Assiomi della Probabilità

Con assiomi della Probabilità ci si riferisce ai tre assiomi fondamentali su cui poggia la teoria del Calcolo delle Probabilità. Essi non forniscono un metodo per attribuire un valore numerico alla probabilità di un evento, bensì fissano delle regole base che ogni metodo di calcolo delle probabilità deve rispettare.

 

Nella precedente lezione abbiamo definito la probabilità di un evento come rapporto tra il numero dei casi favorevoli per il verificarsi dell'evento e il numero di casi possibili come esiti dell'esperimento aleatorio. Abbiamo anche osservato che tale definizione è applicabile solo se l'esperimento è equo e solo quando è possibile contare il numero di casi possibili e quello di casi favorevoli.

 

Per superare tali inconvenienti sono state introdotte altre definizioni di probabilità di un evento fino ad arrivare alla definizione assiomatica di Probabilità, di cui parliamo in questa lezione.

 

Nota bene: per non complicare troppo la spiegazione anche in questo caso lavoreremo con spazi campionari di tipo discreto, dove gli assiomi della Probabilità valgono per ogni evento, ossia per ogni sottoinsieme di uno spazio campionario. Precisiamo però che la definizione assiomatica di Probabilità si può estendere anche agli spazi campionari continui, dove però la trattazione è più delicata perché i tre assiomi non valgono per ogni evento dello spazio campionario, ma solo per una speciale sottoclasse di eventi.

 

Definizione assiomatica di Probabilità

 

La definizione assiomatica di Probabilità venne formulata dal matematico sovietico Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933, e si compone di tre assiomi.

 

Sia \Omega uno spazio campionario di tipo discreto relativo a un esperimento casuale. Per ogni evento E \subseteq \Omega è definito un numero \mathbb{P}(E), detto probabilità di E, che soddisfa i seguenti tre assiomi.

 

 

Primo assioma

 

La probabilità di E è un numero reale non negativo

 

\mathbb{P}(E) \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(E) \ge 0 \ \ \forall E \subseteq \Omega

 

 

Secondo assioma

 

La probabilità dell'intero spazio campionario, ossia dell'evento certo, è uguale a 1

 

\mathbb{P}(\Omega)=1

 

 

Terzo assioma

 

Per ogni coppia di eventi incompatibili E_1, E_2 \subseteq \Omega, la probabilità dell'evento unione E_1 \cup E_2 è uguale alla somma delle loro probabilità

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)\\ \\ \forall E_1,E_2 \subseteq \Omega, \ E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

Conseguenze degli assiomi di Probabilità

 

Dai tre assiomi della Probabilità discendono alcune fondamentali e importanti proprietà. Vediamole :)

 

 

1) Probabilità del complementare di un evento

 

La probabilità del complementare di un evento E vale 1 meno la probabilità dell'evento stesso

 

\mathbb{P}\left(E^C\right) = 1-\mathbb{P}(E) \ \ \forall E \subseteq \Omega

 

Dimostrazione

 

Quale che sia E \subseteq \Omega, il suo evento complementare E^C è formato dai punti campionari di \Omega che non appartengono a E, dunque E, E^C sono eventi incompatibili

 

E \cap E^C = \emptyset

 

La loro unione è l'intero spazio campionario

 

E \cup E^C = \Omega

 

Dal secondo e dal terzo assioma della Probabilità si ricava la seguente catena di uguaglianze

 

1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}\left(E \cup E^C\right) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}\left(E^C\right)

 

da cui segue

 

\mathbb{P}(E) + \mathbb{P}\left(E^C\right) = 1

 

e quindi la tesi

 

\mathbb{P}\left(E^C\right) = 1-\mathbb{P}(E)

 

 

2) Probabilità dell'evento impossibile

 

La probabilità dell'evento impossibile è zero.

 

\mathbb{P}(\emptyset) = 0

 

Dimostrazione

 

Fissato uno spazio campionario \Omega, l'intero spazio campionario funge da insieme universo e corrisponde all'evento certo, mentre l'insieme vuoto corrisponde all'evento impossibile.

 

Dalle proprietà del complementare di un insieme sappiamo che il complementare dell'insieme universo è uguale all'insieme vuoto

 

\emptyset = \Omega^C

 

pertanto

 

\mathbb{P}(\emptyset) = \mathbb{P}\left(\Omega^C\right)=

 

la probabilità del complementare di un evento è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento stesso

 

=1-\mathbb{P}(\Omega)=

 

e per il secondo assioma della Probabilità

 

=1-1=0

 

 

3) Proprietà di monotonicità

 

Se un evento E è incluso in un evento F, allora la probabilità di E è minore o uguale alla probabilità di F

 

E \subseteq F \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(E) \le \mathbb{P}(F)

 

Dimostrazione

 

Supponiamo che E sia incluso in F. Con l'aiuto di un diagramma di Eulero-Venn è facile vedere che F-E ed E sono eventi incompatibili

 

(F-E) \cap E = \emptyset

 

e che la loro unione è tutto F

 

F=(F-E) \cup E

 

Per il terzo assioma della Probabilità

 

\mathbb{P}(F) = \mathbb{P}\left((F-E) \cup E\right) = \mathbb{P}(F-E) + \mathbb{P}(E)

 

Dal primo assioma è noto che la probabilità di un qualsiasi evento è non negativa, dunque

 

\mathbb{P}(F) = \mathbb{P}(F-E) + \mathbb{P}(E) \ge \mathbb{P}(E)

 

e in particolare

 

\mathbb{P}(E) \le \mathbb{P}(F)

 

 

4) Intervallo di definizione della probabilità di un evento

 

La probabilità di qualsiasi evento è sempre compresa tra 0 e 1, estremi inclusi.

 

0 \le \mathbb{P}(E) \le 1 \ \ \forall E \subseteq \Omega

 

Dimostrazione

 

Per ogni evento E \subseteq \Omega valgono le ovvie inclusioni

 

\emptyset \subseteq E \subseteq \Omega

 

Dalla proprietà di monotonicità segue che

 

\mathbb{P}(\emptyset) \le \mathbb{P}(E) \le \mathbb{P}(\Omega)

 

Abbiamo precedentemente dimostrato che la probabilità dell'evento impossibile è zero, mentre per il secondo assioma la probabilità dell'evento certo è 1, per cui dalla precedente catena di disuguaglianze otteniamo la tesi

 

0 \le \mathbb{P}(E) \le 1

 

 

5) Probabilità dell'unione di più eventi incompatibili

 

La probabilità dell'unione di n \ge 2 eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità

 

\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}E_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i) \\ \\ \\ \forall E_1,E_2, ... E_n \subseteq \Omega, \ E_i \cap E_j = \emptyset \ \forall i \neq j

 

Dimostrazione

 

Questa proprietà si dimostra per induzione su n. Come la maggior parte delle dimostrazioni per induzione è piuttosto semplice e meccanica, dunque la lasciamo a voi per esercizio.

 

Definizione classica e definizione assiomatica di Probabilità

 

A questo punto è importante osservare che il lavoro svolto nella precedente lezione non è vano. ;) La definizione assiomatica e la definizione classica di Probabilità non sono in conflitto tra loro, infatti:

 

• la definizione classica fornisce una formula specifica con cui attribuire un valore numerico alla probabilità di un evento nella maggior parte dei casi concreti, in cui si può supporre che l'esperimento sia equo e in cui si possono calcolare il numero di casi favorevoli per il realizzarsi dell'evento e il numero di casi possibili;

 

• gli assiomi della Probabilità e le loro conseguenze individuano le regole teoriche e generali per il calcolo della probabilità di un evento, qualunque sia il metodo, dunque anche quando gli esiti di un esperimento non sono equiprobabili oppure quando non è possibile calcolare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

 

Ribadiamo ancora una volta che, fatta eccezione per l'evento certo e per l'evento impossibile, gli assiomi della Probabilità non dicono nulla su come attribuire la probabilità da un punto di vista numerico, cosa che invece fa la definizione classica. In altre parole la definizione assiomatica e la definizione classica di Probabilità coesistono: la prima è generale e teorica, e permette di definire svariati metodi di calcolo delle probabilità; la seconda fornisce un metodo specifico e pratico per calcolare le probabilità.

 

Per averne conferma possiamo provare che la definizione classica soddisfa i tre assiomi:

 

1) il primo assioma è certamente rispettato, perché nella definizione classica abbiamo un rapporto tra interi non negativi, che in quanto tale è un numero reale non negativo.

 

\mathbb{P}(E)=\frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}\geq 0

 

2) Anche il secondo assioma è soddisfatto, infatti se consideriamo l'evento certo il numero di casi favorevoli equivale al numero di casi possibili, dunque il rapporto vale 1.

 

\mathbb{P}(\Omega)=\frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=\frac{\#\ \mbox{casi possibili}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=1

 

3) Se consideriamo due eventi incompatibili, ossia con intersezione vuota, la cardinalità dell'unione è uguale alla somma delle cardinalità. Se chiamiamo i due eventi E_1,E_2\subseteq\Omega, con E_1\cap E_2=\emptyset, allora risulta

 

\mathbb{P}(E_1\cup E_2)=\frac{|E_1\cup E_2|}{|\Omega|}=\ \ (\mbox{eventi disgiunti})\\ \\ \\ =\frac{|E_1|+|E_2|}{|\Omega|}=\frac{|E_1|}{|\Omega|}+\frac{|E_2|}{|\Omega|}=\mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)

 

Per concludere vediamo un esempio per mostrare come la definizione assiomatica non fornisce un metodo pratico di calcolo, ma solo delle "linee guida" che i metodi di calcolo della probabilità devono soddisfare.

 

Supponiamo di voler calcolare, nel lancio di un dado a sei facce e non truccato, la probabilità che si ottenga una faccia con un numero pari di pallini oppure la faccia con tre pallini.

 

Prendiamo come spazio campionario l'insieme

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

 

dove ogni numero rappresenta il numero di pallini che può mostrare la faccia del dado dopo il lancio.

 

Consideriamo gli eventi

 

E_1 → si ottiene una faccia con un numero pari di pallini;

 

E_2 → si ottiene la faccia con tre pallini.

 

Dobbiamo calcolare la probabilità dell'evento unione E_1 \cup E_2.

 

Il terzo assioma della Probabilità ci dice che la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2)

 

ma non ci dice nulla su come calcolarle.

 

D'altro canto la definizione classica rispetta i requisiti della definizione assiomatica, dunque è un metodo valido per calcolare esplicitamente la probabilità dell'evento in questione. Qui inoltre siamo in presenza di un esperimento equo e siamo in grado di contare i casi favorevoli e i casi possibili, quindi possiamo risolvere l'esercizio usando la formula della definizione classica.

 

Esplicitiamo i punti campionari dei due eventi

 

E_1=\{2,4,6\} \ \ \ ; \ \ \ E_2=\{3\}

 

e osserviamo che sono eventi incompatibili, infatti la loro intersezione è l'evento impossibile.

 

\\ \mathbb{P}(E_1)=\frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \\ \\ \mathbb{P}(E_2)=\frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

 

Se esplicitiamo i punti campionari dell'evento unione

 

E_1 \cup E_2 = \{2,3,4,6\}

 

possiamo calcolarne la probabilità dividendo il numero di casi favorevoli per quello dei casi possibili

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \frac{|E_1 \cup E_2|}{|\Omega|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

 

In alternativa, poiché sappiamo che la definizione classica soddisfa i requisiti della definizione assiomatica, possiamo servirci degli assiomi generali e delle proprietà che discendono da essi. Qui basta applicare il terzo assioma: poiché i due eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento unione è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) = \frac{1}{2}+\frac{1}{6} = \frac{2}{3}

 

da cui il medesimo risultato.

 

 


 

Dalla prossima lezione inizieremo a studiare i concetti e i teoremi fondamentali sul calcolo della probabilità di un evento. Vi anticipiamo che partiremo dalla probabilità totale, ossia vedremo come calcolare la probabilità dell'unione di due o più eventi qualsiasi, anche quando essi non sono incompatibili.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: assiomi della Probabilità - definizione assiomatica di Probabilità - differenze tra definizione assiomatica e definizione classica di Probabilità.