Dilatazione volumica

La dilatazione volumica, detta anche dilatazione cubica, è il caso più generale del fenomeno di dilatazione termica dei corpi solidi. La dilatazione volumica consiste in una variazione delle misure delle tre dimensioni di un corpo a seguito di una variazione di temperatura.

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo trattato il fenomeno di dilatazione termica e abbiamo spiegato in termini generali in cosa consiste, dopodiché ne abbiamo proposto una classificazione distinguendo tra dilatazione lineare, dilatazione superficiale e dilatazione volumica.

 

Qui di seguito vogliamo soffermarci sul terzo caso. Nella fattispecie riproporremo la formula della dilatazione volumica per poi applicarla in un esempio svolto, utile come riferimento per l'impostazione degli esercizi. Da ultimo vi proporremo una dimostrazione della formula della dilatazione cubica a partire da quella lineare.

 

Definizione e formula della dilatazione volumica

 

Ormai sappiamo bene che un corpo soggetto a una variazione di temperatura modifica il proprio volume; più precisamente un aumento o una diminuzione della temperatura comportano una variazione della misura di ognuna delle tre dimensioni del corpo.

 

Nella lezione precedente abbiamo considerato solo corpi sottili, immaginando che ci fosse una dimensione molto maggiore delle altre due e che essa fosse l'unica a risentire della dilatazione termica. Abbiamo così scritto la relazione che regola il fenomeno della dilatazione lineare:

 

 \Delta L = L_{0} \alpha \Delta T

 

secondo la quale l'allungamento/accorciamento \Delta L è pari al prodotto tra la lunghezza iniziale L_0, il coefficiente di dilatazione lineare \alpha e la variazione di temperatura \Delta T.

 

Considerare però l'allungamento in una sola direzione di un corpo tridimensionale è un'approssimazione della realtà. Il fatto è che, nel caso lineare, si manifesta una dilatazione lungo ognuna delle tre dimensioni, solo che le variazioni delle misure di larghezza e spessore sono trascurabili rispetto alla dilatazione lungo la dimensione principale. Si pensi, ad esempio, alla dilatazione di un filo o di una sbarra metallica.

 

In generale è più corretto approcciare il problema parlando di dilatazione volumica: in altri termini, anche se si può parlare di dilatazione lineare o di dilatazione superficiale, qualsiasi fenomeno di dilatazione termica non è altro che una dilatazione volumica. I casi lineare e superficiale non sono altro che esemplificazioni teoriche trattate come casi particolari della dilatazione volumica.

 

La formula della dilatazione volumica è del tutto analoga nella struttura a quella della dilatazione lineare: basta sostitutire le lunghezze con i volumi

 

\Delta V=V_0\beta\Delta T

 

Tale relazione può essere riscritta esplicitando i simboli del delta

 

V-V_0=V_0\beta(T-T_0)

 

da cui ricaviamo la legge per il volume finale

 

V=V_0(1+\beta\Delta T)

 

dove \Delta V è la variazione di volume calcolata come differenza tra il volume alla temperatura finale V e il volume alla temperatura iniziale V_0; \Delta T è la differenza tra la temperatura finale T e la temperatura iniziale T_0; \beta è il coefficiente di dilatazione volumica.

 

In modo analogo rispetto ad \alpha, anche il coefficiente \beta dipende dal materiale e viene determinato sperimentalmente. Esiste inoltre una semplicissima relazione tra i coefficienti di dilatazione lineare e volumica

 

\beta=3\alpha

 

Ad esempio, se ci servisse sapere qual è il coefficiente di dilatazione volumica del rame potremmo semplicemente considerare il valore del coefficiente di dilatazione lineare (\alpha=17\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1})
e moltiplicarlo per 3. Ecco perché spesso i libri riportano la tabella dei valori del coefficiente di dilatazione lineare per diversi materiali, ma non i rispettivi coefficienti di dilatazione volumica.

 

Esempio sulla dilatazione volumica

 

Vediamo un esempio: una sfera di ottone \left(\alpha=19\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}^{-1}\right) aumenta il proprio volume dello 0,1%. Di quanto è variata la temperatura?

 

Svolgimento: possiamo scrivere la variazione percentuale di volume nel modo seguente

 

\frac{\Delta V}{V_0}=0,1\%=0,001\ \ \to\ \ \Delta V=0,001V_0

 

Sostituiamolo nella legge della dilatazione volumica:

 

\Delta V=V_0\beta\Delta T\ \ \to\ \ 0,001V_0=V_0\beta\Delta T

 

Semplifichiamo V_0 dal momento che compare ad ambo i membri e scriviamo \beta come 3\alpha:

 

0,001=3\alpha\Delta T

 

e ricaviamo la differerenza di temperatura \Delta T:

 

\Delta T=\frac{0,001}{3\alpha}=\frac{0,001}{3\cdot 19\cdot 10^{-6}\ ^\circ\mbox{C}}\simeq 17,5\ ^\circ\mbox{C}

 

Dimostrazione della formula della dilatazione volumica

 

È possibile dimostrare la formula della dilatazione volumica a partire da quella della dilatazione lineare: vediamo come. Ricaviamo la lunghezza finale L dalla formula della dilatazione lineare:

 

L=L_0(1+\alpha\Delta T)

 

Consideriamo un corpo qualsiasi e immaginiamo di scomporlo in elementi infinitesimi a forma di cubo. Ogni lato del cubo è soggetto alla legge appena scritta, pertanto il volume finale è dato da:

 

L^3=L_0^3(1+\alpha\Delta T)^3

 

Sviluppiamo il cubo di binomio:

 

L^3=L_0^3(1+3\alpha\Delta T+3\alpha^2(\Delta T)^2+\alpha^3(\Delta T)^3)

 

Tenendo a mente che i coefficienti di dilatazione lineare hanno un ordine di grandezza pari a 10^{-5}-10^{-6}, a meno di considerare variazioni di temperatura molto elevate il termine \alpha\Delta T è una quantità molto piccola e minore di 1. Conseguentemente i termini \alpha^2(\Delta T)^2 e \alpha^3(\Delta T)^3 sono ancor più piccoli e possono essere trascurati.

 

L^3\simeq L_0^3(1+3\alpha\Delta T)\ \ \ (\bullet)

 

D'altra parte L^3 corrisponde al volume finale e L_0^3 al volume iniziale. Poniamo quindi \beta:=3\alpha e arriviamo alla formula per la dilatazione volumica:

 

V\simeq V_0(1+\beta\Delta T)

 

Attenzione perché la formula scritta in (\bullet) è frutto di un'approssimazione. Ciononostante essa viene considerata e proposta come formula esatta perché, pur non rappresentando un'uguaglianza dal punto di vista teorico, le quantità tralasciate non hanno alcuna rilevanza in termini quantitativi. Scriveremo quindi

 

V=V_0(1+\beta\Delta T)\ \ \ \mbox{con }\beta=3\alpha

 

Tabella dei coefficienti di dilatazione volumica

 

Riportiamo qui di seguito la tabella dei valori dei coefficienti di dilatazione volumica dei materiali più diffusi negli esercizi e nelle applicazioni.

 

 

Materiale

Coefficiente di dilatazione volumica β (x 10-6)

Acciaio

36

Alluminio

72

Argento

57

Ferro

36

Ghisa

32,1

Nichel

39

Oro

42,96

Ottone

57

Piombo

87

Platino

27

Rame

51

Silicio

9

Tungsteno

15

Vetro

24

 

 


 

Abbiamo finito: se siete in cerca di esercizi svolti non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati dallo Staff. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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