Divisori di un numero per la Scuola Primaria

In questa guida presenteremo i divisori di un numero, un argomento generalmente complicato per gli alunni, perché richiede diverse nozioni già acquisite e che è bene ripassare prima.

 

Faremo intervenire nuovamente gli schieramenti che favoriscono la comprensione delle proprietà dei divisori ed evidenziano la stretta relazione che esiste tra i divisori e multipli dei numeri, di cui ci siamo occupati nella guida precedente. Infine daremo uno sguardo ad un caso particolare: i divisori dello zero.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di Quarta Elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria. Su YouMath è presente una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete trovarla qui: divisori.

 

Cosa sono i divisori di un numero

 

In questo caso partire con la definizione di divisore di un numero può essere una scelta didatticamente vincente, se però è accompagnata subito da opportuni esempi.

 

I divisori di un numero dato sono tutti e soli i numeri che lo dividono esattamente, ossia quando il resto della divisione tra il numero dato e ciascuno di quei numeri è 0.

 

 

Esempi sui divisori

 

- 6 è un divisore di 12, perché 12:6=2 e il resto è zero;

 

- 7 è un divisore di 21, perché 21:7=3 e il resto è zero;

 

- 2 è un divisore di 12, perché 12:2=6 e il resto è zero;

 

- 23 è un divisore di 460, perché 460:23=20 e il resto è zero (in questo caso è meglio eseguire la divisione in colonna).

 

Divisori con i raggruppamenti

 

Per comprendere se un numero è un divisore di un altro è sufficiente quindi eseguire la divisione e controllare il resto. Il concetto stesso di divisore può però essere di difficile comprensione se gli alunni non hanno acquisito sicurezza con questa operazione.

 

Per attenuare un po' il senso di disorientamento iniziale possiamo introdurre i divisori usando quantità discrete, e ricorrere alla divisione con i raggruppamenti.

 

Proponiamo un esempio-guida cosi che agli alunni sia chiaro come procedere. Sottolineiamo che non si tratta di nulla di nuovo perché i bambini conoscono già l'interpretazione della divisione tramite i raggruppamenti. Consideriamolo come un ottimo espediente per fare un piccolo ripasso. ;)

 

L'obiettivo è rispondere alla domanda: 2 è divisore di 12?

 

Suggeriamo ai bambini di disegnare 12 oggetti e di raggrupparli a gruppi di 2.

 

 

Divisori con gli schieramenti


Divisore di un numero con i raggruppamenti - 2 è un divisore di 12.

 

 

In questo caso gli alunni sono stati in grado di raggruppare tutti gli oggetti, pertanto il resto è 0 e di conseguenza 2 è un divisore di 12.

 

Proponiamo ancora un altro esercizio, in cui domandiamo agli studenti se 3 è divisore di 12. Questa volta dovranno raggruppare gli oggetti a tre a tre.

 

 

Divisori e schieramenti


Divisore di un numero con i raggruppamenti - 3 è un divisore di 12.

 

 

Ancora una volta tutti gli oggetti sono stati raggruppati, pertanto il resto della divisione tra 12 e 3 è zero e dunque 3 è un divisore di 12.

 

Avanziamo un'ulteriore richiesta: 5 è un divisore di 12? Questa volta, formando gruppi di 5 oggetti, i bambini non riusciranno a raggruppare tutti gli oggetti a disposizione

 

 

Un esempio di numero che non è un divisore


Divisore di un numero con i raggruppamenti - 5 non è un divisore di 12.

 

 

Questa volta il resto è 2 e non 0, e quindi 5 non è divisore di 12.

 

Riassumendo, per dire se un numero è divisore di un altro, i bambini dovranno:

 

- rappresentare un numero di oggetti pari al secondo numero;

 

- cerchiare gli oggetti in gruppi. Ogni gruppo dovrà avere esattamente tanti elementi quanti sono quelli indicati dal primo numero.

 

Se tutti gli oggetti sono stati raggruppati allora la risposta è positiva, negativa in caso contrario.

 

Divisori di un numero con gli schieramenti

 

Gli schieramenti sono ottimi strumenti per trovare i divisori di un numero, perché permettono di determinarli in maniera divertente e inoltre facilitano la presentazione delle proprietà fondamentali di cui essi godono.

 

L'obiettivo che ci prefiggiamo è quello di insegnare ai bambini come trovare i divisori di un numero ricorrendo agli schieramenti. Iniziamo con un esempio-guida e scegliamo il numero 12, che è ottimo per i nostri scopi perché è piccolo e ha molti divisori.

 

I bambini dovranno individuare tutti gli schieramenti possibili che hanno esattamente 12 elementi.

 

Il primo è il seguente

 

 

Divisori con gli schieramenti


Divisori di un numero con gli schieramenti - 1 e 12 sono divisori di 12.

 

 

Lo schieramento ha una sola riga e dodici colonne: sia 1, numero di righe orizzontali, che 12, numero di colonne, sono divisori del numero 12.

 

Chiediamo agli alunni di costruire uno schieramento con due righe, inserendo di volta in volta una coppia di palloni, uno sulla prima, l'altro sulla seconda fino a che non raggiungeranno il numero dodici. Otterranno:

 

 

Divisori con l'utilizzo degli schieramenti


Divisori di un numero con gli schieramenti - 2 e 6 sono divisori di 12.

 

 

Il numero di righe orizzontali, 2, è divisore di 12, così come il numero di righe verticali, 6.

 

Con la stessa tecnica tenteranno a costruire uno schieramento di 12 elementi che ha tre righe orizzontali

 

 

L'uso degli schieramenti per i divisori di un numero


Divisori di un numero con gli schieramenti - 3 e 4 sono divisori di 12.

 

 

Lo schieramento ha 3 righe e 4 colonne, dunque sia 3 che 4 sono divisori di 12.

 

Naturalmente ci sono anche gli schieramenti che si ottengono cambiando le righe orizzontali con quelle verticali (proprietà commutativa della moltiplicazione).

 

L'esempio appena presentato ha il compito di trasmettere la seguente idea:

 

il numero di righe e il numero di colonne dello schieramento sono divisori del numero di elementi dello schieramento stesso.

 

Proprietà dei divisori

 

Come detto in precedenza, con l'aiuto degli schieramenti è possibile mostrare agli studenti alcune interessanti proprietà dei divisori. Prima di tutto le elenchiamo per comodità, dopodiché passiamo ad analizzarle una ad una:

 

1) ogni numero, diverso da zero, ha almeno due divisori: 1 e sé stesso;

 

2) se due numeri hanno un divisore in comune, esso sarà divisore della loro somma;

 

3) se due numeri hanno un divisore in comune, esso sarà anche divisore della loro differenza;

 

4) se un numero è divisore di un secondo numero allora questo è multiplo del primo;

 

5) tutti i numeri, diversi da 0, sono divisori dello 0;

 

6) 0 non è divisore di nessun numero.

 

Per ogni numero, maggiore di zero, è possibile costruire uno schieramento che ha una riga orizzontale e tante righe verticali in numero uguale al numero dato. La stessa proprietà scritta in termini rigorosi è la seguente:

 

ogni numero, diverso da zero, ha almeno due divisori: 1 e sé stesso.

 

Affianchiamo gli schieramenti con degli esempi che richiamino la definizione originaria

 

- Il resto della divisione 12:1 è 0, così come è zero il resto della divisione 12:12;

 

- Il resto della divisione 5:1 è zero, così come è zero il resto della divisione 5:5;

 

- I resti delle divisioni 10:1 e 10:10 sono zero, di conseguenza 1 e 10 sono i divisori di 10.

 

Facciamo un piccolo passo in avanti e con gli schieramenti introdurremo un'ulteriore proprietà. Dati due schieramenti che abbiano lo stesso numero di righe orizzontali, ad esempio

 

 

Proprietà dei divisori con gli schieramenti

 

 

Il primo schieramento ha 12 caramelle, il secondo 6, ed entrambi hanno come divisore 3 (il numero di righe). Se si uniscono gli schieramenti verrà generato un nuovo schieramento che ha 12+6=18 elementi ma che continua ad avere lo stesso numero di righe orizzontali, ossia 3 righe.

 

 

Proprietà fondamentali dei divisori con gli schieramenti

 

 

Questa attività permette di estrapolare la regola:

 

se due numeri hanno un divisore in comune, esso sarà divisore anche della loro somma.

 

Proponiamo alcuni esempi:

 

- 15 e 12 hanno un divisore comune ovvero 3, e la loro somma 15+12=27 ha 3 come divisore;

 

- 10 e 12 hanno come divisore comune 2, così come la loro somma 10+12=22 ha 2 come divisore;

 

- 14 e 21 hanno come divisore comune 7, e 14+21=35 ha ancora come divisore 7.

 

Sempre con gli schieramenti possiamo constatare che:

 

se due numeri hanno un divisore in comune, esso sarà anche divisore della loro differenza.

 

È sufficiente togliere da uno schieramento una o più righe verticali per mostrarne l'effettiva validità.

 

Facciamo qualche esempio numerico.

 

- 12 e 9 hanno 3 come divisore comune, la differenza tra i due numeri è 12-9=3 che ha ancora come divisore 3;

 

- 15 e 5 hanno 5 come divisore comune, la differenza tra i due numeri è 15-5=10 e 5 è un suo divisore;

 

- 4 e 2 hanno 2 come divisore comune, e 4-2=2 ha ancora 2 come divisore.

 

Relazione tra divisori e multipli

 

Finora abbiamo espresso le proprietà elementari di cui godono i divisori di un numero, ora invece è giunto il momento di vedere qual è la relazione fondamentale tra divisori e multipli.

 

I divisori e i multipli sono collegati tra loro, è possibile vederli come veri e propri concetti fratelli, infatti:

 

se un numero è divisore di un secondo numero, allora quest'ultimo è un multiplo del primo.

 

 

Relazione fondamentale tra i divisori e multipli


Relazione tra i concetti di multiplo e divisore.

 

 

Nell'immagine 12 è multiplo di 6, infatti 12 è il prodotto della moltiplicazione 6x2 e simmetricamente 6 è divisore di 12, infatti la divisione 12:6 ha come quoziente 2 e resto 0.

 

Divisori dello 0

 

Il numero 0 merita un posto d'onore in questa guida perché presenta due proprietà interessanti. La prima dice che

 

tutti i numeri, diversi da 0, sono divisori dello 0

 

infatti il resto della divisione tra zero e un numero qualsiasi, purché diverso da zero, è sempre zero.

 

La seconda proprietà, ed anche la più delicata da trattare, dice che:

 

0 non è divisore di nessun numero.

 

Per controllare che un numero sia un divisore di un altro si potrebbe ricorrere alla divisione, ma i bambini hanno già imparato che la divisione per zero non è possibile, di conseguenza non ha nemmeno senso parlare di resto.

 

 


 

Abbiamo terminato! Il concetto espresso in questa guida è veramente importante, e tornerà ciclicamente nella vita scolastica di ogni studente. Nelle prossime lezioni affronteremo nuovissimi argomenti tanto importanti quanto quelli forniti in precedenza: prima numeri primi e numeri composti, poi il crivello di Eratostene.

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (ifrit)

 

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