Disposizioni con ripetizione

Una disposizione con ripetizione è un raggruppamento ordinato di k elementi formato a partire da n elementi distinti, nel quale uno stesso elemento può essere ripetuto fino a k volte. Più formalmente si definisce disposizione con ripetizione di classe k ogni sequenza ordinata di k elementi, anche ripetuti, estratti tra n elementi distinti.

Proseguiamo lo studio dei vari tipi di disposizioni. Dopo aver visto cosa sono le disposizioni semplici passiamo a occuparci delle disposizioni con ripetizione.

Dopo averne dato la definizione, e dopo averla commentata nel dettaglio, ci concentriamo sulla formula per il calcolo del numero di disposizioni con ripetizione. Come nostra abitudine proporremo degli esercizi svolti, grazie ai quali sarà ancora più chiaro quando si utilizzano le disposizioni con ripetizione, e metteremo in evidenza analogie e differenze tra le disposizioni con ripetizione e le disposizioni semplici.

Definizione di disposizione con ripetizione

Per scrivere una definizione di disposizione con ripetizione che sia quanto più chiara e dettagliata possibile dobbiamo partire da elementi distinti e considerare un numero naturale .

Si dicono disposizioni con ripetizione di classe k tutti i raggruppamenti che si possono formare a partire dagli elementi, in modo che:

- ogni raggruppamento contenga elementi;

- uno stesso elemento possa comparire fino a volte nello stesso gruppo;

- due raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento, oppure per l'ordine con cui gli elementi si presentano.

Le disposizioni con ripetizione di classe k vengono anche dette disposizioni con ripetizione a k a k.

Vediamo subito un esempio. Prendiamo l'insieme

e troviamo le disposizioni con ripetizione di classe 2 degli elementi di .

Per prima cosa rappresentiamo l'insieme per elencazione, così da distinguere bene i suoi elementi, che sono 4

Le disposizioni con ripetizione di classe degli elementi di sono tutti i raggruppamenti formati con 2 elementi di , e che si distinguono tra loro per almeno un elemento oppure per l'ordine con cui gli elementi si susseguono, con la condizione aggiuntiva che uno stesso elemento può essere ripetuto all'interno dello stesso gruppo.

La lettera che occupa la prima posizione può essere una tra . Dopo averla scelta si fa variare la seconda, e anch'essa può essere una tra .

In sintesi le disposizioni con ripetizione di classe 2 degli elementi di sono:

come conferma il seguente diagramma ad albero:

Disposizioni con ripetizione con diagramma ad albero.

Calcolo del numero di disposizioni con ripetizione

Il Calcolo Combinatorio è la branca della Matematica che studia i metodi con cui si possono raggruppare elementi in numero finito, e uno tra essi è dato dalle disposizioni con ripetizione. Il fine ultimo del Calcolo Combinatorio è però quello di contare quanti sono i possibili raggruppamenti che si possono formare applicando ciascun metodo, dunque vediamo come calcolare il numero di disposizioni con ripetizione.

Per ottenere tutte le disposizioni con ripetizione di classe di elementi distinti immaginiamo di avere caselle, date in un certo ordine, e di doverle riempire con altrettanti elementi scelti tra gli .

Evidentemente ci sono possibilità per scegliere l'elemento da sistemare nella prima casella. Per ciascuna di esse vi sono ancora possibili scelte per l'elemento da porre nella seconda casella, perché nel caso delle disposizioni con ripetizione è consentito ripetere la scelta già fatta.

Abbiamo dunque modi di riempire le prime due caselle.

In una disposizione con ripetizione di classe lo stesso elemento può essere ripetuto fino a volte, dunque vi sono possibilità di scelta anche per riempiere ciascuna delle caselle successive, fino alla -esima.

Calcolo del numero delle disposizioni con ripetizione di classe k di n elementi.

Possiamo allora concludere che il numero di disposizioni con ripetizione di classe di elementi distinti, che d'ora in poi indicheremo con , è il prodotto di fattori uguali a

Il prodotto di fattori uguali a corrisponde alla potenza -esima di , dunque vale la seguente formula per il calcolo del numero di disposizioni con ripetizione:

Prima di passare agli esempi è bene notare che non vi è alcuna limitazione su , che può essere un qualsiasi numero naturale (maggiore, minore o uguale a ).

Esempi sul calcolo del numero di disposizioni con ripetizione

1) Quanti sono i numeri costituiti da sei cifre tutte dispari?

Svolgimento: le cifre dispari sono 1, 3, 5, 7, 9. Ogni numero formato da sei cifre dispari è una sequenza ordinata di sei elementi, estratti dall'insieme , nella quale la stessa cifra si può ripetere fino a sei volte. Inoltre una sequenza è diversa dalle altre se cambia almeno una cifra oppure se è diverso l'ordine con cui sono scritte.

In buona sostanza ogni numero di sei cifre tutte dispari è una disposizione con ripetizione di classe di elementi. Per calcolare quanti sono usiamo la formula delle disposizioni con ripetizione

e sostituiamo e

2) Per aprire una cassaforte bisogna comporre una parola d'ordine, anche senza significato, di 8 lettere scelte tra quelle dell'alfabeto italiano. Quante sono le possibili parole d'ordine?

Svolgimento: ogni parola d'ordine è un raggruppamento ordinato di 8 lettere scelte tra le 21 lettere dell'alfabeto italiano.

In ogni parola si può ripetere la stessa lettera fino a un massimo di 8 volte, e due parole sono diverse tra loro se cambia almeno una lettera oppure se cambia l'ordine con cui sono disposte.

Questo ragionamento ci permette di asserire che le parole d'ordine sono disposizioni con ripetizione di classe 8 di 21 elementi. Usando la relativa formula, ricaviamo

dunque possiamo comporre quasi 38 miliardi di parole.

3) Quante colonne si dovrebbero giocare al Totocalcio per essere sicuri di fare 14?

Svolgimento: in una schedina del Totocalcio ci sono 14 accoppiamenti di squadre, disposti su righe diverse e seguiti da una colonna che contiene i simboli 1, X, 2 accanto a ogni accoppiamento. L'1 indica la vittoria della squadra che gioca in casa, X il pareggio e 2 la vittoria della squadra che gioca in trasferta.

Per fare 14 al Totocalcio si devono pronosticare correttamente i risultati di tutti e 14 gli accoppiamenti presenti sulla schedina, scegliendo tra 1, X, 2.

Ora abbiamo le nozioni di base per capire che ogni colonna giocata è una disposizione con ripetizione di classe 14 (i 14 accoppiamenti) di 3 elementi distinti (i simboli 1, X, 2).

Osserviamo infatti che:

- uno stesso risultato può essere ripetuto fino a un massimo di 14 volte: tutte le partite potrebbero terminare con un pareggio, oppure concludersi con la vittoria della squadra in casa, o ancora terminare con la vittoria della squadra che gioca in trasferta.

- L'ordine con cui vengono pronosticati i risultati ha un'importanza fondamentale, infatti a ogni accoppiamento di squadre deve corrispondere il risultato esatto.

- Oltre all'ordine con cui sono riportati i risultati, due giocate sono diverse tra loro se cambia almeno un risultato.

In definitiva il numero di colonne che si dovrebbe giocare al Totocalcio per essere sicuri di fare 14 è pari al numero di diposizioni con ripetizione di classe 14 di 3 elementi, che sono

Analogie e differenze tra disposizioni semplici e con ripetizione

Concludiamo questa lezione analizzando analogie e differenze tra disposizioni semplici e disposizioni con ripetizione.

Entrambe sono raggruppamenti ordinati di elementi selezionati tra elementi distinti, ma:

- nelle disposizioni semplici ogni raggruppamento è formato da elementi distinti, mentre nelle disposizioni con ripetizione lo stesso elemento può essere ripetuto fino a volte;

- nelle disposizioni semplici si ha la limitazione , infatti se fosse sarebbe impossibile formare raggruppamenti di elementi distinti. Nelle disposizioni con ripetizione non abbiamo invece alcuna limitazione su , che può essere un qualsiasi numero naturale.

Facciamo il punto della situazione: finora abbiamo studiato le permutazioni e le disposizioni, e abbiamo visto che entrambe possono essere semplici oppure con ripetizione.

In tutti e quattro i casi (in realtà ce n'è un quinto, dato dalle permutazioni circolari) siamo partiti da elementi e abbiamo formato i vari raggruppamenti seguendo regole ben definite. La caratteristica comune alle permutazioni e alle disposizioni è l'ordine con cui gli elementi si susseguono in ogni raggruppamento.

Vi sono però situazioni in cui l'ordine non ha alcuna importanza: un esempio su tutti è il gioco del Lotto nella sua versione base, in cui importa sapere quali sono i numeri vincenti e non conta l'ordine con cui sono stati giocati né quello con cui sono stati estratti. In casi del genere intervengono le combinazioni, che non a caso saranno l'argomento della prossima lezione.

PS: se volete fare un po' di allenamento c'è una scheda di esercizi risolti sulle disposizioni che vi aspetta. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023