Spazio campionario

In Probabilità si dice spazio campionario l'insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale, ossia di un fenomeno il cui risultato non può essere previsto con certezza, come ad esempio il lancio di un dado, il lancio di una moneta oppure l'estrazione di una pallina da un'urna.

 

Cominciamo lo studio del Calcolo delle Probabilità partendo da uno dei concetti che ricorrerà in tutte le lezioni successive: lo spazio campionario. Qui vedremo in cosa consiste e quali sono le varie tipologie di spazio campionario.

 

Naturalmente nel corso della spiegazione non mancheranno gli esempi, che ci aiuteranno a comprendere a fondo le definizioni e le differenze tra i vari tipi di spazio campionario (discreti e continui).

 

Definizione di spazio campionario

 

Il concetto di spazio campionario poggia sulla nozione di esperimento casuale, dunque per capire cos'è uno spazio campionario dobbiamo prima chiarire cosa si intende con esperimento casuale.

 

Un esperimento casuale (o esperimento aleatorio) è un fenomeno osservabile ma con esito non certo, ossia un fenomeno di cui non possiamo prevedere il risultato ma di cui conosciamo tutti i possibili risultati.

 

Un esempio concreto di esperimento casuale è il lancio di una moneta, in cui siamo interessati a quale faccia mostrerà la moneta dopo essere caduta. Sappiamo che i possibili risultati dell'esperimento sono testa oppure croce, ma non possiamo prevedere con certezza quale delle facce mostrerà la moneta dopo essere stata lanciata.

 

Con queste premesse definiamo spazio campionario associato a un qualsiasi esperimento casuale come l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento stesso.

 

Un qualsiasi spazio campionario si indica con il simbolo omega maiuscolo (\Omega) e i suoi elementi vengono chiamati punti campionari.

 

Non unicità dello spazio campionario

 

Lo spazio campionario associato a un esperimento casuale non è unico, infatti a uno stesso esperimento aleatorio si possono associare più spazi campionari, a seconda dei risultati che ci interessano.

 

Supponiamo ad esempio di avere un'urna con tre palline numerate da 1 a 3 - di cui una rossa, una bianca e una verde - e di considerare l'esperimento casuale che consiste nell'estrazione di una pallina dall'urna.

 

Se siamo interessati al colore della pallina estratta, allora consideriamo come spazio campionario:

 

\Omega=\{\mbox{rosso}, \ \mbox{bianco}, \ \mbox{verde}\}

 

Se invece ci interessa il numero indicato sulla pallina, allora lavoreremo nello spazio campionario dato da

 

\Omega=\{1,2,3\}

 

Risultati di un esperimento e risultati possibili come elementi di uno spazio campionario

 

Quando si considera un esperimento aleatorio è fondamentale distinguere tra risultati e risultati possibili.

 

Con riferimento al lancio di una moneta, e alla faccia che essa mostrerà dopo il lancio, i possibili risultati sono testa o croce. Nell'esperimento casuale in questione questi sono gli unici risultati che si possono ottenere, e sono gli elementi che costituiscono lo spazio campionario che descrive l'esperimento.

 

In termini più generali, si può considerare come risultato un qualsiasi avvenimento: esce 12, esce leopardo, esce YouMath... Questi sono risultati, ma non risultati possibili, e in quanto tali non possono essere elementi dello spazio campionario considerato.

 

Nel prosieguo delle lezioni sarà chiaro perché è fondamentale tenere a mente questa differenza. ;)

 

Esempi di spazio campionario

 

Vediamo qualche esempio di spazio campionario, alcuni dei quali saranno molto frequenti negli esercizi e nei problemi di Probabilità.

 

 

1) Spazio campionario relativo al lancio di una moneta

 

Consideriamo l'esperimento casuale dato dal lancio di una moneta a due facce, rispettivamente testa e croce, in cui siamo interessati alla faccia che verrà mostrata dopo il lancio. Se escludiamo la possibilità che la moneta possa rimanere in equilibrio sul bordo, scegliamo come spazio campionario l'insieme

 

\Omega = \{T,C\}

 

dove T è il risultato testa e C è il punto campionario croce.

 

 

2) Spazio campionario relativo al lancio di un dado

 

Il lancio di un dado è un esperimento del tutto analogo al lancio di una moneta. Consideriamo come dado un cubo sulle cui facce è inciso un numero di pallini che va da 1 a 6: dopo essere stato lanciato, il dado si fermerà poggiandosi su una delle facce e mostrando la faccia opposta, che potrà essere una qualsiasi tra le sei.

 

Se facciamo riferimento al numero della faccia opposta, prendiamo come spazio campionario (ossia come insieme di tutti i possibili risultati):

 

\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}

 

 

3) Spazio campionario relativo al lancio di due dadi

 

Se invece di un solo dado se ne lanciano due e si guarda alle rispettive facce scoperte in orizzontale, allora consideriamo come spazio campionario l'insieme delle coppie ordinate con i numeri di pallini del primo e del secondo dado. Si tratta di un insieme formato da 36 punti campionari.

 

Per elencazione:

 

\Omega=\left\{\begin{matrix}(1;1), & (1;2), & (1;3), & (1;4), & (1;5), & (1;6), \\ (2;1), & (2;2), & (2;3), & (2;4), & (2;5), & (2;6), \\ (3;1), & (3;2), & (3;3), & (3;4), & (3;5), & (3;6), \\ (4;1), & (4;2), & (4;3), & (4;4), & (4;5), & (4;6), \\ (5;1), & (5;2), & (5;3), & (5;4), & (5;5), & (5;6), \\ (6;1), & (6;2), & (6;3), & (6;4), & (6;5), & (6;6)\end{matrix}\right\}

 

Per caratteristica:

 

\Omega = \{(i;j) \ | \ i,j=1,2,3,4,5,6\}

 

 

4) Spazio campionario relativo all'estrazione di una pallina da un'urna

 

Supponiamo di avere un'urna contenente n palline numerate da 1 a n, e di considerare l'esperimento casuale che consiste nell'estrazione di una pallina dall'urna.

 

Scegliamo come spazio campionario l'insieme

 

\Omega=\{1,2,...,n\}

 

dove ogni punto campionario corrisponde al numero riportato sulla relativa pallina.

 

 

5) Spazio campionario relativo al numero di accessi a un sito internet

 

Se l'esperimento casuale consiste nel contare il numero di accessi a un sito internet in un determinato giorno, allora lo spazio campionario è dato dall'insieme dei numeri naturali:

 

\Omega=\{0,1,2,3, ...\}=\mathbb{N}

 

Osserviamo infatti che il numero di accessi è un numero intero non negativo, e che non è possibile stabilire a propri quale sia il numero massimo.

 

 

6) Spazio campionario relativo alla misurazione della temperatura in un luogo

 

Come ultimo esempio consideriamo l'esperimento aleatorio il cui obiettivo è misurare la temperatura in kelvin in un certo luogo.

 

La temperatura minima raggiungibile in un qualsiasi sistema fisico è 0 K (zero assoluto), mentre la temperatura massima non è nota, per cui lo spazio campionario è l'insieme dei numeri reali non negativi

 

\Omega = \left[0,+\infty\right)

 

Tipi di spazio campionario

 

Uno spazio campionario può essere formato da un numero finito o infinito di punti campionari, e in particolare possiamo distinguere tra:

 

spazi campionari finiti, costituiti da un numero finito di punti campionari.

 

Spazi campionari infinito numerabili, costituiti da un numero infinito di elementi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. In altre parole in uno spazio campionario infinito numerabile a ogni punto campionario può essere associato un unico numero naturale, e viceversa.

 

Spazi campionari infinito continui, i cui punti campionari sono tali che, fissati due di essi, è sempre possibile determinare almeno un elemento intermedio.

 

Se torniamo ai precedenti esempi, gli spazi campionari relativi al lancio di una moneta, al lancio di uno o due dadi e all'estrazione di una pallina da un'urna sono spazi campionari finiti. Lo spazio campionario relativo al numero di accessi a un sito internet è uno spazio campionario infinito numerabile, mentre lo spazio campionario relativo alla misurazione di temperatura è uno spazio campionario infinito non numerabile.

 

Spazio campionario discreto e spazio campionario continuo

 

Anziché classificare gli spazi campionari in finiti, infiniti numerabili e infiniti non numerabili, conviene distinguere tra due grandi famiglie di spazi campionari: discreti e continui.

 

• Uno spazio campionario discreto è uno spazio campionario finito, oppure infinito e nella fattispecie numerabile.

 

• Uno spazio campionario continuo è uno spazio campionario infinito e nella fattispecie continuo.

 

A questo proposito può giovare un ripasso sui vari tipi di potenze di un insieme.

 

Nota bene: lo scopo di questo corso sul Calcolo delle Probabilità è principalmente quello di guidarvi nello svolgimento degli esercizi, ossia di spiegarvi come approcciare e risolvere i problemi sul calcolo delle probabilità. La maggior parte degli esperimenti casuali di interesse pratico sono caratterizzati da un numero di esiti finito, o eventualmente infinito numerabile. Per questo motivo, da qui in poi, il nostro ambiente di lavoro saranno gli spazi campionari discreti.

 

 


 

Per il momento è tutto! Nelle lezioni successive vedremo dapprima cos'è un evento in Probabilità, per poi definire le varie operazioni tra eventi. Nel frattempo, in casi di dubbi o perplessità non esitate e usate la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissime lezioni, approfondimenti, domande risolte ed esercizi svolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione successiva

 
 

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