Multipli di un numero per la Scuola Primaria

I protagonisti di questa guida sono i multipli dei numeri. Vedremo come spiegarli ai bambini utilizzando i reticoli, i quali faciliteranno l'esposizione di alcune delle proprietà fondamentali.

La familiarità con le tabelline inoltre rappresenterà certamente un vantaggio per gli alunni, e a tal proposito consigliamo di guidarli in un ripasso prima di iniziare questa nuova unità didattica.

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria. Per chi fosse interessato, su YM è disponibile anche una lezione dedicata ai multipli per gli studenti delle scuole medie.

I multipli di un numero

Le tabelline sono certamente un punto di partenza per spiegare agli alunni il concetto di multiplo di un numero, e come vedremo tra un istante la tavola pitagorica ci permetterà di agevolare parecchio la spiegazione. Possiamo sfruttarla come strumento didattico per presentare il nuovo argomento.

Nell'immagine ogni riga individua la tabellina del numero indicato in prima posizione, fino al dieci.

Prendiamo ad esempio la tabellina del 3. I numeri

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

sono alcuni dei multipli di 3.

Analogamente, se consideriamo la tabellina del 7

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

possiamo dire che sono alcuni dei multipli di 7.

I precedenti esempi forniscono una primissima idea: alcuni dei multipli di un numero compaiono nella tabellina del numero stesso. È un'intuizione suggestiva estremamente funzionale nelle prime fasi dell'apprendimento.

Il secondo step consiste nel raffinare il linguaggio, fornendo ai bambini la definizione di multiplo di un numero: un multiplo di un numero è un qualsiasi prodotto di quel numero per un altro, dove con prodotto ci riferiamo naturalmente al risultato della moltiplicazione.

Non fermiamoci mai alle sole parole, e ricordiamoci di accompagnarle sempre con degli esempi significativi.

Esempi sui multipli

- 15 è multiplo di 3, perché 15 è il prodotto di 3x5;

- 15 è anche multiplo di 5, perché è il prodotto di 5x3;

- 20 è multiplo di 4, perché è il risultato della moltiplicazione 4x5;

- 42 è multiplo di 6, perché si esprime come 6x7;

- 7 è multiplo di 7, perché è il prodotto di 7x1.

Proprietà dei multipli

Prima di tutto riportiamo l'elenco delle proprietà dei multipli. Avremo modo di trattarle una ad una nel prosieguo della guida:

1) lo stesso numero può essere multiplo di più numeri;

2) ogni numero è multiplo di 1 e di sé stesso;

3) 0 è multiplo di ogni numero;

4) ogni numero ha infiniti multipli;

5) il prodotto di due numeri è multiplo comune dei fattori;

6) se si addiziona al multiplo di un numero il numero stesso, si ottiene un nuovo multiplo;

7) la somma di due multipli di un numero è ancora un multiplo del numero dato;

8) la differenza di due multipli di un numero è ancora un suo multiplo.

Concentriamo l'attenzione degli alunni sui primi due esempi che abbiamo proposto in precedenza. Abbiamo visto che 15 è multiplo sia di 3 che di 5. La proprietà sottintesa è la seguente:

lo stesso numero può essere multiplo di più numeri.

Questa caratteristica può essere evidenziata anche con la tabella della moltiplicazione.

- 12 fa parte della tabellina del 2, della tabellina del 3, della tabellina del 4 e della tabellina del 6, ed è dunque il multiplo di questi numeri;

- 21 è multiplo di 3 e 7, infatti è presente sia nella tabellina del 3 e nella tabellina del 7.

Vi sono altre due proprietà dei multipli che gli alunni devono tenere a mente. La prima asserisce che

ogni numero è multiplo di 1 e di sé stesso

infatti ogni numero si scrive come il prodotto di 1 per sé stesso.

Inoltre

0 è multiplo di ogni numero

perché 0 è il prodotto della moltiplicazione tra un qualsiasi numero e lo 0 stesso.

Esempi

- 5 è multiplo sia di 1 che di sé stesso, infatti 5=5x1;

- 0 è multiplo di 5 perché è il prodotto della moltiplicazione 5x0;

- 0 è multiplo di 6 perché è il prodotto della moltiplicazione 6x0.

Passiamo ad un'ulteriore proprietà dei multipli:

ogni numero ha infiniti multipli

La lista dei multipli di un numero non finisce mai e non è quindi possibile elencarli tutti. Qui fallisce l'idea iniziale di associare i multipli di un numero ai prodotti presenti nelle tabelline. Tramite quest'ultime i bambini imparano a riconoscere solo i primi 11 multipli dei numeri da 0 a 10, ma non vanno oltre.

Poco importa: l'approccio delle tabelline è già servito per instillare negli alunni la nozione di multiplo di un numero. Per indicare tutti i multipli di un numero se ne riportano alcuni (in modo ordinato) seguiti da alcuni punti sospensivi, il cui compito è quello di evidenziare che l'elenco continua indefinitamente:

- I multipli di 4 sono 0, 4, 8, 12, 16, ...

- I multipli di 7 sono 0, 7, 14, 21, 28, ...

- I multipli di 15 sono 0, 15, 30, 45, 60, ...

Un'ulteriore regola che serve a spianare la strada per gli argomenti successivi asserisce che

il prodotto di due numeri è multiplo comune dei fattori.

Ad esempio 5x2=10, dove 10 è il prodotto della moltiplicazione di 5 per 2 ed è multiplo di entrambi i fattori, sia di 5 che di 2.

Multipli di un numero con i reticoli

I reticoli ed in particolare gli incroci forniscono un utile strumento didattico che permette di introdurre i multipli di un numero mediante disegni. Per spiegare come usarli porteremo un esempio-guida: l'obiettivo è determinare i multipli di 3.

Chiediamo ai bambini di tracciare 3 righe orizzontali e nessuna riga verticale

0 è un multiplo di 3 (con i reticoli).

Il numero di incroci è zero, di conseguenza 3x0=0 e dunque zero è multiplo di tre.

Ora facciamo in modo che traccino una riga verticale, e chiediamo di contare il numero di incroci.

3 è un multiplo di 3 (con i reticoli).

Il numero di incroci è tre, 3x1=3, e dunque 3 è multiplo di 3.

Se si tracciano due righe verticali

6 è un multiplo di 3 (con i reticoli).

si vede subito che il numero di incroci è sei, 3x2=6, poiché 6 è il prodotto di 3x2 allora è multiplo di 3.

Ogni volta che inseriranno una linea verticale, il numero di incroci risultante sarà un multiplo di tre. Questa strategia funziona con qualsiasi altro numero, però presenta un piccolo difetto: se il numero di cui si vuole determinare i multipli è molto grande, oppure se si inseriscono tante righe verticali, il conteggio degli incroci si complica troppo.

E allora perché proporre i reticoli nell'unità didattica? Semplicemente perché permettono di estrapolare facilmente alcune regole fondamentali.

La prima asserisce che ad ogni aggiunta di una riga verticale vengono generati tanti incroci quante sono le righe orizzontali, ed il numero di incroci totale è ancora un multiplo. Ciò suggerisce la seguente idea:

se si addiziona al multiplo di un numero il numero stesso, si ottiene un nuovo multiplo.

Questa proprietà permette di determinare i multipli di un numero tramite la linea dei numeri.

Multipli di 3 sulla linea dei numeri.

Nell'immagine sono indicati i multipli di 3, ottenuti partendo dallo zero e facendo salti di tre unità verso destra. Naturalmente aumentando la lunghezza della linea è possibile determinare un numero di multipli maggiore.

Con questa osservazione i reticoli mostrano la loro straordinaria utilità didattica. Vediamo un ulteriore esempio sul loro utilizzo per ricavare nuove proprietà dei multipli.

Se a un reticolo si aggiungono più linee verticali, verrà generato un nuovo reticolo il cui numero totale di incroci sarà ancora un multiplo del numero di righe. Ancora una volta, le parole sono troppo elaborate, un disegno rende tutto molto più semplice.

Multipli di un numero con i reticoli.

Nell'immagine abbiamo disegnato due reticoli, di cui uno con 24 incroci e uno con 9. Il numero totale di incroci è 33 ed è ancora un multiplo di 3, questo perché 33 è il prodotto di 3 (il numero di righe orizzontali) per 11, il numero totale di righe verticali. La regola matematica che si cela dietro questo esempio è la seguente:

la somma di due multipli di un numero è ancora un multiplo del numero dato.

Esempi

- 9 e 6 sono multipli di 3. Se si esegue l'addizione tra i numeri 9 e 6 si ottiene 15, che è ancora multiplo di 3;

- 12 e 18 sono multipli di 6, 12+18=30 e la somma è ancora un multiplo di 6;

- 15 e 20 sono multipli di 5, 15+20=35 che è ancora multiplo di 5;

Sempre con l'uso dei reticoli i bambini possono apprendere che

la differenza di due multipli di un numero è ancora un suo multiplo.

Esempi

- 10 e 5 sono multipli di 5 e la sottrazione 10-5 ha come risultato 5, che è ancora un multiplo di 5;

- 12 e 6 sono multipli di 3 e la differenza 12-6=6, che è ancora un multiplo di 3;

- 21 e 14 sono multipli di 7 e la loro differenza 21-14=7, che è ancora un multiplo di 7.

Per convincere i bambini della validità della regola appena enunciata possiamo proporre il seguente ragionamento: se da un reticolo si tolgono delle righe verticali, verrà a crearsi un nuovo reticolo il cui numero di incroci è un multiplo del numero di righe orizzontali.

Nota conclusiva

Tra il secondo e il terzo anno della scuola secondaria di primo grado (ex scuole medie) gli alunni affrontano i numeri interi relativi, ossia i numeri interi preceduti dal segno più e dal segno meno (zero incluso). A quel punto - e solo allora - la nozione di multiplo di un numero viene estesa anche ai numeri negativi. Prima di allora è inevitabile limitare la definizione all'insieme dei numeri naturali, vale a dire ai numeri positivi (più lo zero).

Per questa lezione è tutto, nella prossima lezione parleremo di divisori (o sottomultipli), un nuovo concetto che però è strettamente imparentato a quello proposto in questa lezione.

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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