Frazioni equivalenti

Le frazioni equivalenti sono frazioni che, pur presentandosi con numeratori e denominatori diversi, rappresentano la medesima quantità. Le frazioni equivalenti a una frazione assegnata sono infinite e si ottengono applicando la proprietà invariantiva della divisione.

 

Le frazioni equivalenti generano moltissima confusione negli alunni e risultano particolarmente difficili da digerire. In questa guida vedremo cosa sono, ossia la definizione, e come individuare l'equivalenza tra frazioni. Per concludere, parleremo dell'importantissima proprietà invariantiva delle frazioni.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della scuola primaria. Su YouMath è presente una lezione dedicata agli studenti della scuola secondaria. Se siete interessati potrete trovarla qui: frazioni.

 

Cosa sono le frazioni equivalenti

 

Come sempre partiamo da una situazione concreta in modo che ogni alunno possa immedesimarvisi.

 

I fratelli Lester e Ester fanno una passeggiata lungo un sentiero erboso. Lester ha percorso i \frac{3}{4} del sentiero mentre Ester ne ha percorso i \frac{6}{8}. Vediamo dove sono arrivati i nostri amici:

 

 

Rappresentazione di frazioni equivalenti


Esempio introduttivo per le frazioni equivalenti - prima suddivisione.

 

 

Il sentiero è diviso in 4 parti uguali e Lester ne ha percorsi 3. La frazione corrispondente è \frac{3}{4}.

 

 

Primi esempi di frazioni equivalenti


Esempio introduttivo per le frazioni equivalenti - seconda suddivisione.

 

 

In questo caso il sentiero è stato diviso in 8 parti uguali ed Ester ne ha percorsi 6. La frazione corrispondente è \frac{6}{8}.

 

Nonostante i numeri che compongono le frazioni siano diversi, esse indicano esattamente la stessa distanza. Sia Lester che Ester infatti si trovano nella stessa posizione.

 

Il precedente esempio mette in evidenza una nuova caratteristica: due frazioni possono indicare le stesse parti anche se si scrivono con numeri diversi. Le frazioni che indicano la stessa parte dell'intero prendono il nome di frazioni equivalenti.

 

 

Esempi di frazioni equivalenti

 

 

Frazioni equivalentiRappresentazioni
\frac{1}{2}\mbox{ e }\frac{2}{4}Esempio di frazioni equivalenti
\frac{2}{3}\mbox{ e }\frac{4}{6}Rappresentazione di frazioni equivalenti
\frac{2}{4}\mbox{ e }\frac{4}{8}Rappresentazione di due frazioni equivalenti

 

 

Dopo aver visto le precedenti rappresentazioni, i bambini possono scrivere:

 

\\ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}\\ \\ \frac{2}{3}=\frac{4}{6}\\ \\ \frac{2}{4}=\frac{4}{8}

 

Metodo algebrico per riconoscere l'equivalenza tra frazioni

 

Alla lunga rappresentare le frazioni per controllare se sono equivalenti può diventare un inutile dispendio di energie, soprattutto quando i numeri che intervengono sono molto grandi. Fortunatamente esiste uno metodo aritmetico, che si basa sulla seguente regola.

 

Regola: due frazioni sono equivalenti se il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda è uguale al prodotto tra il denominatore della prima per il numeratore della seconda. Se i due prodotti non coincidono, allora le frazioni non sono equivalenti.

 

Proponiamo subito un esempio in cui mostriamo agli alunni come funziona la regola appena enunciata.

 

Le frazioni \frac{3}{6},\ \frac{1}{2} sono equivalenti, infatti:

 

 

Controllo frazioni equivalenti


Metodo aritmetico per stabilire se due frazioni sono equivalenti.

 

 

Il prodotto tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda è 3x2=6, così come è 6=6x1 il prodotto tra il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda.

 

Altri esempi:

 

\frac{11}{22}\mbox{ e }\frac{1}{2} sono frazioni equivalenti, infatti 11×2=22 e 22×1=22.

 

\frac{3}{9}\mbox{ e }\frac{1}{2} non sono frazioni equivalenti, infatti 3×2=6 mentre 9×1=9. 

 

\frac{3}{4}\mbox{ e }\frac{12}{16} sono frazioni equivalenti, 3×16=48 e 4×12=48.

 

Abbiamo fornito ai bambini la definizione di frazioni equivalenti e il metodo che permette di controllare l'equivalenza. Nel prossimo paragrafo presenteremo una proprietà importante di cui godono le frazioni.

 

Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva delle frazioni

 

Data una frazione, è possibile costruire infinite frazioni equivalenti ad essa. Ad esempio sono frazioni equivalenti a \frac{2}{3}:

 

\frac{4}{6},\,\, \frac{6}{9},\,\, \frac{8}{12}

 

Facciamo alcune osservazioni così da fornire ai bambini l'idea che c'è dietro:

 

- la frazione \frac{4}{6} si ottiene moltiplicando per 2 il numeratore e il denominatore della frazione \frac{2}{3}.

 

\frac{2}{3}=\frac{2\times 2}{3\times 2}=\frac{4}{6}

 

- la frazione \frac{6}{9} si ottiene moltiplicando per 3 il numeratore e il denominatore della frazione \frac{2}{3}.

 

\frac{2}{3}=\frac{2\times 3}{3\times 3}=\frac{6}{9}

 

- la frazione \frac{8}{12} si ottiene moltiplicando per 4 il numeratore e il denominatore della frazione \frac{2}{3}.

 

\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}

 

È fondamentale che i bambini comprendano che le frazioni ottenute in questo modo sono equivalenti a quella di partenza. A tal proposito devono memorizzare una proprietà molto importante che prende il nome di proprietà invariantiva delle frazioni:

 

se si moltiplica o si divide per uno stesso numero (diverso da zero) sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

 

In realtà, questa non è altro che la proprietà invariantiva della divisione, riscritta nel linguaggio delle frazioni.

 

 

Esempi sulla proprietà invariantiva delle frazioni

 

1)\ \ \ \frac{5}{4}=\frac{5\times 4}{4\times 4}=\frac{20}{16}

 

\frac{5}{4} è equivalente a \frac{20}{16} infatti 5x16=80 e 4x20=80.

 

2)\ \ \ \frac{2}{3}=\frac{2\times 5}{3\times 5}=\frac{10}{15}

 

\frac{2}{3} è equivalente a \frac{10}{15} perché 2x15=30 e 3x10=30.

 

3)\ \ \  \frac{15}{10}=\frac{15:5}{10:5}=\frac{3}{2}

 

\frac{15}{10},\ \frac{3}{2} sono frazioni equivalenti infatti 15x2=30 e 10x3=30.

 

 

 


 

 

Per il momento è tutto. Nella prossima guida vedremo qual è il metodo per confrontare due frazioni.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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