Probabilità condizionata

Si definisce probabilità condizionata (o probabilità a posteriori) la probabilità che si verifichi un evento E sapendo che si è già verificato un altro evento F. La probabilità condizionata di E rispetto a F si indica con P(E|F) oppure con PF(E), e si può definire a patto che la probabilità di F sia diversa da zero.

 

La probabilità condizionata entra in gioco tutte le volte che si vuole calcolare la probabilità di un evento E, detto evento condizionato, assumendo che si sia già verificato un altro evento F, chiamato evento condizionante.

 

In questa lezione presentiamo la definizione e la formula della probabilità condizionata, vediamo qualche esempio di applicazione e ne elenchiamo le principali proprietà. Raccomandiamo la massima attenzione perché è un concetto che interverrà in tutte le successive puntate del corso.

 

Definizione e formula della probabilità condizionata

 

Per scrivere la definizione di probabilità condizionata consideriamo due eventi E,F\subseteq\Omega e supponiamo che la probabilità di F sia non nulla: \mathbb{P}(F) \neq 0.

 

La probabilità condizionata di E rispetto a F si denota con \mathbb{P}(E|F), oppure con \mathbb{P}_F(E), ed è la probabilità che si verifichi E nell'ipotesi che si sia verificato F. In tal caso diciamo che E è l'evento condizionato e che F è l'evento condizionante.

 

\mathbb{P}(E|F) è uguale, per definizione, al rapporto tra la probabilità dell'evento intersezione E \cap F e la probabilità dell'evento F.

 

Più esplicitamente, vale la seguente formula della probabilità condizionata:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(E \cap F)}{\mathbb{P}(F)} \ \ \ \mbox{ con } \mathbb{P}(F) \neq 0

 

Precisiamo che questa formula discende direttamente dalla definizione di probabilità condizionata, dunque non c'è nulla da dimostrare.

 

Esempi sul calcolo della probabilità condizionata

 

Per calcolare la probabilità condizionata di un evento rispetto a un altro non siamo necessariamente costretti a usare la precedente formula. Laddove i dati forniti dal testo del problema lo consentono, possiamo farci guidare dal ragionamento e verificare che si ottiene lo stesso risultato anche applicando la formula.

 

Vediamo qualche esempio.

 

 

1) Vengono lanciati due dadi equilibrati a sei facce. Calcolare la probabilità che la somma dei risultati sia uguale a 6 sapendo che uno dei dadi mostra la faccia con 2 pallini.

 

Svolgimento: denotiamo con E l'evento "la somma dei risultati è uguale a 6" e con F l'evento "uno dei dadi mostra la faccia con 2 pallini". Precisiamo che l'evento F può realizzarsi con un dado o con l'altro.

 

Come spazio campionario consideriamo l'insieme delle coppie ordinate aventi come componenti i possibili risultati dei rispettivi dadi:

 

\Omega=\{(i,j) \ | \ i,j=1,2,3,4,5,6\}

 

Dobbiamo calcolare \mathbb{P}(E|F) e per farlo possiamo servirci della formula classica per la probabilità di un evento, perché siamo in presenza di un esperimento equo in cui possiamo contare i casi favorevoli e quelli possibili. In sintesi: casi favorevoli fratto casi possibili.

 

Poiché sappiamo che dal lancio di uno dei due dadi esce la faccia con 2 pallini, possiamo sfruttare questa informazione per capire quali sono effettivamente i casi possibili in base all'evento condizionante F.

 

Sapendo che si è già verificato F, i casi possibili sono 11 in tutto:

 

\\ (2,1), \ (2,2), \ (2,3), \ (2,4), \ (2,5), \ (2,6), \\ \\ (1,2), \ (3,2), \ (4,2), \ (5,2), \ (6,2)

 

Tra di essi i casi favorevoli, ossia quelli la cui somma dei risultati è 6, sono solo 2:

 

(2,4), \ (4,2)

 

A questo punto calcoliamo la probabilità di E sapendo che si è verificato F come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{2}{11}

 

Verifichiamo che si ottiene lo stesso risultato con la formula della probabilità condizionata:

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(E\cap F)}{\mathbb{P}(F)}

 

Per calcolare le due probabilità torniamo allo spazio campionario \Omega

 

\Omega=\{(i,j) \ | \ i,j=1,2,3,4,5,6\}

 

che è costituito da 36 elementi. Elenchiamo i punti campionari degli eventi E, F

 

\\ E=\{(1,5), \ (2,4), \ (3,3), \ (4,2), \ (5,1)\} \\ \\ F=\left\{\begin{matrix}(2,1), & (2,2), & (2,3), & (2,4), & (2,5), & (2,6), \\ (1,2), & (3,2), & (4,2), & (5,2), & (6,2)\end{matrix}\right\}

 

e determiniamo la loro intersezione

 

E \cap F = \{(2,4), \ (4,2)\}

 

Dalla definizione classica di probabilità segue che

 

\\ \mathbb{P}(E \cap F) = \frac{|E \cap F|}{|\Omega|} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \\ \\ \\ \mathbb{P}(F)=\frac{|F|}{|\Omega|} = \frac{11}{36}

 

e dunque ricaviamo lo stesso risultato

 

\mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(E \cap F)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{\dfrac{1}{18}}{\dfrac{11}{36}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{36}{11} = \frac{2}{11}

 

 

2) Si stima che il 40% degli adulti statunitensi siano obesi, che il 10% siano diabetici e che il 6% siano sia obesi che diabetici. Calcolare le probabilità che un individuo scelto a caso:

 

(a) sia diabetico sapendo che è obeso;

 

(b) sia obeso sapendo che è diabetico.

 

Svolgimento: come spazio campionario \Omega scegliamo l'insieme costituito dagli adulti statunitensi. Non siamo in condizione di darne una rappresentazione per elencazione, né di contarne gli elementi, ma non importa.

 

Indichiamo con E, F\subseteq\Omega i seguenti eventi:

 

E → un individuo scelto a caso è obeso;

 

F → un individuo scelto a caso è diabetico.

 

Il testo del problema fornisce alcune probabilità in forma percentuale. Traduciamole in valori reali:

 

\\ \mathbb{P}(E) = 40\% = \frac{40}{100} = 0,4 \\ \\ \\ \mathbb{P}(F) = 10\% = \frac{10}{100} = 0,1 \\ \\ \\ \mathbb{P}(E \cap F) = \mathbb{P}(F \cap E) = 6\% = \frac{6}{100} = 0,06

 

e calcoliamo \mathbb{P}(E|F) e \mathbb{P}(F|E).

 

Applicando la formula della probabilità condizionata, otteniamo che

 

\\ \mathbb{P}(E|F) = \frac{\mathbb{P}(E \cap F)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{0,06}{0,1} = 0,6 = 60\% \\ \\ \\ \mathbb{P}(F|E) = \frac{\mathbb{P}(F \cap E)}{\mathbb{P}(E)} = \frac{0,06}{0,4} = 0,15 = 15\%

 

Proprietà della probabilità condizionata

 

Concludiamo con l'elenco delle principali proprietà della probabilità condizionata. Da qui in poi supporremo che E,E_1,E_2,F siano eventi qualsiasi in uno spazio campionario \Omega, con \mathbb{P}(F) \neq 0.

 

P1) Se E è incluso in F, allora la probabilità condizionata di E rispetto a F è uguale al rapporto tra la probabilità di E e la probabilità di F, e viceversa.

 

E \subseteq F \iff \mathbb{P}(E|F)=\frac{\mathbb{P}(E)}{\mathbb{P}(F)}

 

 

P2) La probabilità condizionata di E rispetto a F è uguale a 1 se e solo se F è incluso in E

 

\mathbb{P}(E|F)=1 \iff F \subseteq E

 

 

P3) Se E,F sono eventi incompatibili e se anche \mathbb{P}(E) \neq 0, allora la probabilità condizionata di ciascun evento rispetto all'altro è pari a zero.

 

E,F \mbox{ incompatibili} \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(E|F) = 0 = \mathbb{P}(F|E)

 

 

P4) La probabilità condizionata rispetto a F del complementare dell'evento E è uguale a 1 meno la probabilità condizionata di E rispetto a F

 

P\left(E^C | F\right) = 1-\mathbb{P}(E|F)

 

 

P5) La probabilità condizionata dell'evento unione E_1 \cup E_2 rispetto a F è uguale alla probabilità condizionata di E_1 rispetto a F, più la probabilità condizionata di E_2 rispetto a F, meno la probabilità condizionata dell'evento intersezione E_1 \cap E_2 rispetto a F

 

\mathbb{P}(E_1 \cup E_2 | F) = \mathbb{P}(E_1|F)+\mathbb{P}(E_2|F)-\mathbb{P}(E_1 \cap E_2 | F)

 

 


 

Ci fermiamo qui! Vi aspettiamo nella prossima lezione: tratteremo una delle prime applicazioni della nozione di probabilità condizionata, vale a dire la probabilità composta.

 

Per risolvere eventuali dubbi e/o per consultare altri esempi vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di approfondimenti e altrettanti esercizi svolti nel dettaglio, a partire dalla scheda correlata di esercizi risolti sulla probabilità condizionata. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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