Classificazione delle frazioni

In questa guida ci occuperemo della classificazione delle frazioni e parleremo in particolare di frazioni proprie, improprie e apparenti. Dal punto di vista didattico i bambini apprendono abbastanza in fretta le frazioni proprie, mentre le frazioni improprie e quelle apparenti possono generare diverse perplessità. Forza, coraggio e pazienza! ;)

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

Nota 2: su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: frazioni proprie, frazioni improprie, frazioni apparenti.

Classificazione delle frazioni: proprie, improprie e apparenti

La classificazione delle frazioni avviene essenzialmente con il confronto tra numeratore e denominatore e, con questo semplice criterio, possiamo individuarne tre tipologie:

- frazioni proprie;

- frazioni apparenti;

- frazioni improprie.

Sarà opportuno presentare le frazioni proprie per prime, perché i bambini hanno già avuto di studiarle nel momento in cui hanno affrontato le frazioni per la prima volta.

Cosa sono le frazioni proprie

Gli alunni sanno già che le frazioni indicano le parti dell'intero. L'espressione "Lester ha mangiato i di crostata", ad esempio, suggerisce che Lester abbia mangiato due delle otto fette in cui è stata divisa la crostata

è un esempio di frazione propria.

Molto semplicemente, una frazione propria indica una quantità minore dell'intero e non nulla. In modo del tutto equivalente, si caratterizza per il fatto che il numeratore è minore del denominatore e diverso da zero.

Esempi di frazioni proprie

		L'intero viene diviso in 6 parti uguali; se ne considerano 5.
		L'intero viene diviso in 4 parti uguali; se ne considerano 3.
		L'intero viene diviso in 3 parti uguali; se ne considerano 2.

Cosa sono le frazioni apparenti

Finora in realtà non è stato introdotto nulla di nuovo. Le frazioni proprie non dovrebbero generare dubbi né incertezze negli alunni. Le frazioni improprie e apparenti, invece, possono creare numerosi grattacapi. Cominciamo dalle prime...

Una frazione apparente viene chiamata così perché appare a tutti gli effetti come una frazione: ha un numeratore, un denominatore e una linea di frazione. Se però viene rappresentata con delle quantità continue, essa non indica una parte dell'intero, bensì può rappresentare nessun intero, un intero oppure più interi.

Attenzione, la precedente affermazione non è per niente facile da assimilare da parte dei bambini. Al contrario, può generare molta confusione: una frazione che non è una frazione?! Meglio proporre subito un esempio con le quantità.

di crostata è l'intera crostata, perché è divisa in 8 parti uguali e di queste ne vengono prese 8 fette. Nessuna fetta è stata tralasciata. In altri termini  e la frazione indica l'intero.

E per quanto riguarda La crostata viene divisa in 8 parti uguali. Se ne dovrebbero prendere 16 fette, ma le 8 a disposizione non sono sufficienti. È quindi necessario prendere un'altra crostata, uguale alla prima, dividerla in 8 parti uguali e prendere le altre 8 fette rimanenti.

In conclusione la frazione indica due interi.

E se considerassimo il caso particolare in cui il numeratore è zero, ossia Zero parti su 8 fette disponibili vuol dire nessuna fetta. In sintesi .

Quantitativamente parlando, quindi, una frazione apparente può indicare nessun intero, un intero oppure più interi.

Esempi di frazioni apparenti

		Otto quarti è una frazione apparente. Rappresenta 2 interi.
		Due mezzi è una frazione apparente. Rappresenta 1 intero.
		Un altro esempio di frazione apparente. Sei mezzi equivale a 3 interi.

Adesso proponiamo la fatidica domanda: qual è la caratteristica che contraddistingue le frazioni apparenti? È praticamente certo che a questa domanda i bambini risponderanno che il numeratore deve essere maggiore del denominatore, risposta che però non è esatta. È invece corretto dire che nelle frazioni apparenti il numeratore è un multiplo del denominatore. 

Cosa sono le frazioni improprie

Cosa succede se il numeratore è più grande del denominatore e non è un suo multiplo? Quale quantità indica ad esempio la frazione

Queste potrebbero essere le domande introduttive da porre agli alunni. Il passaggio successivo, come al solito, consiste nel proporre un esempio corredato da un opportuno disegno.

Una crostata è stata divisa in 8 parti, per cui 8 sarà il denominatore della nostra frazione. Le fette da prendere sono 9 (il numeratore) e quelle a disposizione non sono sufficienti: è necessario comprare un'altra crostata, identica alla prima, dividerla in tante parti quanto è indicato dal denominatore (8) e prenderne le parti mancanti.

non indica più una parte dell'intero, ma qualcosa di più grande. Non è propriamente una frazione, intesa come parte dell'intero, e nemmeno corrisponde a più interi. Questa tipologia di frazioni viene indicata con il nome di frazione impropria. Quantitativamente parlando, indica una quantità maggiore dell'intero che non corrisponde a più interi.

Questo tipo di frazioni può sorprendere gli alunni ed è per questo che è consigliabile proporre qualche esempio in più, così che possano assimilare correttamente l'idea. Naturalmente se gli esempi sono accompagnati da opportune figure, i bambini comprenderanno anche come si rappresenta una frazione impropria.

Esempi di frazioni improprie

		Otto sesti è un esempio di frazione impropria. Sono necessari un intero e due parti del secondo intero per rappresentarla.
		Anche otto terzi è una frazione impropria. Per rappresentarla sono necessari due interi e due parti del terzo intero.
		Cinque terzi è una frazione impropria. Sono necessari un intero e due parti di un secondo intero per indicarla.

Stimoliamo l'attenzione dei studenti ponendo un'ulteriore domanda. Esiste una caratteristica comune alle frazioni che abbiamo appena presentato? Le risposte non tarderanno ad arrivare: in una frazione impropria il numeratore è maggiore del denominatore e non è un multiplo del denominatore.

In altri termini una frazione impropria è una frazione non apparente in cui il numeratore è maggiore del denominatore.

Classificazione delle frazioni con i diagrammi di flusso

Può succedere che i bambini abbiano problemi a distinguere le tipologie di frazioni, soprattutto quando si trovano di fronte alle frazioni apparenti. Se necessario possono avvalersi del seguente diagramma di flusso che permette di classificare una frazione qualsiasi.

- Si leggono il numeratore e il denominatore della frazione.

- Il numeratore è minore del denominatore ed è diverso da zero? Se la risposta è sì, allora la frazione è propria.

- Se la risposta è no, si passa alla domanda successiva: il numeratore è un multiplo del denominatore? Se la risposta è sì, allora la frazione è apparente. Se la risposta è no, si arriva al rettangolo che avverte: "la frazione è impropria".

Diagramma di flusso per la classificazione delle frazioni.

Abbiamo finito! Nella guida successiva parleremo di un argomento strettamente collegato alla classificazione delle frazioni, un piccolo approfondimento sulle frazioni improprie: i numeri misti!

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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