Dilatazione lineare

La dilatazione lineare è un particolare tipo di dilatazione termica che interviene sui corpi in cui la misura di una delle tre dimensioni è molto maggiore rispetto alle altre. La dilatazione lineare si calcola a partire dalla variazione di temperatura mediante il coefficiente di dilatazione lineare del materiale.

 

Nella precedente lezione abbiamo introdotto il fenomeno di dilatazione termica proponendo una panoramica sui possibili casi (lineare, superficiale e volumica) e le formule per ciascuna tipologia di dilatazione. Ora vogliamo concentrarci sul caso specifico della dilatazione termica lineare, analizzandola nel dettaglio e soffermandoci su alcuni esempi svolti utili per la risoluzione degli esercizi.

 

In particolare ripartiremo dalla formula della dilatazione lineare studiandone le caratteristiche salienti nonché le proprietà del relativo coefficiente di dilatazione.

 
 
 

Definizione e formula della dilatazione lineare

 

Per introdurre il fenomeno della dilatazione lineare partiamo da un esempio tratto dalla vita di tutti i giorni. Avrete sicuramente notato che, quando si viaggia in auto su ponti e viadotti, ci capita di passare sopra a particolari giunzioni metalliche dal profilo dentellato che si trovano tra un tratto di asfalto e l'altro. A cosa servono? Per chi non lo sapesse, tali giunzioni servono ad evitare che l'asfalto si deteriori durante la stagione estiva.

 

Quando un corpo solido si scalda, il suo volume aumenta secondo un fenomeno chiamato dilatazione termica. Sotto il sole cocente l'asfalto si scalda molto e si dilata: in fase di costruzione dei ponti le giunture metalliche vengono collocate tra un tratto e il successivo in modo da lasciare all'asfalto lo spazio necessario per espandersi liberamente, evitando che il manto stradale si rovini per la formazione di cunette. Allo stesso modo d'inverno l'asfalto è libero di contrarsi senza creare crepe.

 

La causa di tale dilatazione è da ricercarsi a livello microscopico: il calore aumenta l'agitazione delle molecole e la loro distanza media, cosicché il volume complessivo del corpo risulta aumentato.

 

Se consideriamo un corpo lungo e sottile possiamo immaginare che esso si possa espandere in un'unica direzione: parliamo allora di dilatazione lineare. È il caso ad esempio dei binari ferroviari che, a causa del calore, tendono sostanzialmente ad allungarsi, motivo per cui tra due tratti di binari consecutivi viene lasciato sempre un po' di spazio libero onde evitare deformazioni strutturali.

 

In realtà la dilatazione termica comporta sempre una variazione su ognuna delle tre dimensioni dei corpi solidi (lunghezza, larghezza e spessore). Nel caso particolare dei corpi in cui una delle tre dimensioni ha una misura molto maggiore rispetto alle altre due, però, possiamo trascurare la dilatazione su larghezza e spessore e limitarci a considerare la dilatazione lungo la direzione principale.

 

Il fenomeno di dilatazione lineare è quindi un caso particolare di dilatazione termica in cui la misura di due dimensioni su tre varia in modo trascurabile rispetto alla dimensione maggiore. Esso riguarda, ad esempio, corpi quali fili metallici e sbarre.

 

Formula della dilatazione lineare

 

La relazione della dilatazione lineare permette di calcolare la variazione di lunghezza di un corpo sottoposto ad una differenza di temperatura \Delta T

 

\Delta L=\alpha L_0\Delta T

 

dove con \Delta L indichiamo l'allungamento/accorciamento del corpo, con L_0 la lunghezza iniziale alla temperatura T_0 e con \alpha il coefficiente di dilatazione lineare, che dipende dal materiale considerato.

 

Entrambe le variazioni vanno calcolate a partire dallo stato iniziale del corpo: la differenza \Delta T è la differenza tra la temperatura finale e la temperatura iniziale, mentre \Delta L è la differenza tra la lunghezza alla temperatura finale e la lunghezza alla temperatura iniziale. A questo proposito può essere utile espandere la formula scrivendo il simbolo del delta come la differenza tra il valore finale e quello iniziale della grandezza che segue.

 

L-L_0=\alpha L_0(T-T_0)

 

In particolare il coefficiente di dilatazione lineare è costante per ciascun materiale e viene determinato sperimentalmente. Ricordiamoci inoltre che la differenza di temperatura \Delta T può essere espressa indifferentemente in gradi celsius o in kelvin, in accordo con quanto abbiamo visto nello studio delle scale termometriche.

 

Esempi ed esercizi sulla dilatazione lineare

 

Vediamo in paio di esempi svolti utili per impostare correttamente gli esercizi.

 

 

1) Abbiamo una sbarra sottile di alluminio (il cui coefficiente di dilatazione lineare è \alpha=24\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1}) inizialmente ad una temperatura di 18 °C e lunga 2,3 metri. La sbarra viene scaldata fino alla temperatura di 260 °C. Di quanto si allunga?

 

Svolgimento: dobbiamo calcolare la variazione di lunghezza \Delta L della sbarra

 

\Delta L=\alpha L_0(T - T_0)=\\ \\ =(26\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1})\cdot (2,3\mbox{ m})\cdot(260\ ^\circ\mbox{C}-18\ ^\circ\mbox{C})\simeq 0,013\mbox{ m}

 

Come vedete la variazione è piuttosto piccola. Per sapere di quanto si allungata la sbarra in percentuale rispetto alla sua lunghezza originaria:

 

\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{0,013\mbox{ m}}{2,3\mbox{ m}}\simeq 5,6 \cdot 10^{-3}=0,56\%

 

 

2) Vediamo un altro esempio. Una sbarra di acciaio (coefficiente di dilatazione lineare \alpha=12\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1}) raggiunge una lunghezza di 4,2 metri quando la sua temperatura aumenta di 320 °C. Determinare la lunghezza iniziale.

 

Svolgimento: dobbiamo calcolare L_0, per cui impostiamo la formula della dilatazione lineare in modo da ricavarne la formula inversa

 

L-L_0=\alpha L_0\Delta T

 

Invertiamo la formula per trovare L_0

 

\\ L=L_0+\alpha L_0\Delta T\\ \\  L = L_0(1+\alpha \Delta T)\\ \\ L_0=\frac{L}{1+\alpha \Delta T}=\frac{4,2\mbox{ m}}{1 + (12 \cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1})\cdot(320 ^\circ\mbox{C})}\simeq 4,18\mbox{ m}

 

Tabella dei coefficienti di dilatazione lineare

 

Riportiamo qui di seguito i valori dei coefficienti di dilatazione lineare dei materiali più diffusi negli esercizi e nelle applicazioni.

 

 

Materiale

Coefficiente di dilatazione lineare α (x 10-6)

Acciaio

12

Alluminio

24

Argento

19

Ferro

12

Ghisa

10,7

Nichel

13

Oro

14,32

Ottone

19

Piombo

29

Platino

9

Rame

17

Silicio

3

Tungsteno

5

Vetro

8

 

 


 

Nella lezione successiva proseguiremo con l'approfondimento sulla dilatazione termica analizzando il caso più ricorrente negli esercizi e nelle applicazioni: la dilatazione volumica. Nel frattempo non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio; potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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