Legge di Fourier

La legge di Fourier permette di calcolare la quantità di calore trasmessa per conduzione in un corpo. Nel caso più semplice di conduzione lineare e sezione del solido costante, stabilisce che il calore trasferito nell'unità di tempo è dato dal prodotto tra la conducibilità termica del materiale, l'area della superficie e la differenza di temperatura, il tutto fratto per lo spessore del solido.

 

Dopo aver studiato in termini generali la conduzione del calore - il primo dei tre modi con cui può manifestarsi un trasferimento di calore nella materia - siamo pronti per formalizzare il discorso. Tra un attimo vedremo qual è la legge fisica che permette di calcolare la quantità di calore trasmessa in un corpo a fronte di una differenza di temperatura. Parleremo, in sintesi, dell'equazione di Fourier per la conduzione termica.

 

Poiché la legge di Fourier può essere estremamente complicata nella sua formulazione generale, in quanto prevede di utilizzare strumenti matematici piuttosto avanzati, ragioneremo nel caso più semplice possibile. Supporremo che il flusso di calore avvenga lungo una specifica direzione di un solido, e che non sussista alcuna dispersione lungo le altre dimensioni. Cominciamo... ;)

 

Legge di Fourier per la conduzione del calore

 

La legge di Fourier consiste in un'equazione che permette di calcolare la quantità di calore che viene trasferita per conduzione in un corpo. Per capire di cosa si tratta e come essa consente di studiare la propagazione del calore in un solido, ragioniamo per semplicità nel caso di un flusso di calore lineare lungo una specifica direzione.

 

Consideriamo una lastra di un certo materiale e supponiamo che essa presenti due diverse temperature sulle sue superfici di maggiore estensione, come in figura. Per semplificare le cose immaginiamo che la lastra sia isolata termicamente sulle altre facce, in modo che non vi siano dispersioni di calore.

 

 

Legge di Fourier per il calore

Legge di Fourier: propagazione del calore attraverso una lastra.

 

 

La lastra in figura potrebbe essere, ad esempio, il vetro di una finestra che separa l'ambiente interno da quello esterno. Poiché tra le due superfici in questione sussiste una differenza di temperatura, non siamo in una condizione di equilibrio termico e di conseguenza si manifesterà un passaggio di calore dalla superficie a temperatura più elevata verso quella a temperatura più bassa.

 

Indichiamo con A l'area delle due superfici, con L il suo spessore, con \Delta T la differenza di temperatura tra le due superfici, con k la conducibilità termica del materiale e con \Delta t un dato intervallo di tempo.

 

Il calore che si propaga per conduzione attraverso la lastra dalla superficie a temperatura più elevata T_1 a quella con temperatura più bassa T_2 nel lasso di tempo \Delta t si calcola con la formula della legge di Fourier, che si presenta nella forma:

 

 Q = -kA \frac{\Delta T}{L} \Delta t\\ \\ \mbox{dove }\Delta T=T_2-T_1<0,\ \ T_1>T_2

 

o, se preferite

 

 Q = kA \frac{\Delta T}{L} \Delta t\\ \\ \mbox{dove }\Delta T=T_1-T_2>0,\ \ T_1>T_2

 

Tra un istante avremo modo di parlare del segno meno presente nella prima variante della formula, ma prima scriviamo tutte le possibili formule inverse dall'equazione di Fourier nella seconda variante:

 

 k = \frac{Q L}{A \Delta T \Delta t}\ \ ;\ \ A = \frac{Q L}{k \Delta T \Delta t}\\ \\ \\ \Delta T = \frac{Q L}{k A \Delta t} \ \ ;\ \ \Delta t = \frac{Q L}{k A \Delta T} \\ \\ \\ L = \frac{k A \Delta T \Delta t}{Q}

 

Significato della legge di Fourier

 

L'equazione di Fourier stabilisce che il calore è direttamente proporzionale alla conducibilità termica, come è logico che sia, infatti un materiale che ha un'elevata conducibilità termica è in grado di scambiare una maggiore quantità di calore, a parità di tutte le altre condizioni. Il calore è inoltre direttamente proporzionale anche alla differenza di temperatura tra le due superfici, oltre che all'estensione e all'intervallo di tempo.

 

Q\propto k, A, \Delta T, \Delta t

 

Al contrario, la quantità di calore è inversamente proporzionale allo spessore: a parità di tutte le altre condizioni, in una lastra più spessa si propaga una quantità di calore inferiore rispetto a quello che verrebbe condotto in una lastra più sottile.

 

Q\propto \frac{1}{L}

 

Mettendo insieme le precedenti osservazioni si capisce, ad esempio, che per ridurre al minimo la dispersione di calore attraverso una finestra dovremmo scegliere un tipo di vetro con il minimo valore di conducibilità termica possibile, ridurre al minimo la sua superficie e usare una lastra di vetro piuttosto spessa.

 

 

Segno meno nella legge di Fourier

 

Il segno meno che compare nella legge di Fourier ha una semplice interpretazione: il flusso di calore avviene nel verso in cui la temperatura diminuisce.

 

Se si pensa alla formula da un punto di vista infinitesimo, e dunque con variazioni infinitesime di temperatura dT lungo tratti infinitesimi di spessore dL, si ha che:

 

 dQ = -kA \frac{dT}{dL} \Delta t

 

dove il rapporto \frac{dT}{dL}, detto gradiente di temperatura (o gradiente termico), ci dice come varia la temperatura quando ci si muove lungo lo spessore dL.

 

Consideriamo i due possibili casi:

 

- lungo il tratto dL la temperatura cresce, allora dT>0 e il gradiente è positivo

 

T_1<T_2,\ \ \ dL:\ T_1\to T_2 \ \Rightarrow\ \frac{dT}{dL}>0

 

- lungo dL la temperatura diminuisce, allora dT<0 e il gradiente è negativo

 

T_1>T_2,\ \ \ dL:\ T_1\to T_2 \ \Rightarrow\ \frac{dT}{dL}<0

 

Il caso che ci interessa è proprio il secondo perché il calore viene condotto nel verso in cui la temperatura diminuisce, vale a dire quando il gradiente è negativo. Si vede quindi che il segno meno serve a far quadrare l'equazione di Fourier, permettendoci di determinare un valore positivo per il calore.

 

In termini puramente pratici, se negli esercizi siamo interessati solamente ai valori numerici e non al verso con cui avviene la conduzione del calore, possiamo considerare la variazione di temperatura \Delta T in valore assoluto e trascurare il meno della formula.

 

 

Legge di Fourier e calore per unità di tempo

 

Riprendiamo la formula scritta in precedenza, riscriviamola nella forma

 

\frac{Q}{\Delta t} = -kA \frac{\Delta T}{L}

 

e concentriamoci sul termine a primo membro. La grandezza

 

q=\frac{Q}{\Delta t}

 

ha il significato fisico di calore per unità di tempo; con riferimento all'unità di misura si vede che essa si esprime in joule al secondo, o equivalentemente in watt

 

q\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{s}}=\mbox{W}

 

In altri termini q corrisponde dimensionalmente alla potenza.

 

 

Esempio sulla legge di Fourier - Propagazione del calore attraverso una finestra

 

Vediamo esempio pratico dove è possibile applicare la legge di conduzione del calore. Una finestra rettangolare di dimensioni 50 e 90 centimetri è costituita da una lastra di vetro di conducibilità termica pari a 1 W/(m·K) di spessore 0,8 cm. Quanto calore viene dissipato all'esterno in un'ora, quando d'inverno la temperatura interna è di 20 °C mente quella esterna e -3 °C?

 

Svolgimento: abbiamo tutti i dati che ci servono per applicare la legge di Fourier. Trascuriamo il segno meno, ricordiamoci di trasformare tutte le lunghezze in metri e calcoliamo l'area del rettangolo come prodotto della base per l'altezza

 

A =(0,50\ \mbox{m})\cdot (0,90\ \mbox{m}) = 0,45\ \mbox{m}^2\\ \\ \\ Q = kA \frac{\Delta T}{L} \Delta t = \\ \\ \\ =\left(1\ \frac{\mbox{W}}{\mbox{m}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (0,45\mbox{ m}^2) \cdot \frac{23 \mbox{ K}}{8 \cdot 10^{-3} \mbox{ m}} \cdot (3600 \ s) = 4,66 \cdot 10^6\mbox{ J}

 

Legge di Fourier e regime stazionario

 

Un caso estremamente interessante nelle applicazioni dell'equazione di Fourier riguarda le situazioni di regime stazionario, vale a dire la condizione in cui il flusso di calore attraverso un corpo è costante.

 

Nel caso di una lastra la condizione di regime stazionario si ottiene mantenendo costanti le due temperature sulle superfici: in questo modo ogni punto della lastra raggiunge una propria temperatura costante nel tempo, e tutto il calore che entra nella lastra è uguale a quello che esce.

 

Immaginiamo ora di avere due lastre che dividono due ambienti a diverse temperature: mettiamole a contatto e supponiamo di trovarci in regime stazionario. Ciò significa che il calore scambiato dalla prima lastra (Q_1) deve essere uguale a quello scambiato dalla seconda (Q_2). Se così non fosse una parte del calore verrebbe assorbita da una delle due lastre con conseguente variazione della temperatura nei suoi punti, in contraddizione con la definizione di regime stazionario.

 

Vediamo un esempio. Abbiamo due lastre a contatto, ognuna con il proprio valore di conducibilità termica e col proprio spessore. A sinistra della prima lastra si trova l'ambiente a temperatura più alta T_1, mentre a destra della seconda si trova l'ambiente alla temperatura più bassa T_2. Vogliamo calcolare la temperatura T che si ha sulla superficie di contatto tra le due lastre, in regime stazionario.

 

 

Legge di Fourier - Regime stazionario

Esempio: equazione di Fourier e regime stazionario.

 

 

Poiché ci troviamo in regime stazionario, tutto il calore scambiato dalla prima lastra deve essere ceduto interamente alla seconda. Possiamo allora scrivere la seguente equazione:

 

 Q_{1} = Q_{2}

 

Usiamo la legge di Fourier per esplicitare i due membri. Attenzione alle differenze di temperatura: in entrambi i casi calcoliamo la differenza tra la temperatura più alta e quella più bassa, in modo da ottenere variazioni positive

 

k_{1}A \frac{T_{1} - T}{L_{1}} \Delta t = k_{2}A \frac{T - T_{2}}{L_{2}} \Delta t

 

Siamo interessati alla temperatura T sulla superficie di contatto, quindi semplifichiamo A,\Delta t e sviluppiamo i prodotti

 

k_{1} \frac{T_{1} - T}{L_{1}} = k_{2} \frac{T - T_{2}}{L_{2}} \\ \\  k_{1} L_{2} (T_{1} - T) = k_{2} L_{1} (T - T_{2}) \\ \\  k_{1} L_{2} T_{1} - k_{1} L_{2} T = k_{2} L_{1} T - k_{2} L_{1}T_{2}

 

Isoliamo i termini in T a sinistra dell'uguale

 

 k_{2} L_{1} T + k_{1} L_{2} T = k_{1} L_{2} T_{1} + k_{2} L_{1}T_{2}

 

e raccogliamo a fattore comune

 

 T(k_{2} L_{1} + k_{1} L_{2}) = k_{1} L_{2} T_{1} + k_{2} L_{1}T_{2}

 

da cui

 

 T = \frac{ k_{1} L_{2} T_{1} + k_{2} L_{1}T_{2}}{ k_{2} L_{1} + k_{1} L_{2}}

 

Come ci è capitato di vedere in altri contesti, quello che si ottiene è una media ponderata delle due temperature esterne alle lastre.

 

 


 

Non perdetevi le prossime puntate! :) Nel seguito studieremo i due ulteriori modi, oltre alla conduzione, con cui viene trasmesso il calore: convezione e irraggiamento

 

Se siete in cerca di esercizi risolti, o più in generale per dubbi o approfondimenti, non esitate: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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