Disposizioni

Una disposizione in Matematica è una sequenza ordinata di k elementi selezionati tra n elementi distinti. In termini più formali si definisce disposizione qualsiasi raggruppamento ordinato di k elementi estratti da un insieme che ne contiene n.

 

Finora ci siamo occupati delle permutazioni e abbiamo visto come si conta il numero di raggruppamenti che si ottengono facendo variare l'ordine di n elementi, a seconda che siano tutti distinti tra loro (permutazioni semplici) oppure che ve ne siano alcuni che si ripetono (permutazioni con ripetizione).

 

In questa e nelle successive due lezioni tratteremo le disposizioni e impareremo a calcolare il numero di raggruppamenti ordinati di k elementi che si possono comporre a partire da n elementi distinti.

 

Definizione di disposizione

 

Consideriamo n elementi distinti e sia k un numero naturale. Si dicono disposizioni di classe k i raggruppamenti che si possono formare a partire dagli n elementi, in modo che:

 

- in ogni raggruppamento vi siano esattamente k elementi;

 

- ciascun raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento oppure per l'ordine con cui gli elementi si susseguono.

 

Se nei vari raggruppamenti non sono ammesse ripetizioni, ossia se i k elementi devono essere distinti tra loro, si parla di disposizioni semplici, in caso contrario di disposizioni con ripetizione.

 

Cerchiamo di capire la definizione di disposizione con un esempio. Consideriamo l'insieme A=\{a,b,c\}, formato da n=3 elementi, e sia k=2.

 

Le disposizioni di classe 2 degli elementi di A sono tutti i possibili raggruppamenti formati con 2 lettere dell'insieme \{a,b,c\}, e che si differenziano tra loro per almeno un elemento oppure per l'ordine con cui gli elementi si presentano.

 

• Se non sono ammesse ripetizioni, ossia se i 2 elementi di ogni raggruppamento devono essere diversi tra loro, tutte le possibili disposizioni di classe 2 sono:

 

\\ ab \ \ ; \ \ ac \\ \\ ba \ \ ; \ \ bc \\ \\ ca \ \ ; \ \ cb

 

• Se invece sono ammesse ripetizioni, cioè se uno stesso elemento può essere ripetuto all'interno del medesimo raggruppamento, allora abbiamo le seguenti disposizioni:

 

\\ aa \ \ ; \ \ ab \ \ ; \ \ ac \\ \\ ba \ \ ; \ \ bb \ \ ; \ \ bc \\ \\ ca \ \ ; \ \ cb \ \ ; \ \ cc

 

Tipi di disposizioni

 

Come avrete già intuito esistono due tipi di disposizioni: le disposizioni semplici e le disposizioni con ripetizione.

 

La differenza tra le due tipologie è che nelle disposizioni semplici i k elementi sono tutti diversi tra loro, mentre nelle disposizioni con ripetizione uno stesso elemento può essere ripetuto fino a un massimo di k volte.

 

Avremo modo di approfondire questo aspetto nelle lezioni successive. Per il momento limitiamoci alle definizioni e alle formule per calcolare il numero di disposizioni semplici e il numero di disposizioni con ripetizione.

 

Disposizioni semplici (dette anche disposizioni senza ripetizione)

 

Si definisce disposizione semplice una sequenza ordinata di k elementi distinti estratti tra n elementi distinti, con n \ge k.

 

Il numero di disposizioni semplici si indica con D_{n,k} ed è dato dal rapporto tra il fattoriale di n e il fattoriale di n-k

 

D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

 

 

Disposizioni con ripetizione

 

Si definisce disposizione con ripetizione una sequenza ordinata di k elementi estratti tra n elementi distinti, con la possibilità che ogni elemento possa ripetersi fino a k volte nella stessa sequenza.

 

Il numero di disposizioni con ripetizione si indica con D'_{n,k} ed è dato dalla potenza k-esima di n

 

D'_{n,k}=n^k

 

Esempi sulle disposizioni

 

1) Elencare e calcolare il numero di disposizioni semplici di classe 2 degli elementi dell'insieme definito per caratteristica

 

E_1=\{x \ | \ x \ \grave{\mbox{e}} \mbox{ una consonante della parola "quaderno"}\}

 

Svolgimento: rappresentiamo l'insieme per elencazione. Le consonanti della parola quaderno sono le lettere q, d, r, n, dunque

 

E_1=\{q,d,r,n\}

 

Le disposizioni semplici di classe 2 degli elementi di E_1 sono tutti i gruppi ordinati formati da 2 elementi distinti di E_1:

 

\\ qd \ \ ; \ \ qr \ \ ; \ \ qn \\ \\ dq \ \ ; \ \ dr \ \ ; \ \ dn \\ \\ rq \ \ ; \ \ rd \ \ ; \ \ rn \\ \\ nq \ \ ; \ \ nd \ \ ; \ \ nn

 

Per individuarle abbiamo fissato il primo elemento di ogni gruppo (prima la lettera q, poi la d, successivamente la r e infine la n) e fatto variare il secondo.

 

Da ciò deduciamo che tali disposizioni dovrebbero essere 12, ma per esserne sicuri verifichiamolo con la formula per il numero delle disposizioni semplici

 

D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}

 

in cui sostituiamo n=4 e k=2

 

D_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12

 

 

2) Stabilire quali e quante sono le disposizioni con ripetizione di classe 3 degli elementi dell'insieme

 

E_2=\{x \ | \ x \ \grave{\mbox{e}} \mbox{ una vocale della parola "vino"}\}

 

Svolgimento: le vocali della parola vino, e quindi gli elementi di E_2, sono i, o

 

E_2=\{i, o\}

 

Le disposizioni con ripetizione di classe 3 sono tutti i possibili raggruppamenti ordinati di 3 lettere, formati da elementi di E_2, in cui ogni elemento può ripetersi fino a un massimo di 3 volte:

 

\\ iii \ \ ; \ \ iio \ \ ; \ \ ioi \ \ ; \ \ oii \\ \\ ooo \ \ ; \ \ ooi \ \ ; \ \ oio \ \ ; \ \ ioo

 

Per comporli siamo partiti dai gruppi con gli elementi uguali iii e ooo, scritti su righe differenti, e successivamente abbiamo sostituito il terzo, il secondo e il primo di ogni gruppo con l'altro elemento dell'insieme.

 

In definitiva le disposizioni con ripetizione di classe 3 degli elementi di E_2 sono 8, come conferma la formula per il numero di disposizioni con ripetizione

 

D'_{n,k}=n^k

 

in cui basta sostituire n=2 e k=3

 

D'_{2,3}=2^3=8

 

 


 

Per il momento è tutto ma vi consigliamo di non perdervi le prossime puntate, in cui studieremo nel dettaglio le disposizioni semplici e le disposizioni con ripetizione: spiegheremo come si ricavano le formule con cui si calcolano il numero di disposizioni semplici e il numero di disposizioni con ripetizione, e proporremo diversi esempi ed esercizi svolti.

 

Nel frattempo vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti (potete cominciare con la scheda correlata di esercizi svolti sulle disposizioni), e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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Tags: cos'è una disposizione in Matematica - tipi di disposizioni - numero di disposizioni di classe k - differenza tra disposizioni semplici e disposizioni con ripetizione.