Probabilità di un evento

La probabilità di un evento è la probabilità che esso si verifichi, e secondo la definizione classica è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli per il realizzarsi dell'evento e il numero di casi possibili, purché i casi possibili siano in numero finito e tutti ugualmente realizzabili.

L'obiettivo del Calcolo delle Probabilità è associare a ogni evento un numero che esprima la misura dell'aspettativa che l'evento si verifichi. Tale numero viene detto probabilità dell'evento, ed esistono diversi modi per definirlo.

Quella di cui ci occuperemo in questa lezione è la definizione classica di probabilità di un evento, utilizzata dal matematico Girolamo Cardano dalla metà del 1500 per calcolare le probabilità di eventi associati ai giochi con carte e dadi, e successivamente formalizzata da Laplace all'inizio dell'Ottocento.

Cercheremo di capire qual è l'idea alla base di questa definizione, daremo la formula per il calcolo della probabilità di un evento e spiegheremo come si esprime la probabilità di un evento in forma percentuale.

Definizione classica di probabilità di un evento

Ognuno di noi ha un'idea più o meno vaga del concetto di probabilità di un evento. Pensate a un'urna che contiene 10 palline, di cui 8 rosse e 2 verdi: se vi chiedessimo se è più probabile estrarre una pallina rossa oppure una pallina verde, tutti rispondereste che è più probabile che venga estratta una pallina rossa.

In termini più formali diciamo che l'evento "estrazione di una pallina rossa" è più probabile dell'evento "estrazione di una pallina verde", anche senza sapere cosa sia la probabilità di un evento e come si calcoli.

La risposta al quesito viene fornita ricorrendo al concetto intuitivo di probabilità, secondo cui se l'urna contiene 10 palline, di cui 8 rosse e 2 verdi, allora abbiamo ben 8 possibilità su 10 di estrarre una pallina rossa e solo 2 possibilità su 10 di estrarne una verde.

È proprio questa l'idea che ha portato alla definizione classica di probabilità di un evento, dove con l'aggettivo "classica" si intende che è la prima ad essere stata formulata storicamente.

Secondo tale definizione la probabilità di un evento , indicata con la notazione , è il rapporto tra il numero di casi favorevoli per il verificarsi dell'evento e il numero di casi possibili, purché quest'ultimi siano in numero finito e tutti ugualmente realizzabili (in tal caso si parla di esperimento equo).

In una notazione più compatta:

Alla definizione classica di probabilità sono state rivolte critiche di varia natura. La prima fra tutte ha carattere formale e riguarda la circolarità dell'asserto: affermare che l'esperimento sia equo, ossia che tutti i possibili risultati debbano essere ugualmente realizzabili, equivale a dire che tutti i casi possibili hanno la stessa probabilità di realizzarsi, dunque si fa implicitamente uso della nozione stessa che si vuole definire.

Questa e altre critiche hanno portato a nuove definizioni di probabilità e alla più generale formulazione degli assiomi della Probabilità, di cui ci occupiamo nella lezione successiva.

Calcolo della probabilità di un evento

In ogni corso base di Probabilità, per calcolare la probabilità di un evento si utilizza la definizione classica perché fornisce una regola estremamente pratica, purché si possa ragionevolmente supporre che i possibili risultati dell'esperimento siano equirealizzabili e in cui è noto che i possibili risultati sono in numero finito.

La formula, o se preferite il metodo che ne deriva, viene utilizzato in tutti i problemi di Probabilità sul lancio delle monete, sul lancio dei dadi, sui giochi di carte e sulle estrazioni di una o più palline da un'urna.

Dopo questo lungo ma necessario preambolo passiamo all'atto pratico e vediamo come si calcola la probabilità di un evento.

Siano uno spazio campionario finito associato a un esperimento casuale equo, e sia un evento.

Ricordiamo che è definito come l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento aleatorio, mentre è un sottoinsieme (proprio o improprio) di che contiene parte dei risultati possibili, tutti o nessuno di essi.

Nella chiave di lettura della definizione classica di probabilità i risultati possibili in sono evidentemente i casi possibili, mentre i risultati possibili in sono i casi favorevoli per il verificarsi dell'evento stesso.

Da ciò deduciamo che:

• il numero di casi favorevoli per il verificarsi dell'evento è uguale alla cardinalità dell'insieme

• Il numero di casi possibili coincide con la cardinalità dell'insieme

Dalla definizione classica ricaviamo allora la seguente formula per il calcolo della probabilità di un evento

Osserviamo che ciò che conta ai fini del calcolo della probabilità di un evento sono il numero di casi possibili e il numero di casi favorevoli, ossia ci interessa sapere quanti sono e non quali sono.

In altre parole, laddove non sia necessario oppure diventi proibitivo farlo, possiamo evitare di esplicitare gli elementi dello spazio campionario e dell'evento in esame, e possiamo limitarci a calcolare le rispettive cardinalità.

Esempi sul calcolo della probabilità di un evento

1) Calcolare la probabilità che nel lancio di un dado a sei facce esca un numero dispari.

Svolgimento: se nel lancio di un dado a sei facce siamo interessati al numero che esce, scegliamo come spazio campionario

la cui cardinalità è 6

Indichiamo con l'evento "esce un numero dispari". Rappresentiamolo per elencazione esplicitandone i punti campionari, e calcoliamone la cardinalità

Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare :

2) Un'urna contiene 20 palline rosse e il doppio di palline bianche. Calcolare la probabilità che venga estratta una pallina bianca.

Svolgimento: sia l'evento "estrazione di una pallina bianca".

Dai dati forniti dalla traccia sappiamo che l'urna contiene 20 palline rosse e il doppio di palline bianche, che quindi sono 40. Da ciò deduciamo che la cardinalità di , ossia il numero di casi favorevoli, è 40

Il numero di casi possibili è invece uguale al numero totale di palline, che sono 20+40=60:

Applicando la formula per il calcolo della probabilità di un evento, otteniamo

Probabilità di un evento in forma percentuale

In molte situazioni viene chiesto di calcolare la probabilità in forma percentuale. Vediamo come fare.

Dopo aver calcolato come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, si ottiene una frazione. Per esprimerla in forma percentuale si deve:

- trasformare la frazione in numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore (spesso è necessario l'uso della calcolatrice);

- moltiplicare il numero così ottenuto per 100 e aggiungere il simbolo di percentuale (%).

Per fissare le idee torniamo al precedente esempio sulla probabilità di ottenere un numero dispari dopo il lancio di un dado a sei facce. Abbiamo già visto che

Esprimiamola in forma percentuale:

e abbiamo finito. :)

Limiti della definizione classica di probabilità di un evento

Come abbiamo ribadito più volte, la definizione classica di probabilità di un evento si usa in tutte le situazioni in cui si può supporre che gli esiti di un esperimento casuale siano in numero finito ed equiprobabili (lancio di un dado, lancio di una moneta, estrazione di una pallina da un'urna, ecc...). Sebbene questa sia la circostanza più frequente negli esercizi di Probabilità, non è la sola che può presentarsi.

In sintesi la definizione classica è quella che si usa all'atto pratico, ma non è la definizione adatta per sviluppare la teoria del Calcolo delle Probabilità, perché non è sempre detto che l'esperimento sia equo, così come nulla ci assicura che sia sempre possibile contare il numero di casi possibili e quello di casi favorevoli.

Per lo sviluppo della parte teorica si ricorre alla cosiddetta definizione assiomatica di Probabilità, che sarà l'argomento della prossima lezione.

Nel mentre vi rammentiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti, oltre a una scheda interamente dedicata agli esercizi sulla probabilità degli eventi, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023