Probabilità totale

La probabilità totale, o probabilità dell'unione, è la probabilità che si realizzi almeno uno tra due o più eventi, ossia è la probabilità che si verifichi l'evento dato dalla loro unione.

 

Dagli assiomi della Probabilità è noto che la probabilità dell'unione tra due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità, ma non sappiamo niente sulla probabilità dell'unione di eventi qualsiasi. Lo scopo di questa lezione è proprio quello di mostrare come si calcola la probabilità dell'unione tra eventi qualsiasi, detta più semplicemente probabilità totale.

 

Nella prima parte ci concentreremo sulla probabilità totale di due eventi: forniremo enunciato e dimostrazione del teorema della probabilità totale per due eventi, e vedremo qualche esempio di applicazione. Nella seconda parte, dedicata agli universitari e agli studenti delle scuole superiori più volenterosi, ne forniremo la generalizzazione.

 

Teorema della probabilità totale per due eventi

 

Cominciamo con l'enunciato del teorema della probabilità totale per due eventi.

 

Dati due eventi E_1, E_2\subseteq\Omega, la probabilità dell'unione dei due eventi \mathbb{P}(E_1\cup E_2) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità dell'intersezione tra i due eventi.

 

Più esplicitamente, vale la seguente formula per il calcolo della probabilità totale di due eventi:

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

Vi facciamo notare da subito che se E_1, E_2 sono eventi incompatibili si ricade nel terzo assioma della Probabilità. Ricordiamo infatti che E_1, E_2 sono incompatibili se e solo se la loro intersezione è vuota

 

E_1,E_2 \mbox{ incompatibili} \iff E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

La probabilità dell'evento impossibile è pari a zero

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0

 

dunque in tal caso la formula della probabilità totale per due eventi si riduce al terzo assioma della Probabilità: la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle singole probabilità

 

E_1,E_2 \mbox{ incompatibili}\ \Rightarrow \ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)

 

Dimostrazione del teorema della probabilità totale per due eventi

 

Siano E_1,E_2\subseteq\Omega due eventi di uno stesso spazio campionario \Omega.

 

Come ormai sappiamo, E_1, E_2 non sono altro che insiemi e in particolare sono due sottoinsiemi di \Omega, che ricopre il ruolo di insieme universo.

 

Esprimiamo E_1 \cup E_2 ed E_2 come unioni di insiemi disgiunti, o per meglio dire come unioni di eventi incompatibili, così da poter applicare il terzo assioma della Probabilità.

 

Considerando le giuste operazioni tra insiemi si vede che:

 

\\ E_1 \cup E_2 = E_1 \cup \left(E_1^C \cap E_2\right) \ \ (1) \\ \\ E_2=(E_1 \cap E_2) \cup \left(E_1^C \cap E_2\right) \ \ (2)

 

dove E_1^C è il complementare dell'evento E_1, ossia il complementare dell'insieme E_1 rispetto a \Omega.

 

E_1 ed E_1^C \cap E_2 sono tra loro disgiunti, dunque dalla relazione (1) e dal terzo assioma della Probabilità segue che:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}\left(E_1 \cup \left(E_1^C \cap E_2\right)\right) = \\ \\ = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}\left(E_1^C \cap E_2\right) \ \ (3)

 

Analogamente, poiché anche E_1 \cap E_2 ed E_1^C \cap E_2 hanno intersezione vuota, dalla relazione (2) e sempre dal terzo assioma si ha che

 

\\ \mathbb{P}(E_2)=\mathbb{P}\left((E_1 \cap E_2) \cup \left(E_1^C \cap E_2\right)\right) = \\ \\ =\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) + \mathbb{P}\left(E_1^C \cap E_2\right) \ \ (4)

 

Sottraiamo le equazioni (3) e (4) membro a membro

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) - \mathbb{P}(E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}\left(E_1^C \cap E_2\right) - \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) - \mathbb{P}\left(E_1^C \cap E_2\right)

 

e semplifichiamo

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) - \mathbb{P}(E_2) = \mathbb{P}(E_1) - \mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

Portiamo \mathbb{P}(E_2) a secondo membro e otteniamo la tesi

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P} (E_2) - \mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

Osservazione sull'utilizzo del teorema della probabilità totale

 

Per risolvere gli esercizi sulla probabilità dell'unione di due eventi non è sempre necessario utilizzare il teorema della probabilità totale.

 

Se gli esiti dell'esperimento casuale sono equiprobabili e in numero finito, per calcolare la probabilità totale si può usare la definizione classica di probabilità di un evento, ossia dividere il numero dei casi favorevoli di E_1 \cup E_2 per il numero dei casi possibili

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=\frac{|E_1\cup E_2|}{|\Omega|}

 

ed eventualmente verificare che si ottiene lo stesso risultato con il teorema della probabilità totale.

 

Esempi sul calcolo della probabilità totale di due eventi

 

1) Un'urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Calcolare la probabilità che nell'estrazione di una pallina dall'urna esca un numero pari oppure un multiplo di 3.

 

Svolgimento: scegliamo come spazio campionario l'insieme

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

 

dove ciascun punto campionario è il numero riportato sulla pallina. Ovviamente è del tutto lecito assumere che i dieci esiti siano equiprobabili.

 

Denotiamo con E_1 l'evento "viene estratta una pallina con un numero pari" e con E_2 l'evento "viene estratta una pallina con un numero multiplo di 3". Dobbiamo calcolare la probabilità dell'evento unione E_1 \cup E_2.

 

I numeri pari compresi tra 1 e 10 sono 2, 4, 6, 8, 10, dunque

 

E_1=\{2,4,6,8,10\}

 

I multipli di 3 compresi tra 1 e 10 sono 3, 6, 9, pertanto

 

E_2=\{3,6,9\}

 

Con queste informazioni è immediato individuare i punti campionari dell'evento unione

 

E_1 \cup E_2 =\{2,3,4,6,8,9,10\}

 

e quindi calcolare la probabilità totale come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \frac{|E_1 \cup E_2|}{|\Omega|} = \frac{7}{10} = 0,7

 

Verifichiamo che si ottiene lo stesso risultato con il teorema della probabilità totale per due eventi, secondo cui

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

Calcoliamo le probabilità dell'evento intersezione E_1 \cap E_2 e degli eventi E_1 ed E_2.

 

E_1 \cap E_2 = \{6\}

 

di conseguenza

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \frac{|E_1 \cap E_2|}{|\Omega|} = \frac{1}{10}

 

Inoltre

 

\\ \mathbb{P}(E_1) = \frac{|E_1|}{|\Omega|} = \frac{5}{10} \\ \\ \\ \mathbb{P}(E_2)=\frac{|E_2|}{|\Omega|} = \frac{3}{10}

 

Ci siamo! Per il teorema della probabilità totale:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \\ \\ = \frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10} = \frac{7}{10} = 0,7

 

 

2) Anna decide di portare in vacanza un romanzo e un libro giallo. Con probabilità pari a 0,4 le piacerà il romanzo, con probabilità pari a 0,5 le piacerà il libro giallo e con probabilità pari a 0,2 le piaceranno entrambi i libri. Qual è la probabilità che non le piaccia nessuno dei due?

 

Svolgimento: assegniamo un nome agli eventi. Siano:

 

E_1 l'evento "ad Anna piace il romanzo";

 

E_2 l'evento "ad Anna piace il libro giallo";

 

E_3 l'evento "ad Anna non piace nessuno dei libri".

 

Dai dati forniti dalla traccia è noto che

 

\mathbb{P}(E_1)=0,4 \ \ ; \ \ \mathbb{P}(E_2)=0,5 \ \ ; \ \ \mathbb{P}(E_1\cap E_2)=0,2

 

e ci viene chiesto di calcolare \mathbb{P}(E_3).

 

Osserviamo che E_3 è il complementare dell'evento "ad Anna piace almeno uno dei libri", ossia E_3 è il complementare dell'evento unione E_1 \cup E_2.

 

E_3 = (E_1 \cup E_2)^C

 

Calcoliamo la probabilità di E_1 \cup E_2. In questo caso non possiamo fare a meno di usare il teorema della probabilità totale

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \\ \\ =0,4+0,5-0,2=0,7

 

La probabilità di E_3, ossia la probabilità dell'evento complementare di E_1 \cup E_2, è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento stesso, dunque

 

\mathbb{P}(E_3) = \mathbb{P}\left((E_1 \cup E_2)^C\right) = 1-\mathbb{P}\left(E_1 \cup E_2\right) = \\ \\ = 1-0,7=0,3

 

In definitiva la probabilità che ad Anna non piaccia nessuno dei due libri è pari a 0,3.

 

Teorema della probabilità totale nel caso generale

 

Passiamo all'enunciato del teorema della probabilità totale nel caso generale, che però si rivolge ai soli studenti universitari. Gli studenti delle superiori possono passare direttamente alla lezione successiva. ;)

 

La probabilità dell'unione di n eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi, meno la somma delle probabilità delle intersezioni degli eventi presi a due a due, più la somma delle probabilità delle intersezioni degli eventi presi a tre a tre, meno la somma delle probabilità degli eventi presi a quattro a quattro... e così via, fino a sommare o sottrarre la probabilità dell'intersezione di tutti gli n eventi.

 

Più esplicitamente, se indichiamo gli n eventi con E_1, E_2, ..., E_n\subseteq\Omega, allora vale la formula:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_n) = \\ \\ = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i) +\\ \\ \\ - \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbb{P}(E_i \cap E_j) + \\ \\ \\ + \sum_{1 \le i < j < k \le n} \mathbb{P}(E_i \cap E_j \cap E_k) +\\ \\ \\ - ... +\\ \\ \\ + (-1)^{n+1} \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_n)

 

• Se n=2 otteniamo proprio il teorema della probabilità totale per due eventi, che abbiamo dimostrato in precedenza:

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2) - \mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

• Nel caso di 3 eventi abbiamo:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = \\ \\ = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) + \mathbb{P}(E_3) +\\ \\ - \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) - \mathbb{P}(E_1 \cap E_3) - \mathbb{P}(E_2 \cap E_3) + \\ \\ + \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap E_3)

 

Il teorema della probabilità totale nella sua forma generale si dimostra per induzione su n. È una dimostrazione meccanica ma piuttosto ostica da scrivere, per via delle formule che vi compaiono, ed è per questo motivo che solitamente viene dimostrato solo il caso n=2.

 

Caso particolare: probabilità totale di n eventi incompatibili

 

Se gli n eventi sono incompatibili, ossia se E_i \cap E_j = \emptyset per ogni i \neq j, allora le intersezioni degli eventi presi a due a due, a tre a tre, a quattro a quattro, e così via sono tutte vuote, così come è vuota l'intersezione di tutti gli n eventi.

 

Poiché la probabilità dell'evento impossibile è nulla, dal teorema della probabilità totale in forma generale ricaviamo che la probabilità totale di n eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

 

\\ E_1,E_2,...,E_n \mbox{ incompatibili} \\ \\ \Rightarrow \ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_n) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i)

 

Questo risultato non dovrebbe sorprenderci più di tanto, infatti era già stato introdotto nella precedente lezione come conseguenza degli assiomi della Probabilità.

 

 


 

Nella prossima lezione tratteremo uno dei concetti più importanti del corso di Calcolo delle Probabilità: la probabilità condizionata.

 

Per qualsiasi dubbio vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, con cui potete trovare una miriade di approfondimenti e di esercizi svolti passo-passo. Ad ogni modo, se non sapete da dove partire potete dare uno sguardo alla scheda correlata di esercizi risolti sulla probabilità totale. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: probabilità totale - probabilità dell'unione tra eventi qualsiasi - enunciato e dimostrazione del teorema della probabilità totale.