Scomposizione di un numero con i diagrammi ad albero

Nelle puntate precedenti abbiamo parlato di numeri primi e numeri composti; quello che non abbiamo fatto è spiegare perché essi hanno un ruolo importante nell'Aritmetica, che si rivela con la scomposizione di un numero in fattori primi.

Vedremo come spiegare agli alunni cosa significa scomporre un numero in fattori primi e come utilizzare i diagrammi ad albero per eseguire la fattorizzazione.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: scomposizione in fattori primi.

Che cosa significa scomporre un numero

Grazie al crivello di Eratostene gli alunni hanno potuto constatare che ogni numero maggiore di uno o è un numero primo oppure un numero composto.

Un numero primo ha solo due divisori, 1 e se stesso, così come i numeri composti hanno almeno un altro divisore diverso da 1 e dal numero stesso. Ogni numero composto è quindi il prodotto della moltiplicazione di più fattori diversi da 1.

Ha senso quindi parlare di scomposizione di un numero. Scomporre un numero significa scriverlo come prodotto di due o più fattori.

Esempi sulle scomposizioni dei numeri

• 12 si scrive come 12x1, 6x2, 3x4, 4x3, 2x6, 1x12 o ancora come 2x2x3;

• 16 si scrive come 16x1, 8x2, 4x4, 2x8, 1x16, 2x2x2x2;

• 20 si scrive come 20x1, 10x2, 5x4, 5x2x2.

Questi esempi mettono in evidenza un fatto importante, ossia che la scomposizione di un numero non è unica; è possibile cioè trovare modi diversi per esprimere un numero composto come prodotto di due o più fattori. Se però si richiede che i fattori debbano essere numeri primi, allora le cose cambiano:

ogni numero composto può essere scritto come prodotto di fattori primi in modo unico 
(a meno dell'ordine dei fattori).

Gli alunni non possono (ancora) comprendere la bellezza di questo enunciato che, con un pizzico di poetica, asserisce che i numeri primi rappresentano i mattoncini dell'Aritmetica, in quanto permettono di ottenere tutti gli altri numeri.

Esempi sulla scomposizione dei numeri in fattori primi

• 12 si scrive in modo unico in fattori primi come 2x2x3;

• 18 si scrive in modo unico come 2x3x3;

• 20 si scrive in modo unico come 2x2x5.

Chiarito questo concetto, il prossimo passaggio consiste nello spiegare ai bambini come scomporre un numero in fattori primi. Utilizzeremo i diagrammi ad albero per facilitare l'esposizione.

Scomposizione dei numeri in fattori primi con i diagrammi ad albero

La scomposizione dei numeri con i diagrammi ad albero è il metodo più intuitivo e semplice, dunque adatto agli alunni della scuola primaria. Per fornire ai bambini gli strumenti necessari per la scomposizione di un numero in fattori primi, proponiamo un esempio-guida.

L'obiettivo prevede di scomporre in fattori primi il numero 72 e per farlo andremo alla ricerca di due numeri che, moltiplicati tra loro, diano come risultato il numero che vogliamo scomporre. Due numeri che fanno al caso nostro sono 9 e 8, infatti 9x8=72.

Il compito dei bambini prevede di rappresentare questo passaggio con il seguente diagramma ad albero.

Partendo dal numero 72 si sono generati due rami, agli estremi dei quali sono presenti i due fattori. A questo punto è necessario analizzare singolarmente ogni estremo:

- se il fattore è un numero composto, l'estremo in questione si scriverà come prodotto di due numeri, ossia verranno generati altri due rami;

- se l'estremo è un numero primo, allora il ramo smette di crescere.

Nell'esempio sia 9 che 8 sono numeri composti e si possono esprimere come 9=3x3 e 8=2x4.

Sia 3 che 2 sono numeri primi, dunque i relativi rami smettono di crescere. Rimane solo il 4 che si esprime come il prodotto della moltiplicazione 2x2.

Scomposizione di un numero in fattori primi con i diagrammi ad albero.

La scomposizione del numero in fattori primi con i diagrammi ad albero si conclude quando tutti i rami hanno per estremo un numero primo. Il numero di partenza, 72, si scriverà in modo unico (a meno dell'ordine dei fattori) come

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Altri esempi sui diagrammi ad albero

Il numero 20 si scrive come prodotto dei numeri 2 e 10. Il numero 2 è primo, mentre il numero 10 si scompone come il prodotto di 2 e 5.

20 = 2 x 2 x 5

Attenzione, i bambini possono obiettare che 20 è anche il prodotto dei numeri 4 e 5, dubitando della correttezza della scomposizione precedente. In realtà il 4 a sua volta però si scompone come 2x2, mentre il numero 5 è primo. Il diagramma ad albero sarà:

Nonostante l'albero abbia una struttura diversa rispetto alla precedente, la scomposizione in fattori primi risulta essere identica:

20 = 2 x 2 x 5

Dal precedente esempio, in particolare, potremo far notare che la scomposizione di un numero in fattori primi è unica a meno dell'ordine con cui compaiono i fattori nella scomposizione.

Ancora un altro esempio: come si scompone in fattori primi il numero 100? Grazie alla tabellina del 10 i bambini sanno che 10x10=100, inoltre 10 è uguale a 2x5 di conseguenza l'albero del 100 è

100 = 2 x 2 x 5 x 5

La scomposizione in fattori primi mediante diagramma ad albero permette, almeno per il momento, di evitare l'introduzione dei criteri di divisibilità; è sufficiente infatti conoscere a menadito le tabelline. Per i bambini alle prime armi è anche possibile utilizzare la tavola pitagorica.

Qui abbiamo finito: ci vediamo nella guida successiva, dove parleremo delle frazioni. ;)

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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