Legge di Boyle

La legge di Boyle riguarda i gas ideali soggetti a trasformazioni isoterme, e in particolare descrive la relazione tra pressione e volume di un gas perfetto quando subisce una trasformazione a temperatura costante.

 

Ricordate il vecchio e caro corso di Idrostatica e Fluidodinamica? Bene: torniamo a parlare di fluidi e nella fattispecie di gas. Con questa lezione iniziamo lo studio dei gas da un punto di vista termodinamico e cominciamo con una delle tantissime leggi che ne regolano il comportamento: la legge di Boyle.

 

Oltre all'enunciato e alla formula della legge di Boyle, ne elencheremo le formule inverse mostrando come usarle nei relativi esercizi. Ci soffermeremo quindi sulla sua interpretazione fisico-matematica e vedremo come applicarla in un esempio risolto.

 

La legge di Boyle per le trasformazioni isoterme

 

La legge di Boyle permette di studiare il comportamento dei gas ideali, e più precisamente come variano gli stati termodinamici di pressione e volume quando il gas è sottoposto a una trasformazione isoterma, ossia una trasformazione a temperatura costante.

 

Consideriamo un gas caratterizzato da una temperatura T, una pressione p e un volume V. Ci domandiamo: se manteniamo costante la temperatura del gas e proviamo a modificare uno tra i valori di pressione e volume, cosa succede all'altra variabile di stato?

 

Per avere un riferimento concreto possiamo pensare al seguente esperimento. Inseriamo un gas in un contenitore e ne manteniamo la temperatura costante mettendo il contenitore a contatto con una sorgente di calore a temperatura fissa, come potrebbe essere un flusso continuo di acqua corrente. Successivamente modifichiamo il volume del gas ampliando il volume del recipiente, per esempio per mezzo di un pistone.

 

La legge di Boyle ci dice esattamente cosa succede in casi del genere, e spiega come cambiano pressione e volume nel corso di una trasformazione di un gas ideale a temperatura costante. Essa stabilisce che in una trasformazione isoterma il prodotto tra pressione e volume è costante, il che si traduce nella semplice formula della legge di Boyle

 

T\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ pV=\mbox{costante}

 

In altri termini, il prodotto della pressione per il volume non cambia se la temperatura del gas rimane costante durante la trasformazione.

 

Un modo del tutto equivalente per esprimere questo comportamento prevede di descrivere il gas secondo uno stato termodinamico iniziale e finale. Se il gas si trova inizialmente a una pressione p_1 e a un volume V_1, e subisce una trasformazione isoterma (a temperatura costante) che lo porta a uno stato finale con pressione p_2 e volume V_2, possiamo scrivere:

 

T_1=T_2\ \Rightarrow\ p_1V_1=p_2V_2

 

Questa variante della formula è quella più utile nella risoluzione degli esercizi, in cui ad esempio disponiamo di tre delle quattro grandezze e dobbiamo determinare la quarta. Ci basterà ricavare un'opportuna formula inversa della legge di Boyle e applicarla per determinare il valore incognito

 

p_1=\frac{p_2V_2}{V_1}\ \ \ ;\ \ \ V_1=\frac{p_2V_2}{p_1}\\ \\ \\ p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}\ \ \ ;\ \ \ V_2=\frac{p_1V_1}{p_2}

 

Significato fisico-matematico e implicazioni della legge di Boyle

 

L'interpretazione della legge di Boyle è piuttosto semplice. Essa stabilisce che, in una trasformazione isoterma di un gas ideale, pressione e volume sono due grandezze inversamente proporzionali. Questo ci dice, ad esempio, che se la pressione raddoppia allora il volume si dimezza, cosicché il prodotto delle due grandezze dà sempre lo stesso risultato rispetto allo stato iniziale.

 

Per avere una rappresentazione diretta della relazione descritta dalla legge di Boyle possiamo servirci del piano di Clapeyron, vale a dire un piano cartesiano in cui si riportano i valori di pressione sull'asse delle ordinate e i valori di volume sull'asse delle ascisse. In questo modo è facile individuare l'andamento della pressione in funzione del volume nelle trasformazioni isoterme.

 

Se si confronta l'equazione di Boyle con l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

 

pV=\mbox{costante}\\ \\ xy=k\ \ \mbox{con }k\mbox{ costante}

 

si capisce subito che il grafico della funzione p=p(V) in una trasformazione isoterma è dato da un ramo di iperbole equilatera a coordinate positive

 

 

Grafico legge di Boyle

Legge di Boyle nel piano di Clapeyron:
pV=k, con k costante.

 

 

In effetti quello che abbiamo appena disegnato è il grafico tipico della relazione di proporzionalità inversa tra due grandezze; poiché in una trasformazione isoterma pressione e volume sono inversamente proporzionali, è evidente che si debba ottenere un ramo di iperbole equilatera quando rappresentiamo la pressione in funzione del volume.

 

Osserviamo inoltre che, se effettuiamo su un gas una trasformazione isoterma da uno stato A a uno stato B, possiamo determinare il valore della costante k partendo dai valori iniziali di volume e pressione (V_A,p_A)

 

k=p_AV_A

 

Così facendo potremo rappresentare la curva pV=k sul piano di Clapeyron, e sapremo automaticamente che:

 

- il punto (V_B,p_B) dello stato finale deve appartenere al grafico;

 

- nel corso della trasformazione il gas attraverserà tutti gli stati intermedi tra A e B, rappresentati dai punti del tratto di iperbole che congiunge A con B.

 

Esempio sulla legge di Boyle

 

Vediamo un esercizio di applicazione della legge di Boyle. Un gas ideale monoatomico a pressione p_1=1,4\mbox{ atm} e volume V_1=0,8\mbox{ m}^3 viene sottoposto a una trasformazione isoterma, che porta il volume al valore V_2=1,2\mbox{ m}^3. Qual è la pressione del gas allo stato finale?

 

Svolgimento: usiamo la legge di Boyle nella forma

 

p_1V_1=p_2V_2

 

e sfruttiamo una delle sue formule inverse per ricavare la pressione p_2

 

p_2=p_1\cdot \frac{V_1}{V_2} = \\ \\ =(1,4\mbox{ atm}) \cdot \frac{0,8\mbox{ m}^3}{1,2\mbox{ m}^3}\simeq 0,93\mbox{ atm}

 

Vi facciamo notare due aspetti che potrebbero essere passati sotto traccia, nell'esempio e più in generale nel corso della spiegazione.

 

Il primo, e più banale, è che nell'equazione non abbiamo dovuto convertire l'unità di misura della pressione da atmosfere a pascal. Nel risultato abbiamo conservato la stessa unità di misura di cui disponevamo per il dato di pressione fornito dal problema. L'importante è che tutte le unità di misura siano concordi, cioè che tutte le pressioni e tutti i volumi abbiamo le medesime unità di misura. In ogni caso, se vogliamo evitare problemi, conviene convertire tutti i dati nelle unità di misura di riferimento del Sistema Internazionale, vale a dire i pascal per le pressioni e i metri cubi per i volumi.

 

Il secondo aspetto riguarda la temperatura. Per applicare la legge di Boyle e risolvere i relativi esercizi non è necessario conoscere il valore di temperatura comune allo stato iniziale e a quello finale; ci basta sapere che la trasformazione cui è soggetto il gas è isoterma, ossia che la temperatura è costante.

 

 


 

Ci vediamo nelle prossime lezioni! :) Proseguiremo lo studio dei gas e il loro comportamento termodinamico quando sono soggetti a trasformazioni, enunciando le leggi di Gay-Lussac. Se siete in cerca di esercizi svolti ricordate che qui su YM c'è tutto quello che vi serve, e che potete trovare ogni tipo di esercizio/approfondimento con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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