Evento in Probabilità

Un evento in Probabilità è un qualsiasi insieme formato da tutti, nessuno o alcuni dei possibili esiti di un esperimento casuale. In termini più rigorosi si dice evento qualsiasi sottoinsieme, proprio o improprio, di uno spazio campionario associato a un esperimento casuale.

 

Dopo aver visto cos'è uno spazio campionario passiamo a introdurre il concetto di evento in Probabilità. Daremo la definizione generale, formalizzeremo l'espressione verificarsi di un evento e vedremo cosa sono l'evento certo, l'evento impossibile e un evento aleatorio (o evento casuale).

 

Vi assicuriamo che comprendere cos'è un evento in Probabilità è fondamentale per il prosieguo del corso, quindi vi raccomandiamo di non sottovalutare questa lezione. ;)

 

Definizione di evento in Probabilità

 

Indichiamo con \Omega uno spazio campionario, che in questo contesto supporremo discreto. Si definisce evento un qualsiasi sottoinsieme di \Omega, e generalmente si indica con E o con una qualsiasi lettera maiuscola dell'alfabeto

 

\mbox{evento}:\ E\subseteq \Omega

 

Dallo studio della teoria degli insiemi sappiamo che la famiglia di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme \Omega è il cosiddetto insieme delle parti di \Omega, denotato con la scrittura \mathcal{P}(\Omega).

 

Alla luce di ciò possiamo asserire che un evento in uno spazio campionario è un qualsiasi elemento dell'insieme delle parti dello spazio campionario considerato

 

\mbox{evento}:\ E\in\mathcal{P}(\Omega)

 

Per capire la definizione di evento vediamo subito un esempio e consideriamo l'esperimento casuale dato dal lancio di un dado a sei facce, in cui siamo interessati al numero che esce a seguito del lancio. Come spazio campionario (insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento) prendiamo

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

 

dove ciascun punto campionario - ossia ogni elemento di \Omega - indica il numero di pallini che può mostrare la faccia in alto del dado dopo il lancio.

 

I seguenti sottoinsiemi di \Omega

 

E_1=\{6\} \ \ ; \ \ E_2=\{1,3,5\} \ \ ; \ \ E_3=\{2,4,6\}

 

sono alcuni dei possibili eventi, e in particolare:

 

\bullet \ E_1=\{6\} è l'evento "il dado mostra 6 pallini sulla faccia in alto";

 

\bullet \ E_2=\{1,3,5\} è l'evento "il dado mostra un numero dispari di pallini sulla faccia in alto";

 

\bullet \ E_3=\{2,4,6\} è l'evento "il dado mostra un numero pari di pallini sulla faccia in alto".

 

Eventi, risultati e risultati possibili di un esperimento

 

Poiché un evento E è per definizione un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario \Omega che abbiamo scelto per l'esperimento, E può:

 

- contenere tutti i possibili risultati dell'esperimento, e dunque coincidere con lo spazio campionario

 

E=\Omega

 

- non contenere alcuno dei possibili risultati dell'esperimento, e dunque coincidere con l'insieme vuoto

 

E=\emptyset

 

- contenere parte dei possibili risultati dell'esperimento, e dunque essere un sottoinsieme proprio dello spazio campionario

 

E\subset \Omega

 

I concetti di spazio campionario e di evento sono fondamentali per analizzare un qualsiasi esperimento casuale, del quale non conosciamo l'esito ma sappiamo quali sono i possibili risultati.

 

D'altra parte nulla ci vieta di ragionare in generale e di non limitarci a considerare i risultati possibili, bensì qualsiasi risultato. Nel caso del lancio di una moneta che cade su una faccia i risultati possibili sono "esce testa" o "esce croce", dunque scegliamo come spazio campionario

 

\Omega=\{T,C\}

 

ma potremmo anche pensare ad altri risultati come "esce gazzella" oppure "esce 12". Questi non sono risultati possibili, ma sono comunque risultati.

 

Il punto cruciale è che l'analisi di un esperimento impone sempre di ricondurci allo spazio campionario \Omega. Dato un insieme I di risultati qualsiasi, possiamo ricondurlo a un evento (insieme di risultati possibili) per intersezione con lo spazio campionario

 

I\ \to\ I\cap \Omega

 

- Un insieme di risultati qualsiasi tra i quali rientrano tutti i risultati possibili dell'esperimento si riduce allo spazio campionario

 

\Omega\subseteq I\ \to\ \mbox{evento}:\ \Omega

 

Esempio: nel lancio di una moneta l'insieme dei tre risultati "testa", "croce" o "gazzella" corrisponde all'insieme dei risultati possibili "testa" o "croce", ossia all'evento dato dall'intero spazio campionario.

 

- Un insieme di risultati qualsiasi che non contiene alcun risultato possibile dell'esperimento si riduce all'insieme vuoto

 

I\cap \Omega=\emptyset\ \to\ \mbox{evento}:\ \emptyset

 

Esempio: nel lancio di una moneta l'insieme dei risultati "gazzella", "astronave" corrisponde all'evento "nessun risultato possibile", ossia all'evento dato dall'insieme vuoto.

 

- Un insieme di risultati qualsiasi che contiene alcuni risultati possibili dell'esperimento si riduce all'evento che contiene solamente quei risultati possibili

 

I\cap \Omega=E\ \to\ \mbox{evento}:\ E

 

Esempio: nel lancio di una moneta l'insieme dei risultati "gazzella", "testa" corrisponde all'insieme dei risultati possibili che contiene "testa", ossia all'evento "esce testa".

 

Verificarsi di un evento

 

Consideriamo uno spazio campionario \Omega associato a un esperimento casuale, sia E un evento e sia r il risultato finale dell'esperimento. Diremo che:

 

- l'evento si verifica se il risultato dell'esperimento appartiene all'evento: r\in E

 

- l'evento non si verifica se il risultato dell'esperimento non appartiene all'evento: r\notin E

 

In riferimento al precedente esempio sul lancio di un dado, con

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

 

abbiamo che:

 

• l'evento E_1=\{6\} si verifica se dopo il lancio il dado mostra la faccia con 6 pallini;

 

• l'evento E_2=\{1,3,5\} si realizza se dopo il lancio si presenta la faccia con 1, oppure con 3, oppure con 5 pallini;

 

• l'evento E_3=\{2,4,6\} si verifica se il dado mostra una faccia con un numero pari di pallini.

 

Evento certo, evento impossibile ed evento aleatorio

 

Sempre in relazione a un generico esperimento casuale e allo spazio campionario \Omega scelto per l'esperimento, diamo ulteriori definizioni:

 

- chiamiamo evento certo qualsiasi evento che si verifica con certezza nell'esperimento;

 

- chiamiamo evento impossibile qualsiasi evento che non può in alcun modo verificarsi nell'esperimento;

 

- chiamiamo evento aleatorio (o evento casuale) qualsiasi evento che potrebbe verificarsi, a seconda dell'esito dell'esperimento.

 

Si capisce facilmente che:

 

- l'insieme \Omega è l'unico evento certo, infatti contenendo tutti i possibili risultati dell'esperimento casuale si verificherà per forza di cose;

 

- l'insieme vuoto \emptyset è l'unico evento impossibile, in quanto non contenendo alcun punto campionario (alcun risultato possibile) non potrà mai verificarsi;

 

- ogni sottoinsieme proprio di \Omega è un evento aleatorio, perché il suo verificarsi dipende solo e unicamente dal caso.

 

Esempi di eventi certi, eventi impossibili ed eventi aleatori

 

Supponiamo di avere un'urna con dieci palline, numerate da 1 a 10, e consideriamo l'evento casuale che consiste nell'estrazione di una singola pallina. Siamo interessati al numero presente sulla pallina estratta, dunque facciamo riferimento allo spazio campionario

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

 

 

• Sono esempi di eventi aleatori:

 

- estrazione della pallina numero 2

 

E_1=\{2\}

 

- estrazione della pallina numero 3 oppure della numero 5

 

E_2=\{3,5\}

 

- estrazione di una pallina con un numero pari, che nel nostro spazio campionario corrisponde a

 

E_3=\{2,4,6,8,10\}

 

 

• Sono esempi di eventi impossibili:

 

- estrazione della pallina numero 12, che nel nostro spazio campionario corrisponde all'insieme vuoto

 

E_4=\emptyset

 

- estrazione della pallina numero 15 oppure della numero 20, che nel nostro spazio campionario corrisponde all'insieme vuoto

 

E_5=\emptyset

 

 

• Sono esempi di eventi certi:

 

- estrazione di una pallina numerata da 1 a 10

 

E_6=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}=\Omega

 

- estrazione di una pallina con qualsiasi numero naturale impresso sopra, che nel nostro spazio campionario si riduce a \Omega stesso

 

E_7=\Omega

 

Questi esempi mettono in luce come ogni evento in uno spazio campionario possa essere espresso in tanti modi diversi (in realtà infiniti), anche per mezzo di insiemi di risultati non necessariamente possibili.

 

Un insieme di risultati non necessariamente possibili non è un evento, ma corrisponde sempre a un evento; ciò che conta è ragionare nel contesto dello spazio campionario, dei risultati possibili e degli eventi.

 

 


 

In alcuni casi è utile operare sugli eventi e combinarli tra loro per crearne di nuovi. Poiché gli eventi sono in tutto e per tutto degli insiemi, è inutile inventare delle nuove operazioni matematiche; conviene piuttosto prendere in prestito gli strumenti della teoria degli insiemi ed è quello che faremo nella puntata successiva, in cui introdurremo le varie operazioni tra eventi.

 

Prima di continuare con la teoria però è il caso di occuparsi della pratica, così da consolidare le nozioni appena studiate. A questo proposito c'è una scheda di esercizi sugli eventi che vi sta aspettando. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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