Eventi compatibili, eventi incompatibili, eventi complementari

Si dicono eventi compatibili due eventi che possono verificarsi congiuntamente, in caso contrario si parla di eventi incompatibili (o eventi disgiunti). Si dicono inoltre eventi complementari due eventi che non possono verificarsi congiuntamente e tali che uno dei due si verifica con certezza.

 

Ora che sappiamo cos'è un evento in Probabilità e come si definiscono le varie operazioni tra eventi, vogliamo concentrarci su tre particolari tipologie di eventi che nomineremo spesso da qui in avanti: gli eventi compatibili, gli eventi incompatibili e gli eventi complementari.

 

In questa lezione spiegheremo quali sono le caratteristiche che devono soddisfare due eventi per potersi definire compatibili, incompatibili o complementari, e proporremo qualche esempio. Per concludere estenderemo la definizione di incompatibilità al caso di tre o più eventi, ma vi anticipiamo che è un argomento che riserviamo ai soli lettori universitari.

 

Eventi compatibili ed eventi incompatibili (o eventi disgiunti)

 

Consideriamo due eventi qualsiasi E_1, E_2 in uno spazio campionario \Omega.

 

• Diciamo che E_1, E_2 sono eventi compatibili se il verificarsi dell'uno non impedisce il verificarsi dell'altro, ossia se possono realizzarsi congiuntamente.

 

In modo equivalente, due eventi sono compatibili se e solo se la loro intersezione non è l'evento impossibile.

 

E_1,E_2 \mbox{ compatibili} \iff E_1 \cap E_2 \neq \emptyset

 

 

• Diciamo che E_1, E_2 sono eventi incompatibili (o eventi disgiunti) se il verificarsi dell'uno impedisce il verificarsi dell'altro, ossia se non possono realizzarsi congiuntamente.

 

In altre parole due eventi sono incompatibili se e solo se la loro intersezione è l'evento impossibile.

 

E_1,E_2 \mbox{ incompatibili} \iff E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

Esempi di eventi compatibili e di eventi incompatibili

 

Un'urna contiene 10 palline, di cui 5 rosse e 5 bianche. Sappiamo inoltre che le palline rosse sono numerate da 1 a 5 e che le palline bianche sono numerate da 6 a 10. Si consideri l'esperimento casuale che consiste nell'estrazione di una pallina dall'urna e siano E_1, E_2, E_3\subseteq\Omega i seguenti eventi:

 

E_1 → viene estratta una pallina rossa;

 

E_2 → viene estratta una pallina con un numero pari;

 

E_3 → viene estratta la pallina numero 5.

 

Stabilire quali sono le coppie di eventi compatibili e quali sono le coppie di eventi incompatibili.

 

Svolgimento: dobbiamo analizzare le coppie di eventi

 

E_1,E_2 \ \ ; \ \ E_1,E_3 \ \ ; \ \ E_2,E_3

 

e stabilire se si tratta di eventi compatibili oppure incompatibili.

 

E_1, E_2 sono eventi compatibili perché possono verificarsi congiuntamente. Osserviamo infatti che le palline rosse sono numerate da 1 a 5, dunque tra esse vi sono due palline marchiate con un numero pari (2 e 4).

 

E_1, E_3 sono anch'essi eventi compatibili in quanto la pallina numero 5 è una pallina rossa, dunque i due eventi possono realizzarsi congiuntamente.

 

E_2, E_3 sono eventi incompatibili perché il numero 5 è dispari, dunque se viene estratta una pallina pari (ossia se si verifica l'evento E_2) non può di certo essere la numero 5, e quindi non può realizzarsi l'evento E_3.

 

Un modo alternativo, ma altrettanto efficace di procedere, consiste nell'elencare i punti campionari di E_1, E_2, E_3 e successivamente calcolare gli eventi intersezione

 

E_1 \cap E_2 \ \ ; \ \ E_1 \cap E_3 \ \ ; \ \ E_2 \cap E_3

 

Procediamo! Le palline rosse sono numerate da 1 a 5, dunque l'evento E_1 è dato da

 

E_1=\{1,2,3,4,5\}

 

Le palline pari contenute nell'urna sono le numero 2, 4, 6, 8, 10, dunque

 

E_2=\{2,4,6,8,10\}

 

Infine l'evento E_3 ha un unico punto campionario

 

E_3=\{5\}

 

Determiniamo gli eventi intersezione:

 

\\ E_1 \cap E_2 = \{2,4\} \\ \\ E_1 \cap E_3 = \{5\} \\ \\ E_2 \cap E_3 = \emptyset

 

Da essi deduciamo che E_1, E_2 ed E_1,E_3 sono eventi compatibili, mentre E_2, E_3 sono eventi incompatibili.

 

Eventi complementari

 

Sia \Omega uno spazio campionario relativo a un esperimento casuale e siano E_1, E_2 due eventi inerenti allo stesso esperimento.

 

E_1,E_2 sono eventi complementari se soddisfano le seguenti condizioni:

 

- il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro;

 

- uno dei due si realizza di sicuro, ossia la loro unione è l'evento certo.

 

Dalla prima condizione deduciamo che due eventi complementari sono in particolare incompatibili, dunque possiamo formulare la seguente definizione alternativa: due eventi complementari sono eventi incompatibili tali che la loro unione è l'evento certo.

 

E_1, E_2 \mbox{ complementari} \iff \begin{cases}E_1\cap E_2 = \emptyset \\ E_1 \cup E_2 = \Omega \end{cases}

 

Esempi di eventi complementari

 

Nell'esperimento casuale del lancio di un dado a sei facce, in cui siamo interessati al numero che esce a seguito del lancio, scegliamo come spazio campionario

 

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

 

Sono esempi di eventi complementari:

 

- il dado mostra una faccia con un numero pari di pallini → E_1=\{2,4,6\}

 

- il dado mostra una faccia con un numero dispari di pallini → E_2=\{1,3,5\}

 

È infatti evidente che i due eventi sono incompatibili: il risultato del lancio è un numero naturale tra 1 e 6, quindi o è pari, o è dispari

 

E_1 \cap E_2 = \emptyset

 

È anche chiaro che la loro unione è l'evento certo, perché contiene tutti i risultati possibili e dunque coincide con lo spazio campionario

 

E_1 \cup E_2 = \{1,2,3,4,5,6\} = \Omega

 

Sono invece esempi di eventi non complementari:

 

- il dado mostra una faccia con un numero di pallini minore o uguale a 3 → E_3=\{1,2,3\}

 

- il dado mostra una faccia con un numero di pallini maggiore di 4 → E_4=\{5,6\}

 

E_3, E_4 sono non complementari perché, sebbene la loro intersezione sia l'evento impossibile

 

E_3 \cap E_4 = \emptyset

 

la loro unione non è l'evento certo

 

E_3 \cup E_4 = \{1,2,3,5,6\} \neq \Omega

 

Generalizzazione della definizione di eventi incompatibili

 

Nel caso di due eventi E_1, E_2\subseteq \Omega, essi sono compatibili oppure sono incompatibili. In altri termini la non incompatibilità di due eventi è sinonimo di compatibilità, e viceversa la non compatibilità di due eventi è sinonimo di incompatibilità.

 

Se gli eventi sono tre o più, la situazione è più delicata. Per questo motivo la restante parte della spiegazione si rivolge ai soli studenti universitari: tutti gli altri possono passare direttamente alla lezione successiva. ;)

 

Partiamo dalla definizione di eventi incompatibili per tre o più eventi.

 

Sia n>2 un numero naturale e consideriamo gli eventi E_1, E_2, ..., E_n\subseteq\Omega. Diciamo che gli n>2 eventi sono incompatibili se sono due a due incompatibili, ossia se per ciascuno di essi il suo verificarsi impedisce il verificarsi di ciascuno degli altri:

 

E_1,E_2,...,E_n \mbox{ incompatibili} \iff E_i \cap E_j = \emptyset \ \ \forall i \neq j

 

Vediamo subito un esempio. Nell'esperimento casuale del lancio di un dado, gli eventi

 

E_1=\{1\} \ \ ; \ \ E_2=\{3,4\} \ \ ; \ \ E_3=\{2,5,6\}

 

sono tre eventi incompatibili, in quanto prendendoli due a due si ottengono intersezioni uguali all'evento impossibile

 

E_1 \cap E_2=\emptyset\\ \\ E_1 \cap E_3=\emptyset\\ \\ \ E_2 \cap E_3=\emptyset

 

A questo punto sarebbe lecito generalizzare anche la definizione di eventi compatibili e affermare che n>2 eventi sono compatibili se sono a due a due compatibili, ossia se E_i \cap E_j \neq \emptyset per ogni i \neq j.

 

In questo modo però la non incompatibilità non sarebbe sinonimo di compatibilità. Potrebbe infatti capitare di imbattersi in eventi né compatibili, né incompatibili, che non sapremmo classificare. Ne sono un esempio i seguenti eventi inerenti al lancio di un dado:

 

E_1=\{2,4,6\} \ \ ; \ \ E_2=\{1,3,5\} \ \ ; \ \ E_3=\{4\}

 

È immediato vedere che E_1,E_2 ed E_2,E_3 sono coppie di eventi incompatibili, mentre E_1,E_3 è una coppia di eventi compatibili.

 

Per ovviare a tale eventualità nel caso di n \ge 3 eventi si preferisce parlare di eventi incompatibili oppure di eventi non incompatibili, senza definire esplicitamente la compatibilità.

 

Ricapitolando:

 

E_1, E_2..., E_n con n \ge 3 sono eventi incompatibili se e solo se tutte le possibili coppie di eventi sono tra loro incompatibili.

 

• Se esiste almeno una coppia di eventi compatibili, ossia se esistono i,j \in \{1,2,...,n\} con i \neq j tali che E_i \cap E_j \neq \emptyset, allora gli n eventi sono non incompatibili.

 

 


 

Per concludere vi anticipiamo che nell'ambito della classificazione degli eventi si distingue anche tra eventi dipendenti ed eventi indipendenti, ma questo è un argomento che tratteremo più avanti.

 

Prima di farlo dobbiamo capire cos'è la probabilità di un evento e come si calcolano la probabilità condizionata e la probabilità composta, ed è ciò che faremo nelle prossime lezioni.

 

Vi aspettiamo nella prossima puntata del corso, e vi ricordiamo che per ogni dubbio e approfondimento potete servirvi della barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di spiegazioni e altrettanti esercizi risolti nel dettaglio, a cominciare dalla scheda di esercizi correlata. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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