Crivello di Eratostene

Il crivello di Eratostene (detto anche setaccio per i numeri primi) è un algoritmo iterativo che permette di determinare tutti i numeri primi minori o uguali a un numero prescelto, escludendo quindi i numeri composti.

 

La distinzione tra numeri primi e numeri composti ha sempre affascinato i matematici di ogni epoca, e ha da sempre spinto gli uomini alla ricerca di un metodo per individuare i numeri primi. Il più famoso e antico algoritmo per determinare i numeri primi è il crivello di Eratostene. In questa guida vedremo come spiegare ai bambini cos'è e come funziona il setaccio per i numeri primi.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Su YouMath è presente una lezione riguardante i numeri primi dedicata agli studenti della scuola media. Potrete trovarla qui: numeri primi.

 

Crivello di Eratostene: cos'è e come funziona

 

Il crivello di Eratostene è un metodo molto antico che permette di trovare tutti i numeri primi minori o uguali a un certo numero fissato. Gli alunni possono immaginarlo come un setaccio, lo strumento che usano quando giocano con la sabbia al mare.

 

Il setaccio dei numeri primi di Eratostene però è davvero particolare perché, una volta riempito di numeri, lascia cadere i numeri composti e trattiene solo i numeri primi.

 

 

Crivello di Eratostene

Crivello di Eratostene: setaccio dei numeri primi.

 

 

Vediamo il funzionamento del crivello di Eratostene per determinare i numeri primi più piccoli di 50, cominciando a costruire un tabella in cui verranno trascritti i numeri da 1 a 50.

 

 

Tabella del setaccio di Eratostene


Tabella iniziale per il crivello di Eratostene - Numeri fino a 50.

 

 

Prima di tutto gli alunni dovranno cancellare il numero 1, perché sanno che non è un numero primo né un numero composto, e cerchieranno il numero 2.

 

Il passaggio successivo consiste nell'eliminare tutti i multipli di 2 presenti nella tabella, a eccezione del 2.

 

I numeri setacciati saranno: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 48, 50.

 

 

Come funziona il crivello di Eratostene


Crivello di Eratostene - Eliminazione dei multipli di 2, eccetto il 2.

 

 

Il numero successivo non setacciato è il 3: si eliminano quindi tutti i suoi multipli, escluso il 3 stesso.

 

I numeri setacciati saranno 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48.

 

 

Eliminazione dei multipli di tre nella tabella


Crivello di Eratostene - Eliminazione dei multipli di 3, eccetto il 3.

 

 

Si procede allo stesso modo per il numero 5: va cerchiato e vanno eliminati tutti i suoi multipli: 10, 15, 20, 25, 30, 45, 50.

 

 

Crivello di Eratostene: eliminazione dei multipli di 5


Crivello di Eratostene - Eliminazione dei multipli di 5, eccetto il 5.

 

 

Il meccanismo dovrebbe essere ormai chiaro agli alunni. Si cerchia il numero 7 e si cancellano tutti i suoi multipli: 14, 21, 28, 35, 42, 49.

 

 

Eliminazione dei multipli di 7


Crivello di Eratostene - Eliminazione dei multipli di 7, eccetto il 7.

 

 

In sostanza l'algoritmo è un procedimento iterativo in cui ogni iterazione consiste in tre passaggi:

 

- si prende in considerazione il numero non setacciato;

 

- lo si cerchia;

 

- si eliminano tutti i suoi multipli.

 

Reiterando il processo con i numeri 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, gli alunni si ritroveranno una tabella come questa:

 

 

Eliminazione dei multipli nel setaccio dei numeri primi


Crivello di Eratostene - Numeri primi minori di 50.

 

 

Tutti i numeri cerchiati

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

 

sono i numeri primi minori o uguali a 50, mentre quelli cancellati sono numeri composti.

 

 

Metodo semplificato per l'eliminazione dei multipli nel crivello di Eratostene

 

Cancellare i multipli di un numero può creare grattacapi agli alunni carenti nelle tabelline; consigliamo quindi una semplice tecnica sostitutiva (che però è da intendersi come transitoria, perché prima o dopo dovranno acquisire una totale dimestichezza con le moltiplicazioni).

 

Partendo da un numero primo, i bambini conteranno in avanti un numero di posti pari al numero primo considerato. La cella raggiunta conterrà un suo multiplo, che andrà ovviamente cancellato.

 

Da quest'ultimo conteranno ancora una volta in avanti di un numero di posti pari al numero primo in questione, ottenendo ancora una volta un suo multiplo. Continueranno così fino a raggiungere l'ultimo numero della tabella. Facciamo loro osservare che implicitamente stanno facendo uso della moltiplicazione intesa come addizione ripetuta.

 

 

Esempio sul crivello di Eratostene con il metodo semplificato

 

Chiediamo agli alunni di cancellare i multipli di 3 dalla seguente tabella. 

 

 34567891011121314151617

 

Partendo da 3, eseguiranno 3 salti in avanti, raggiungendo il 6. Ancora 3 salti in avanti e raggiungeranno il 9; altri tre salti in avanti ed ecco il 12; ancora tre salti e arriveranno a 15, e così via...

 

 

Osservazioni finali sul crivello di Eratostene

 

Tornando al setaccio di Eratostene, nessuno impedisce di costruire delle tabelle sempre più grandi, e scovare sempre più numeri primi. Questo rafforza una verità matematica la cui dimostrazione non è ancora alla portata di un alunno di Scuola Primaria: i numeri primi sono infiniti.

 

Dagli esempi proposti, inoltre, è chiaro che un qualsiasi numero diverso da 0 o 1:

 

- può rimanere nel setaccio, e dunque è primo, oppure

 

- può cadere perché è un numero composto.

 

L'idea trasmessa sarà quindi la seguente: ogni numero, che non sia 0 o 1, è un numero primo oppure un numero composto.

 

 


 

Ecco fatto, abbiamo portato a termine questo argomento. Niente di complicato, bisogna stare solo un po' attenti e sincerarsi che gli alunni cancellino i numeri giusti. Per far sì che si esercitino possiamo invitarli a costruire crivelli sempre più grandi.

 

Nella guida successiva affronteremo la scomposizione dei numeri. Vi aspettiamo! ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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