Teorema della probabilità assoluta

Il teorema della probabilità assoluta permette di calcolare la probabilità di un evento di cui sono note le probabilità condizionate rispetto ad altri eventi, a condizione che essi costituiscano una partizione dello spazio campionario. Per questo motivo il teorema della probabilità assoluta è anche conosciuto come teorema delle partizioni.

Proseguiamo con lo studio dei teoremi di Calcolo delle Probabilità. Dopo aver enunciato e dimostrato il teorema della probabilità totale e il teorema della probabilità composta, ci occupiamo del cosiddetto teorema della probabilità assoluta, o teorema delle partizioni.

In questa lezione ne vedremo l'enunciato, la dimostrazione e proporremo un paio di esempi svolti. Prima di iniziare è bene sapere che si tratta di un argomento rivolto principalmente a un pubblico di studenti universitari, ma nulla vieta agli studenti più diligenti delle scuole superiori di leggere a titolo di approfondimento. ;)

Enunciato e formula del teorema della probabilità assoluta

Siano lo spazio campionario relativo a un esperimento casuale ed una famiglia di eventi tali da costituire una partizione di .

Ricordiamo che formano una partizione di se sono sottoinsiemi di che soddisfano le seguenti condizioni:

- nessuno di essi è vuoto, o equivalentemente nessuno di essi è l'evento impossibile

- Sono insiemi a due a due disgiunti; in modo equivalente, comunque se ne prendono due, la loro intersezione è l'evento impossibile, ossia sono eventi incompatibili

- La loro unione è uguale a

Con queste premesse possiamo fornire l'enunciato del teorema della probabilità assoluta. Per ogni evento , la probabilità di è uguale al prodotto tra la probabilità di e la probabilità condizionata di rispetto a , più il prodotto tra la probabilità di e la probabilità condizionata di rispetto a , e via discorrendo, fino a sommare il prodotto tra la probabilità di e la probabilità condizionata di rispetto a .

Essendo ognuno degli eventi diverso dall'evento impossibile risulta che , dunque possiamo applicare il teorema della probabilità composta:

Questa osservazione ci permette di riscrivere la formula del teorema della probabilità assoluta in termini di probabilità composte:

Dimostrazione del teorema della probabilità assoluta

La dimostrazione del teorema della probabilità assoluta è piuttosto semplice, a patto di ricordare le proprietà delle operazioni tra eventi.

Sia un evento. Poiché è un sottoinsieme di , allora coincide con l'intersezione tra se stesso e

Gli eventi formano una partizione di , dunque la loro unione è l'intero spazio campionario

Per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione possiamo scrivere

e in definitiva:

Prima di passare alle probabilità osserviamo che gli eventi sono incompatibili, ossia disgiunti a due a due

Se infatti fosse , ciò implicherebbe l'esistenza di un punto campionario in comune tra e , e ciò contraddirebbe l'ipotesi di incompatibilità degli eventi .

Torniamo alla relazione , da cui segue

La probabilità dell'unione di eventi incompatibili è uguale alla somma delle singole probabilità, come garantito dagli assiomi della Probabilità

Essendo possiamo applicare il teorema della probabilità composta

e abbiamo portato a termine la dimostrazione.

Esempi di applicazione del teorema della probabilità assoluta

1) Consideriamo due urne . La prima contiene 6 palline bianche e 2 palline nere, mentre la seconda contiene 8 palline bianche e 8 palline nere. Si estrae una pallina da un'urna scelta a caso: qual è la probabilità che la pallina sia bianca?

Svolgimento: sia l'insieme di tutte le palline, e consideriamo gli eventi:

→ la pallina è dell'urna ;

→ la pallina è dell'urna ;

→ la pallina estratta è bianca.

Osserviamo che sono eventi non impossibili, che sono incompatibili (una stessa pallina non può appartenere ad entrambe le urne) e che la loro unione è uguale a , dunque per il teorema della probabilità assoluta:

Calcoliamo le probabilità a secondo membro.

• è la probabilità di estrarre una pallina bianca sapendo che la pallina è dell'urna . Poiché l'urna contiene 8 palline, di cui 6 bianche, abbiamo che

• è la probabilità di estrarre una pallina bianca sapendo che la pallina è dell'urna . L'urna contiene 16 palline, di cui 8 bianche, per cui

• Infine, poiché la scelta dell'urna è casuale, abbiamo la stessa probabilità di scegliere sia l'urna che l'urna , dunque

In conclusione, dal teorema della probabilità assoluta:

2) Da un'indagine statistica risulta che la percentuale degli alunni che indossano gli occhiali è del 10% nelle scuole elementari, del 25% nelle scuole medie e del 40% nelle scuole superiori. Scegliendo uno studente a caso tra tutti, e supponendo che la scelta sia equiprobabile tra i vari gradi, calcolare la probabilità che abbia gli occhiali.

Svolgimento: definiamo i seguenti eventi:

→ lo studente frequenta la scuola elementare;

→ lo studente frequenta la scuola media;

→ lo studente frequenta la scuola superiore;

→ lo studente indossa gli occhiali.

Dobbiamo calcolare la probabilità di .

Indichiamo con l'insieme di tutti gli alunni e notiamo che formano una partizione di : sono eventi non impossibili, incompatibili e la loro unione è uguale a .

Possiamo allora applicare il teorema della probabilità assoluta:

Dai dati forniti dalla traccia sappiamo che:

Sostituendo tali valori, ricaviamo

C'è ancora un argomento teorico da trattare prima di chiudere il ciclo di lezioni sul Calcolo delle Probabilità: il teorema di Bayes. Vi aspettiamo nella lezione omonima e vi ricordiamo di usare la barra di ricerca interna per trovare tutto quello che vi serve, tra migliaia di approfondimenti e di esercizi svolti... Non perdetevi tra l'altro la scheda correlata di esercizi risolti sulla probabilità assoluta. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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