Problemi di Probabilità

I problemi di probabilità sono tutti quegli esercizi che chiedono di calcolare la probabilità che si verifichino uno o più eventi, e si risolvono in modi differenti a seconda delle informazioni fornite dalla traccia dello specifico problema.

 

In questa guida vogliamo fornire qualche consiglio utile su come risolvere i problemi di calcolo delle probabilità, ma prima di farlo richiamiamo le formule e le definizioni viste nelle precedenti lezioni del corso, così che possiate averle tutte a portata di mano.

 

Non perdiamoci in ulteriori preamboli e procediamo. ;)

 

Definizioni e formule sul calcolo delle probabilità

 

Rivediamo le definizioni e le formule di calcolo delle probabilità. Cliccando sui vari link potete consultare le lezioni relative a ciascun argomento.

 

 

Spazio campionario: insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale, ossia di un fenomeno osservabile e di cui conosciamo i possibili risultati, ma di cui non possiamo prevedere l'esito. Uno spazio campionario si indica con il simbolo omega maiuscolo (\Omega) e i suoi elementi sono detti punti campionari.

 

 

Evento in Probabilità: insieme E formato da alcuni, tutti o nessuno dei possibili risultati di un esperimento casuale, ossia qualsiasi sottoinsieme proprio o improprio dello spazio campionario associato all'esperimento casuale.

 

- Se E = \Omega, allora E è l'evento certo;

 

- se E = \emptyset, allora E è l'evento impossibile;

 

- se E \subset \Omega, allora E è un evento aleatorio.

 

 

Unione tra eventi: evento contenente tutti i punti campionari degli eventi considerati

 

E_1 \cup E_2 = \{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \vee \ \omega \in E_2\}

 

 

Intersezione tra eventi: evento formato dai punti campionari che appartengono a tutti gli eventi considerati

 

E_1 \cap E_2 = \{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \wedge \ \omega \in E_2\}

 

 

Differenza tra eventi: evento costituito dai punti campionari che appartengono al primo evento ma che non appartengono al secondo

 

E_1-E_2=\{\omega \ | \ \omega \in E_1 \ \wedge \ \omega \notin E_2\}

 

 

Complementare di un evento E: evento formato da tutti gli elementi dello spazio campionario che non appartengono a E

 

E^C=\Omega-E

 

 

Eventi compatibili (definizione per 2 eventi): due eventi E_1, E_2 sono compatibili se possono verificarsi contemporaneamente, ossia se la loro intersezione non è l'evento impossibile

 

E_1,E_2 \mbox{ compatibili} \iff E_1 \cap E_2 \neq \emptyset

 

 

Eventi incompatibili (o eventi disgiunti, definizione per due eventi): due eventi E_1, E_2 sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, ossia se la loro intersezione è l'evento impossibile

 

E_1,E_2 \mbox{ incompatibili} \iff E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

 

Eventi complementari (definizione solo per due eventi): due eventi sono complementari se sono incompatibili e se la loro unione è l'evento certo

 

E_1, E_2 \mbox{ complementari} \iff \begin{cases}E_1\cap E_2 = \emptyset \\ E_1 \cup E_2 = \Omega \end{cases}

 

 

Eventi incompatibili (definizione per 3 o più eventi): E_1, E_2..., E_n con n \ge 3 sono eventi incompatibili se e solo se tutte le possibili coppie di eventi sono tra loro incompatibili.

 

E_1,E_2,...,E_n \mbox{ incompatibili} \iff E_i \cap E_j = \emptyset \ \ \forall i \neq j

 

 

Eventi non incompatibili (definizione per 3 o più eventi): E_1, E_2..., E_n con n \ge 3 sono eventi non incompatibili se esiste almeno una coppia di eventi compatibili, ossia se esistono i,j \in \{1,2,...,n\} con i \neq j tali che E_i \cap E_j \neq \emptyset.

 

 

Probabilità di un evento (per un esperimento casuale con esiti equiprobabili e in numero finito): rapporto tra il numero di casi favorevoli per il realizzarsi dell'evento e il numero di risultati possibili dell'esperimento

 

\mathbb{P}(E)=\frac{\#\ \mbox{casi favorevoli}}{\#\ \mbox{casi possibili}} = \frac{|E|}{|\Omega|}

 

 

Assiomi della Probabilità

 

\mathbb{P}(E) \in \mathbb{R}, \ \mathbb{P}(E) \ge 0 \ \ \forall E \subseteq \Omega\\ \\ \\ \mathbb{P}(\Omega)=1\\ \\ \\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)\\ \\ \forall E_1,E_2 \subseteq \Omega, \ E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

 

Conseguenze degli assiomi della Probabilità

 

\mathbb{P}\left(E^C\right) = 1-\mathbb{P}(E)\\ \\ \\ \mathbb{P}(\emptyset) = 0\\ \\ \\ E \subseteq F\ \Rightarrow \ \mathbb{P}(E) \le \mathbb{P}(F)\\ \\ \\ 0 \le \mathbb{P}(E) \le 1 \ \ \forall E \subseteq \Omega \\ \\ \\ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n}E_i\right) = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i) \\ \\ \forall E_1,E_2, ... E_n \subseteq \Omega, \ E_i \cap E_j = \emptyset \ \forall i \neq j

 

 

Teorema della probabilità totale per due eventi

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1)+\mathbb{P}(E_2)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)

 

 

Teorema della probabilità totale generalizzato (per soli studenti universitari)

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cup E_2 \cup ... \cup E_n) = \\ \\ = \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i) +\\ \\ \\ - \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbb{P}(E_i \cap E_j) + \\ \\ \\ + \sum_{1 \le i < j < k \le n} \mathbb{P}(E_i \cap E_j \cap E_k) +\\ \\ \\ - ... +\\ \\ \\ + (-1)^{n+1} \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_n)

 

 

Formula della probabilità condizionata

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(E \cap F)}{\mathbb{P}(F)} \ \ \mbox{ con } \mathbb{P}(F) \neq 0

 

 

Teorema della probabilità composta per due eventi

 

\mathbb{P}(E_1 \cap E_2) = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2 | E_1)\\ \\ \mbox{con }\mathbb{P}(E_1)\neq 0

 

 

Teorema della probabilità composta generalizzato (per studenti universitari)

 

\\ \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n}) = \\ \\ = \mathbb{P}(E_1) \cdot \mathbb{P}(E_2|E_1) \cdot \mathbb{P}(E_3|E_1 \cap E_2) \cdot ... \cdot \mathbb{P}(E_n|E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n-1}) \\ \\ \mbox{ con } \mathbb{P}(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{n-1}) \neq 0

 

 

Eventi indipendenti: due eventi sono indipendenti se la probabilità della loro intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità

 

E,F \mbox{ indipendenti} \iff \mathbb{P}(E \cap F) = \mathbb{P}(E) \cdot \mathbb{P}(F)

 

 

Eventi dipendenti: due eventi sono dipendenti se la probabilità della loro intersezione è diversa dal prodotto delle loro probabilità

 

E,F \mbox{ dipendenti} \iff \mathbb{P}(E \cap F) \neq \mathbb{P}(E) \cdot \mathbb{P}(F)

 

 

Teorema della probabilità assoluta

 

\mathbb{P}(F)=\sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(E_i) \cdot \mathbb{P}(F|E_i)

 

con \{E_1, E_2, ..., E_n\} famiglia di eventi tali da formare una partizione di \Omega.

 

 

Teorema di Bayes

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(F|E) \cdot \mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)} \ \ \mbox{ con } \mathbb{P}(E), \mathbb{P}(F) \neq 0

 

Alcune regole pratiche su come risolvere i problemi di probabilità

 

Dopo aver fatto un ripasso veloce degli elementi essenziali della teoria, riteniamo opportuno proporre alcune regole pratiche per approcciare e risolvere i problemi di calcolo della probabilità.

 

1) Leggere con molta attenzione la traccia del problema. Sembrerà scontato, ma vi assicuriamo che la maggior parte degli errori nella risoluzione dei problemi nasce proprio da un'errata interpretazione del testo dell'esercizio.

 

2) Capire qual è l'esperimento casuale, definire lo spazio campionario più idoneo tenendo conto dei modi e delle finalità dell'esperimento, ed esplicitare i punti campionari laddove sia possibile e necessario ai fini della corretta risoluzione del problema.

 

3) Individuare ogni evento di cui si deve calcolare la probabilità e, se serve, esprimerlo come unione, intersezione o complementazione di altri eventi.

 

4) Prestare attenzione a un'eventuale richiesta di calcolo della probabilità condizionata, ossia al calcolo della probabilità di un evento sapendo che se ne è già verificato un altro (tipicamente il condizionamento comporta una riduzione dei casi possibili e lascia invariati i casi favorevoli).

 

5) Calcolare le probabilità degli eventi determinati applicando opportunamente una o più delle formule precedentemente elencate.

 


Nota bene: in alcune situazioni per determinare il numero di casi possibili e quello di casi favorevoli al realizzarsi di un evento si usano le formule di Calcolo Combinatorio, dunque prima di cimentarvi nella risoluzione degli esercizi di Probabilità è bene che sappiate come si risolvono i problemi di Calcolo Combinatorio.

 

 


 

Le lezioni dedicate al Calcolo delle Probabilità terminano qui. Per qualsiasi dubbio vi ricordiamo, al solito, di aiutarvi con la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di approfondimenti e altrettanti esercizi risolti, a cominciare dalla scheda di problemi di riepilogo di Probabilità. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati

 
 

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