Operazioni tra eventi

Le operazioni tra eventi sono le stesse che vengono studiate in Insiemistica e sono l'unione, l'intersezione, la differenza e la complementazione (o negazione), e permettono di individuare eventi di uno spazio campionario a partire da altri suoi eventi.

 

Un piccolo riepilogo delle puntate precedenti. Abbiamo introdotto la nozione di spazio campionario \Omega, definendolo come un insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale, e il concetto di evento, definendolo come un qualsiasi sottoinsieme di \Omega.

 

Da ciò abbiamo dedotto che è possibile svolgere operazioni con gli eventi servendoci degli stessi strumenti della teoria degli insiemi, e ci siamo ripromessi di farlo in questa lezione. Procediamo! ;)

 

Relazioni e operazioni tra eventi

 

Le relazioni e le operazioni tra insiemi che risultano di particolare interesse per lavorare con gli eventi sono le relazioni di inclusione e di uguaglianza, nonché le operazioni di unione, intersezione, differenza e complementazione.

 

Vediamo allora cosa vuol dire che un evento è incluso in un altro, quando due eventi sono uguali e come si definiscono l'evento unione, l'evento intersezione, l'evento differenza e il complementare di un evento.

 

Se già sapete cosa sono l'unione insiemistica, l'intersezione, la differenza tra insiemi e il complementare di un insieme, questa lezione sarà per voi un semplice ripasso, che di certo male non fa. ;)

 

Relazioni di inclusione e di uguaglianza tra eventi

 

Siano E_1,E_2\subseteq\Omega due eventi. Si dice che l'evento E_1 è incluso nell'evento E_2, e si scrive E_1 \subseteq E_2, se E_1 è un sottoinsieme di E_2

 

E_1 \subseteq E_2 \iff \forall \ \omega \in E_1: \ \omega \in E_2

 

In altri termini E_1\subseteq E_2 se ogni punto campionario di E_1 appartiene anche a E_2.

 

Se invece i due eventi contengono esattamente gli stessi punti campionari, allora diremo che sono uguali e scriveremo E_1=E_2.

 

Evento unione

 

L'unione di due eventi è l'evento che contiene tutti i punti campionari dei due eventi considerati.

 

Dati due eventi E_1, E_2\subseteq\Omega, la loro unione si indica con E_1 \cup E_2 ed è l'evento formato da tutti e soli i punti campionari che appartengono ad almeno uno dei due eventi.

 

E_1 \cup E_2 = \{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \vee \ \omega \in E_2\}

 

Il simbolo \vee si legge "o" ed è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva. Esso indica che deve essere soddisfatta almeno una delle condizioni, dunque l'evento unione si verifica se il risultato dell'esperimento casuale appartiene ad almeno uno dei due eventi.

 

Evento intersezione

 

L'intersezione di due eventi è l'evento formato da tutti i punti campionari che appartengono a entrambi gli eventi considerati.

 

Dati due eventi E_1, E_2\subseteq\Omega, la loro intersezione si indica con E_1 \cap E_2 ed è formata da tutti e soli i punti campionari che appartengono sia all'evento E_1 che all'evento E_2.

 

E_1 \cap E_2 = \{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \wedge \ \omega \in E_2\}

 

Il simbolo \wedge si legge "e" e indica che devono valere entrambe le condizioni. Ciò significa che l'evento intersezione si verifica se il risultato dell'esperimento casuale appartiene a entrambi gli eventi.

 

Unione e intersezione tra più eventi

 

Le definizioni di evento unione e di evento intersezione si possono estendere anche a più di due eventi.

 

Per fissare le idee consideriamo gli n eventi E_1, E_2, ..., E_n\subseteq\Omega, con n \ge 3:

 

- la loro unione è l'evento costituito da tutti i punti campionari di tutti gli n eventi, e si indica con

 

E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_n = \bigcup_{i=1}^{n} E_i

 

- la loro intersezione è l'evento formato dai punti campionari in comune tra tutti gli n eventi, e si denota con

 

E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_n = \bigcap_{i=1}^{n} E_i

 

Evento differenza

 

L'evento differenza tra due eventi E_1, E_2\subseteq\Omega è l'evento E_1-E_2 costituito da tutti i punti campionari che appartengono a E_1 ma che non appartengono a E_2

 

E_1-E_2=\{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \wedge \ \omega \notin E_2\}

 

È allora evidente che l'evento differenza si verifica se il risultato dell'esperimento aleatorio appartiene a E_1 ma non appartiene a E_2.

 

Complementare di un evento

 

Il complementare di un evento E\subseteq\Omega si indica con \overline{E} oppure con E^C, ed è l'evento formato da tutti gli elementi dello spazio campionario \Omega che non appartengono a E.

 

E^C=\Omega-E

 

In altri termini l'evento complementare di E è l'insieme complementare di E rispetto allo spazio campionario \Omega - che in questo contesto funge da insieme universo - e si verifica laddove non si realizza l'evento E.

 

Esempi sulle operazioni tra eventi

 

Consideriamo come esperimento casuale il lancio di due monete in successione, di cui ci interessano i risultati testa o croce. Siano E_1,E_2\subseteq \Omega gli eventi:

 

E_1 → la prima moneta ha dato testa;

 

E_2 → la seconda moneta ha dato testa.

 

Vogliamo determinare gli eventi unione e intersezione, gli eventi differenza E_1-E_2 e E_2-E_1, il complementare dell'evento E_1 e il complementare di E_2.

 

Svolgimento: poiché nell'esperimento casuale ci interessa analizzare i risultati testa o croce, prendiamo come spazio campionario l'insieme

 

\Omega=\{(T,T), \ (T,C), \ (C,T), \ (C,C)\}

 

dove (T,T) indica che il risultato di entrambi i lanci è stato testa, (T,C) specifica che la prima moneta ha dato testa e la seconda croce, (C,T) che la prima moneta ha dato croce e la seconda testa, (C,C) che entrambe le monete hanno dato croce.

 

Esplicitiamo i due eventi E_1,E_2.

 

E_1 è il sottoinsieme di \Omega formato dai punti campionari (T,T) e (T,C), che indicano che la prima moneta ha dato testa come risultato

 

E_1=\{(T,T), \ (T,C)\}

 

E_2 è il sottoinsieme di \Omega costituito dai punti campionari (T,T) e (C,T), in cui la seconda moneta ha dato testa come risultato

 

E_2=\{(T,T), \ (C,T)\}

 

Possiamo ora determinare gli eventi richiesti dalla traccia dell'esercizio.

 

• L'evento unione E_1 \cup E_2 contiene tutti i punti campionari di E_1 e tutti quelli di E_2

 

E_1 \cup E_2 = \{(T,T), \ (T,C), \ (C,T)\}

 

dunque è l'evento "almeno una delle due monete ha dato testa".

 

• L'evento intersezione E_1 \cap E_2 è formato dai punti campionari che appartengono sia a E_1 che a E_2

 

E_1 \cap E_2 = \{(T,T)\}

 

pertanto è l'evento "entrambe le monete hanno dato testa".

 

• L'evento differenza E_1 - E_2 ha come elementi i punti campionari che appartengono a E_1 ma che non appartengono a E_2

 

E_1 - E_2 = \{(T,C)\}

 

per cui è l'evento "la prima moneta ha dato testa e la seconda ha dato croce".

 

• Analogamente, l'evento differenza E_2 - E_1 è il seguente sottoinsieme di \Omega

 

E_2 - E_1 = \{(C,T)\}

 

che possiamo esprimere a parole come "la prima moneta ha dato croce e la seconda ha dato testa".

 

• Il complementare dell'evento E_1 è formato dai punti campionari che appartengono a \Omega ma che non appartengono a E_1

 

E_1^C = \Omega - E_1 = \{(C,T), \ (C,C)\}

 

dunque è l'evento "la prima moneta ha dato croce".

 

• Infine, l'evento complementare di E_2 ha come elementi i punti campionari che appartengono a \Omega ma che non appartengono a E_2

 

E_2^C = \Omega - E_2 = \{(T,C), \ (C,C)\}

 

per cui è l'evento "la seconda moneta ha dato croce".

 

 


 

Abbiamo finito! Siamo pronti per fare un piccolo passo in avanti nello studio del calcolo delle Probabilità: la lezione successiva riguarderà gli eventi compatibili, incompatibili e complementari, e con essi vedremo una prima e concreta applicazione delle operazioni tra eventi.

 

Prima di proseguire, eventualmente, potete fare un po' di allenamento con la scheda correlata di esercizi risolti sulle operazioni tra eventi. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: operazioni con gli eventi - evento unione - evento intersezione - evento differenza - evento complementare.