipendere dai gusti personali.
Una proposizione logica è un enunciato (o frase) che può essere vero oppure falso.
Le frasi
- sette per otto fa quaranta
- il successivo di 5 è 6
- il triangolo ha 4 lati
sono esempi di enunciati per i quali è possibile stabilire senza ombra di dubbio un valore di verità.
La prima frase è falsa, e gli alunni non avranno alcun problema nel constatarlo, infatti conoscono la tabellina del 7 e sanno bene che 7 per 8 non fa quaranta. La seconda frase è invece vera, mentre la terza è falsa perché per definizione un triangolo ha tre lati.
È importante far notare ai bambini che non tutte le frasi sono proposizioni logiche:
- il giallo è il colore più bello.
- Francesca è simpatica;
- che cosa fai domani?
Questi sono esempi di frasi che non sono proposizioni logiche. Il giallo è un colore che può piacere, ma non a tutti. Francesca può stare simpatica a qualcuno, mentre a qualcun altro può risultare antipatica. L'ultima frase infine non è una proposizione logica perché non ha senso dire se è vera o falsa.
Forniamo quindi ai bambini un piccolo schema per riassumere quali frasi non sono proposizioni logiche:
- le domande e le esclamazioni:
"Che cosa fai domani?", "Hai una penna da darmi?", "Viva l'Italia!"
- gli ordini:
"Vai a destra!", "Fai i compiti!", "Non guardare la tv!"
- le frasi che esprimono un giudizio personale o un'opinione:
"Il disegno di Marco è bello", "La torta della nonna è buonissima", "Il verde è un brutto colore". Queste frasi sono vere per chi le afferma, ma non per tutti gli altri.
- le frasi che si riferiscono a eventi futuri:
"Tra tre giorni pioverà". In questo caso, non è possibile dire a priori se ciò che si afferma è vero oppure no.
- le frasi che non hanno senso compiuto.
In questa prima fase è importante che i bambini riescano a riconoscere una proposizione logica dalle semplici frasi, ed è chiaro già dagli esempi che è un compito tutt'altro che banale. Sarà opportuno quindi proporre loro numerosi esempi. Solo in un secondo momento potremo passare a parlare dei connettivi logici.
I connettivi logici
Le proposizioni possono essere legate tra loro con le parole: e, o e non, che prendono il nome di connettivi logici.
Ad esempio
• La Lombardia confina con il Veneto e il capoluogo di regione è Milano.
Qui la congiunzione e permette di connettere la proposizione "La Lombardia confina con il Veneto" con la proposizione "il capoluogo di regione è Milano".
• 5 è maggiore di 4 o 5 minore di 7.
La congiunzione o connette la proposizione "5 è maggiore di 4" con la proposizione "5 minore di 7".
• Roma non è la capitale dell'Italia.
In questo caso l'avverbio non serve a ribaltare il valore di verità della proposizione "Roma è la capitale d'Italia".
Ogni connettivo possiede una propria tavola di verità: una tabella in cui sono inseriti i valori di verità delle proposizioni. I valori di verità di una proposizione sono vero, indicato con la lettera V, e falso, indicato con la lettera F.
Il connettivo logico e
Il connettivo logico e permette di costruire proposizioni formate da due o più proposizioni logiche (le cosiddette proposizioni composte), congiungendo le singole proposizioni.
Ad esempio:
10 è un multiplo di 2 e 12 è un numero divisibile per 4;
Il monte Bianco è sulle Alpi ed è il monte più alto d'Italia;
La Terra è un pianeta e gira intorno al Sole.
Vediamo come scrivere la tabella di verità del connettivo e con un esempio. Partendo da questa immagine di Lester
i bambini dovranno rispondere alle seguenti domande e compilare una piccola tabella.
"Lester ha un cappellino rosso e indossa una sciarpa blu"
Vero o falso? È falso, perché la sciarpa è verde.
"Lester ha un cappellino giallo e indossa una sciarpa verde"
Vero o falso? È falso, perché il cappellino non è giallo.
"Lester ha un cappellino rosso e indossa una sciarpa verde"
Vero o falso? È vero! Ha un cappello rosso e una sciarpa di colore verde.
"Lester ha un cappellino blu e indossa una sciarpa gialla"
Vero o falso? È falso! Il cappellino non è blu e la sciarpa non è gialla.
La tavola di verità del connettivo e ci permette di riassumere tutti i valori di verità delle precedenti proposizioni composte in un'unica tabella:
Tavola di verità del connettivo logico "e".
Dall'esempio appena visto, è facile evincere che la congiunzione di due proposizioni logiche tramite il connettivo e è vera se e solo se entrambe le proposizioni logiche sono vere.
Il connettivo o
Il connettivo logico o, così come il connettivo e, permette di costruire una proposizione composta partendo da due proposizioni elementari.
Vediamo qualche esempio:
Parigi è la capitale della Francia o è la capitale dell'Austria.
10 è un numero primo o è un numero pari.
7 è minore di 2 oppure è maggiore di 5.
Introdotto il nuovo connettivo, mostreremo agli alunni come formulare la relativa tabella di verità. In riferimento alla figura di Lester proposta poco sopra, i bambini dovranno individuare il valore di verità delle seguenti proposizioni composte.
"Lester ha un cappellino rosso oppure indossa una sciarpa blu"
Vero o falso? È vero, perché ha un cappellino rosso.
"Lester ha un cappellino giallo oppure indossa una sciarpa verde"
Vero o falso? È vero, Lester indossa una sciarpa verde.
"Lester ha un cappellino rosso oppure indossa una sciarpa verde"
È vero o falso? È vero, ha un cappello rosso e una sciarpa di colore verde.
"Lester ha un cappellino blu sulla testa oppure indossa una sciarpa gialla"
Vero o falso? È falso! Lester non indossa né una sciarpa gialla né un cappellino blu.
La tavola di verità associata al connettivo o sarà la seguente:
Tavola di verità del connettivo logico "o".
Osservandola con attenzione, i bambini comprenderanno che una proposizione composta da due proposizioni con il connettivo logico o è falsa solo se entrambe le proposizioni sono false. In tutti gli altri casi la proposizione composta è vera.
Negazione
La negazione, individuata mediante l'avverbio non, agisce su una proposizione logica e ha l'effetto di trasformare le proposizioni vere in proposizioni false, e quelle false in proposizioni vere.
Ad esempio:
- "La Terra è piatta" è una proposizione falsa, e per negazione si tramuta in una proposizione vera: "La Terra non è piatta".
- "7 è un numero primo" è una proposizione vera, la cui negazione è "7 non è un numero primo", che è una proposizione falsa.
Con questo è tutto. Naturalmente quella che abbiamo proposto è un'infarinatura di base (nel contesto della scuola primaria non ci si può spingere oltre) anche se sottolineiamo che le proposizioni e i connettivi logici verranno riprese più e più volte nel corso degli studi successivi.
Per il momento le nozioni proposte sono più che sufficienti e dovranno essere supportate da ulteriori esempi ed eventualmente esercizi, in modo che gli alunni possano consolidare il loro primissimo approccio con la Logica.
Nella prossima guida torneremo a occuparci di Geometria e in particolare tratteremo la classificazione dei triangoli. ;)
Buona Matematica a tutti!
Salvatore Zungri (Ifrit)
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