Probabilità composta

La probabilità composta, o probabilità congiunta, è la probabilità che due o più eventi si verifichino congiuntamente, ossia è la probabilità che si realizzi l'intersezione tra gli eventi considerati.

 

Questa lezione è essenzialmente una guida sui metodi per calcolare probabilità dell'intersezione di due o più eventi, altrimenti detta probabilità composta o probabilità congiunta.

 

Nella prima parte enunciamo e dimostriamo il teorema della probabilità composta per due eventi, passiamo in rassegna i vari metodi con cui si può calcolare la probabilità composta di due eventi e proponiamo qualche esempio.

 

Nella seconda parte, riservata agli universitari e facoltativa per gli studenti delle scuole superiori, generalizziamo il teorema della probabilità composta al caso di tre o più eventi.

 

Teorema della probabilità composta per due eventi

 

Partiamo dall'enunciato del teorema della probabilità composta (o della probabilità congiunta) per due eventi.

 

Siano E_1, E_2\subseteq\Omega due eventi in uno spazio campionario \Omega, e supponiamo che E_1 abbia probabilità non nulla: \mathbb{P}(E_1)\neq 0. La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è uguale alla probabilità dell'evento E_1 moltiplicata per la probabilità condizionata dell'evento E_2 rispetto a E_1.

 

Per quanto riguarda la formula della probabilità composta, possiamo scrivere:

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2 | E_1)\\ \\ \mbox{con }\mathbb{P}(E_1)\neq 0

 

Nel caso particolare in cui entrambi gli eventi hanno probabilità non nulla, \mathbb{P}(E_1),\mathbb{P}(E_2)\neq 0, è possibile scambiare i ruoli dei due eventi nella precedente formula

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2 | E_1) \\ \\ \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_2) \cdot \mathbb{P}(E_1 | E_2)\\ \\ \mbox{con }\mathbb{P}(E_1),\mathbb{P}(E_2)\neq 0

 

Dimostrazione del teorema della probabilità composta per due eventi

 

Dimostriamo la prima formula. Dalla definizione di probabilità condizionata, di cui possiamo servirci grazie all'ipotesi \mathbb{P}(E_1)\neq 0, sappiamo che

 

\mathbb{P}(E_2|E_1) = \frac{\mathbb{P}(E_2 \cap E_1)}{\mathbb{P}(E_1)}

 

Invertiamo l'uguaglianza in favore di \mathbb{P}(E_2 \cap E_1)

 

\mathbb{P}(E_2 \cap E_1) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1)

 

e osserviamo che l'intersezione gode della proprietà commutativa, da cui la tesi

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1)

 

Per dimostrare il caso particolare basta ragionare in modo analogo, considerando come evento condizionante E_2.

 

Calcolo della probabilità composta di due eventi

 

Per calcolare la probabilità composta di due eventi si procede in modi differenti a seconda delle informazioni disponibili.

 

 

Probabilità composta con la definizione classica di probabilità

 

L'evento intersezione E_1 \cap E_2 è l'evento formato dai punti campionari che appartengono sia a E_1 che a E_2.

 

Se i possibili risultati dell'esperimento casuale sono in numero finito ed equiprobabili, per calcolare la probabilità composta si può usare la definizione classica di probabilità di un evento, ossia dividere il numero di casi favorevoli di E_1 \cap E_2 per il numero dei casi possibili:

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}}=\frac{|E_1\cap E_2|}{|\Omega|}

 

Se ci pensate un attimo è proprio quello che abbiamo fatto negli esempi delle precedenti lezioni, in cui ci trovavamo a calcolare la probabilità dell'intersezione di due eventi.

 

 

Probabilità composta con il teorema della probabilità totale

 

Se sono note, oppure se possiamo calcolare le probabilità degli eventi E_1, E_2 e la probabilità dell'evento unione E_1 \cup E_2, allora per calcolare la probabilità dell'evento intersezione E_1 \cap E_2 si utilizza il teorema della probabilità totale per due eventi:

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

Da qui si ricava \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) sottraendo la probabilità dell'evento unione dalla somma delle probabilità dei singoli eventi:

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) - \mathbb{P}(E_1 \cup E_2)

 

 

Probabilità composta con il teorema della probabilità composta

 

Se conosciamo la probabilità di un evento E_1, sappiamo che è diversa da zero e se conosciamo la probabilità condizionata dell'evento E_2 rispetto a E_1, allora per calcolare la probabilità congiunta si usa il teorema della probabilità composta per due eventi:

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2 | E_1)\\ \\ \mbox{con }\mathbb{P}(E_1)\neq 0

 

Esempi sul calcolo della probabilità composta di due eventi

 

1) In una scuola il 25% degli studenti è stato bocciato in Matematica, il 15% è stato bocciato in Chimica e il 30% è stato bocciato in almeno una delle due materie. Se si sceglie uno studente a caso, qual è la probabilità che sia stato bocciato sia in Matematica che in Chimica?

 

Svolgimento: siano E_1 l'evento "lo studente è stato bocciato in Matematica" ed E_2 l'evento "lo studente è stato bocciato in Chimica". Dobbiamo calcolare la probabilità dell'evento intersezione E_1 \cap E_2.

 

Dai dati forniti dalla traccia del problema conosciamo le probabilità dei singoli eventi, dobbiamo solo convertirle dalla forma percentuale

 

\\ \mathbb{P}(E_1) = 25\% = \frac{25}{100} = 0,25 \\ \\ \\ \mathbb{P}(E_2)=15\% = \frac{15}{100} = 0,15

 

La probabilità della loro unione è

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2)=30\%=\frac{30}{100} = 0,3

 

Per calcolare \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) usiamo la formula che discende dal teorema della probabilità totale per due eventi:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) - \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \\ \\ = 0,25 + 0,15 - 0,3 = 0,1 = 10\%

 

In definitiva la probabilità che uno studente scelto a caso sia stato bocciato sia in Matematica che in Chimica è del 10%.

 

 

2) La prova scritta di un concorso si compone di 2 quesiti. Entrambi sono selezionati in modo casuale da un archivio che ne contiene 50 di Matematica, 30 di Storia e 20 di Geografia. Qual è la probabilità che i quesiti estratti siano entrambi di Matematica?

 

Svolgimento: indichiamo con E_1 l'evento "il primo quesito è di Matematica" e con E_2 l'evento "il secondo quesito è di Matematica".

 

Dobbiamo calcolare la probabilità dell'evento intersezione E_1 \cap E_2 e per farlo usiamo il teorema della probabilità congiunta per due eventi, secondo cui

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1)

 

\mathbb{P}(E_1), ossia la probabilità che il primo quesito estratto sia di Matematica, è uguale a 50/100

 

\mathbb{P}(E_1)=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}

 

dove 50 è il numero di casi favorevoli (numero di quesiti di Matematica in archivio) e 100 è il numero dei casi possibili (numero totale di quesiti in archivio).

 

\mathbb{P}(E_2|E_1) esprime la probabilità che si verifichi E_2 supponendo che si sia verificato E_1 ed è quindi uguale a 49/99

 

\mathbb{P}(E_2|E_1)=\frac{49}{99}

 

se infatti si è verificato E_1 vuol dire che è già stato estratto un quesito di Matematica, dunque il numero totale di quesiti rimasti (numero di casi possibili) è 99, di cui 49 di Matematica (numero di casi favorevoli).

 

Di conseguenza

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1) = \\ \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{49}{99} = \frac{49}{198} = 0,2\overline{47}

Teorema della probabilità composta nel caso generale

 

Per concludere vediamo cosa stabilisce il teorema della probabilità composta in forma generale.

 

Siano E_1, E_2, ..., E_n\subseteq\Omega eventi tali che la probabilità dell'evento intersezione E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n-1} sia diversa da zero.

 

La probabilità dell'intersezione di questi n eventi è uguale alla probabilità del primo evento per la probabilità condizionata del secondo evento rispetto al primo, per la probabilità condizionata del terzo evento rispetto all'intersezione tra il primo e il secondo, e così via, fino a moltiplicare la probabilità condizionata dell'n-esimo evento rispetto all'intersezione dei primi n-1 eventi.

 

In una formula:

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n}) = \\ \\ = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1) \cdot \mathbb{P}(E_3|E_1 \cap E_2) \cdot ... \cdot \mathbb{P}(E_n|E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n-1})\\ \\ \mbox{con }\mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n-1})\neq 0

 

Quest'ultima formula viene anche chiamata regola della catena. Ne omettiamo la dimostrazione in questa sede, ma diamo un piccolo suggerimento per chi volesse cimentarvisi: per induzione su n. ;)

 

 


 

Qui abbiamo finito! La prossima lezione è dedicata ai concetti di dipendenza e indipendenza tra eventi.

 

Nel frattempo vi ricordiamo che qui su YM ci sono tanti esercizi svolti e approfondimenti - in primis la scheda di esercizi risolti sulla probabilità composta - e che potete trovare tutto ciò che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: probabilità composta - probabilità congiunta - probabilità dell'intersezione - enunciato e dimostrazione del teorema della probabilità composta.