Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes serve per calcolare la probabilità condizionata di un evento E rispetto a un altro evento F, a patto di conoscere, oppure di saper calcolare, le probabilità dei due eventi e la probabilità condizionata di F rispetto a E.

 

Stiamo per affrontare uno dei più importanti risultati del corso sul Calcolo delle Probabilità: il teorema di Bayes, proposto dal matematico britannico Thomas Bayes nella prima metà del 1700. Qui di seguito ne proponiamo l'enunciato, la formula generale e la dimostrazione, e vediamo qualche esempio di applicazione.

 

Esattamente come nel caso della precedente lezione, anche questo è un argomento che non sempre viene trattato alle scuole superiori, se non in qualche corso sperimentale del Liceo Scientifico, dunque ci rivolgiamo prevalentemente agli studenti universitari.

 

Enunciato del teorema di Bayes e formula di Bayes

 

Partiamo dall'enunciato del teorema di Bayes. Siano E,F due eventi con probabilità non nulle. La probabilità condizionata di E rispetto a F è uguale al prodotto tra la probabilità condizionata di F rispetto a E e la probabilità di E, tutto fratto la probabilità di F.

 

Più brevemente il teorema di Bayes si enuncia con la seguente equazione, nota come formula di Bayes:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)} \ \ \mbox{ con } \mathbb{P}(E), \mathbb{P}(F) \neq 0

 

Dimostrazione del teorema di Bayes

 

La dimostrazione del teorema di Bayes è davvero semplice e alla portata di tutti, infatti discende dalla definizione di probabilità condizionata e dal teorema della probabilità composta.

 

Siano E,F due eventi con probabilità non nulle. La probabilità condizionata di E rispetto a F è uguale, per definizione, al rapporto tra la probabilità dell'evento intersezione E \cap F e la probabilità di F

 

\mathbb{P}(E|F) = \frac{\mathbb{P}(E \cap F)}{\mathbb{P}(F)}=

 

\mathbb{P}(E \cap F) è la probabilità composta degli eventi E, F. Nelle nostre ipotesi possiamo usare il teorema della probabilità composta, ed esprimerla come prodotto tra la probabilità condizionata di F rispetto a E e la probabilità di E

 

= \frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)}

 

Abbiamo così ricavato la formula di Bayes:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)}\ \ \mbox{ con } \mathbb{P}(E), \mathbb{P}(F) \neq 0

 

Esempi di applicazione del teorema di Bayes

 

Vediamo un paio di esempi di applicazione della formula di Bayes. Prima però precisiamo che negli esercizi capiterà spesso di essere costretti a calcolare \mathbb{P}(F) con il teorema della probabilità assoluta, quindi è bene ricordarselo. ;)

 

 

1) Consideriamo due monete. La prima è una moneta regolare, che presenta una testa su un lato e una croce sull'altro lato, mentre la seconda ha una testa su entrambi i lati. Si lancia una moneta scelta a caso tra le due, ottenendo testa come risultato. Calcolare la probabilità che sia stata scelta la seconda moneta.

 

Svolgimento: assegniamo un nome agli eventi coinvolti. Siano:

 

E l'evento "è stata scelta la seconda moneta";

 

F l'evento "dopo il lancio è uscito testa".

 

Ci viene chiesto di calcolare \mathbb{P}(E|F), ossia la probabilità che sia stata scelta la seconda moneta sapendo che dopo il lancio è uscito testa.

 

Applichiamo il teorema di Bayes:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)}

 

e calcoliamo le probabilità a secondo membro.

 

\mathbb{P}(F|E) è la probabilità di ottenere testa sapendo che è stata scelta la seconda moneta. Poiché quest'ultima ha una testa su entrambi i lati, F condizionato E è l'evento certo e quindi

 

\mathbb{P}(F|E)=1

 

\mathbb{P}(E) è la probabilità di scegliere la seconda moneta. Sappiamo che le monete sono due e che la scelta della moneta da lanciare è casuale, dunque con la formula classica per calcolare la probabilità

 

\mathbb{P}(E)=\frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=\frac{1}{2}

 

\mathbb{P}(F) è la probabilità di ottenere testa dopo il lancio

 

\mathbb{P}(F)=\frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=\frac{3}{4}

 

Osserviamo infatti che le monete hanno in tutto 4 facce, di cui 3 hanno incisa una testa; di conseguenza il numero di casi favorevoli è 3 e quello di casi possibili è 4.

 

Possiamo finalmente applicare la formula di Bayes

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{1 \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

 

da cui otteniamo che la probabilità che sia stata scelta la seconda moneta sapendo che è uscita testa è pari a 2/3.

 

 

2) Una scatola contiene 100 lampadine, di cui 20 di tipo A, 30 di tipo B e 50 di tipo C. La probabilità che una lampadina duri più di mille ore è del 70% per le lampadine di tipo A, del 40% per le lampadine di tipo B e del 30% per le lampadine di tipo C.

 

Si sceglie una lampadina a caso. Sapendo che la lampadina scelta dura più di mille ore, qual è la probabilità che si tratti di una lampadina di tipo B?

 

Svolgimento: sia \Omega l'insieme di tutte le lampadine e siano E_1, E_2, E_3, F i seguenti eventi:

 

E_1 → la lampadina scelta è di tipo A;

 

E_2 → la lampadina scelta è di tipo B;

 

E_3 → la lampadina scelta è di tipo C;

 

F → la lampadina scelta dura più di mille ore.

 

Ci viene chiesto di calcolare la probabilità che una lampadina sia di tipo B sapendo che dura più di mille ore, ossia dobbiamo calcolare \mathbb{P}(E_2|F).

 

Per la formula di Bayes:

 

\mathbb{P}(E_2|F) = \frac{\mathbb{P}(F|E_2) \cdot \mathbb{P}(E_2)}{\mathbb{P}(F)}

 

Ragioniamo. È noto che la scatola contiene 100 palline, di cui 20 di tipo A, 30 di tipo B e 50 di tipo C, per cui

 

\\ \mathbb{P}(E_1) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \\ \\ \\ \mathbb{P}(E_2) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} \\ \\ \\ \mathbb{P}(E_3) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

 

Sappiamo anche anche la probabilità che una lampadina duri più di mille ore è del 70% per le lampadine di tipo A, del 40% per le lampadine di tipo B e del 30% per le lampadine di tipo C, dunque

 

\\ \mathbb{P}(F|E_1) = 70\% = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} \\ \\ \\ \mathbb{P}(F|E_2) = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \\ \\ \\ \mathbb{P}(F|E_3) = 30\% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}

 

Riscriviamo la formula di Bayes:

 

\mathbb{P}(E_2|F) = \frac{\mathbb{P}(F|E_2) \cdot \mathbb{P}(E_2)}{\mathbb{P}(F)}

 

Le probabilità a numeratore sono già note, dunque rimane da determinare \mathbb{P}(F).

 

Osserviamo che gli eventi E_1, E_2, E_3 formano una partizione dello spazio campionario \Omega, dunque per calcolare \mathbb{P}(F) usiamo il teorema della probabilità assoluta:

 

\\ \mathbb{P}(F)=\mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(F|E_1) + \mathbb{P}(E_2) \cdot \mathbb{P}(F|E_2) + \mathbb{P}(E_3) \cdot \mathbb{P}(F|E_3)=

 

Con le giuste sostituzioni

 

\\ =\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{41}{100}

 

A questo punto dobbiamo solo sostituire nella formula di Bayes e svolgere dei semplici calcoli algebrici

 

\\ \mathbb{P}(E_2|F) = \frac{\mathbb{P}(F|E_2) \cdot \mathbb{P}(E_2)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{10}}{\dfrac{41}{100}} = \\ \\ \\ = \frac{3}{25} \cdot \frac{100}{41} = \frac{12}{41}

 

In definitiva la probabilità che la lampadina scelta sia di tipo B, sotto la condizione che duri più di mille ore, è uguale a 12/41.

 

 


 

Con questa lezione si potrebbe tranquillamente chiudere il capitolo dedicato al Calcolo delle Probabilità, ma non ci fermiamo qui. Abbiamo preparato per voi una lezione extra, che riepiloga tutte le formule viste fin qui e in cui spieghiamo come si approcciano i problemi di Probabilità. Non perdetevela, vi aiuterà molto nella risoluzione degli esercizi! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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