Numeri primi e numeri composti

I numeri primi sono tutti e soli i numeri divisibili solamente per 1 e per se stessi; i numeri composti sono i numeri che non sono primi, vale a dire i numeri che ammettono almeno un altro divisore oltre a 1 e il numero stesso.

Dopo aver introdotto i concetti di divisori e di multipli, è giunto il momento di parlare di un nuovo argomento: i numeri primi e i numeri composti. Sono numeri particolari, considerati da molti come i mattoncini fondamentali dell'Aritmetica. In questa guida vedremo come proporre i numeri primi agli alunni con l'uso degli schieramenti, che permettono un approccio immediato, senza però dimenticare il formalismo matematico.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Su YouMath è presente una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potrete trovarla qui: numeri primi.

Numeri primi e numeri composti con gli schieramenti

Gli schieramenti sono utili per spiegare agli alunni cosa sono i divisori di un numero, e tornano a essere uno strumento prezioso per introdurre anche i numeri primi e i numeri composti. Iniziamo questo percorso didattico creando tutti gli schieramenti con 2, 3, 4 e 5 elementi, dopodiché intavoleremo una discussione in modo che i bambini possano esporre le proprie osservazioni.

Gli schieramenti con 2 elementi sono:

Tutti i possibili schieramenti con 2 elementi.

Nell'immagine sono presenti solamente due schieramenti: uno con una riga orizzontale e due righe verticali, il secondo con due righe orizzontali e una sola riga verticale. Poniamo questa domanda: è possibile costruire altri schieramenti con solo due elementi? La risposta è no.

I bambini proveranno ora a creare schieramenti con 3 oggetti.

Tutti i possibili schieramenti con 3 elementi.

Ancora una volta gli schieramenti che si possono costruire con tre elementi sono solo 2. Il primo ha una sola riga di tre elementi, mentre il secondo schieramento ha una riga verticale con tre elementi.

Proponendo di costruire gli schieramenti con 4 elementi, qualcosa cambia rispetto a ciò che è emerso negli casi precedenti.

Tutti i possibili schieramenti con 4 elementi.

Questa volta gli schieramenti possibili non sono più due, bensì tre. Attenzione: l'intuito dei bambini farà sì che credano che il numero di schieramenti sia aumentato perché hanno a disposizione un numero maggiore di elementi... Ma è davvero questo il motivo? Per rispondere a questa domanda invitiamoli a costruire gli schieramenti con 5 elementi.

Tutti i possibili schieramenti con 5 elementi.

Nonostante il numero di oggetti a disposizione sia maggiore rispetto al numero di oggetti dell'esempio precedente, torniamo ad avere solamente due schieramenti. Quello che si evince da questi esempi è che il numero di schieramenti costruibili non cresce con l'aumentare del numero di oggetti a disposizione.

A titolo informativo, se gli elementi sono 6, gli schieramenti costruibili sono 4, ma con 7 elementi potremo formare solamente 2 schieramenti. Tutti questi esempi hanno una valenza didattica straordinaria e suggeriscono agli alunni l'esistenza di due categorie di numeri:

- numeri a cui vengono associati solo due schieramenti;

- numeri a cui vengono associati più di due schieramenti.

Date le precedenti premesse, siamo pronti per proporre agli alunni le prime definizioni:

- se con il numero di elementi considerato è possibile costruire esattamente due schieramenti, allora abbiamo a che fare con un numero primo;

- tutti i numeri a cui è possibile associare più di due schieramenti prendono il nome di numeri composti.

I numeri 2, 3, 5 e 7 sono primi, perché gli schieramenti associati sono esattamente due, mentre i numeri 4 e 6 sono numeri composti.

Facciamo notare come gli schieramenti dei numeri 2, 3, e 5 abbiano una caratteristica comune: tutti hanno una sola riga oppure una sola colonna. In base a quanto visto nella guida sui divisori:

• 2 ha solo due divisori, e sono 1 e 2;

• 3 ha solo due divisori, e sono 1 e 3;

• 5 ha solo due divisori, e sono 1 e 5.

Questa è proprio la qualità che contraddistingue i numeri primi e che gli alunni potranno verbalizzare nel modo seguente:

- un numero primo ha esattamente due divisori diversi: 1 e se stesso.

- Se invece un numero ha più di due divisori allora diremo che è un numero composto.

Sono esempi di numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (nel caso servisse ecco la tavola dei numeri primi compresi tra 1 e 15000).

Sono esempi di numeri composti:

• 4, che ha per divisori 1, 2, 4;

• 6, che ha per divisori 1, 2, 3, 6;

• 8, che ha per divisori 1, 2, 4, 8.

Sia i numeri primi che i numeri composti sono infiniti, e non è possibile dire qual è l'ultimo numero primo o qual è l'ultimo numero composto.

Uno non è un numero primo

1 non è considerato un numero primo. Se si contano gli schieramenti che si possono formare con un solo elemento è chiaro che è solo uno e che ha una riga ed una colonna. Sempre per lo stesso motivo, 1 è il prodotto della moltiplicazione 1x1, e di conseguenza 1 ha un solo divisore. Esso non soddisfa quindi le richieste per essere numero primo. 1 non è nemmeno un numero composto perché per esserlo deve avere almeno tre divisori diversi!

Nota storica: fino alla metà del secolo scorso, il numero 1 era considerato primo. Per questioni che non competono a un alunno della scuola primaria, i matematici moderni hanno raffinato la definizione per escluderlo dalla lista.

Prossimamente vedremo come determinare i numeri primi con il setaccio, noto anche con il nome di crivello di Eratostene e parleremo di scomposizioni di un numero. Vedremo quindi perché si studiano i numeri primi e perché sono così importanti.

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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