Prima legge di Gay-Lussac

La prima legge di Gay-Lussac descrive il comportamento dei gas ideali soggetti a trasformazioni isobare, e stabilisce che la relazione tra temperatura e volume per i gas sottoposti a trasformazioni a pressione costante è lineare. Nella formula intervengono, col ruolo di parametri, il volume del gas a 0 °C e il coefficiente di dilatazione termica dei gas.

 

Con la legge di Boyle abbiamo ufficialmente aperto le danze dello studio dei gas dal punto di vista termodinamico. Poiché le grandezze che descrivono lo stato termodinamico sono tre - pressionevolume e temperatura - siamo interessati a capire cosa succede se sottoponiamo un gas a una trasformazione in cui una di tali grandezze rimane costante. Il caso delle trasformazioni isoterme è competenza di Boyle; le isobare e le isocore, invece, vengono descritte dalle leggi di Gay-Lussac.

 

La prima legge di Gay-Lussac sarà la protagonista di questa lezione. Come di consueto vedremo la relativa formula, commentandola nel dettaglio, dopodiché ci occuperemo delle questioni pratiche mostrando come utilizzarla nella risoluzione degli esercizi.

 

Le leggi di Gay-Lussac

 

Nella legge di Boyle abbiamo considerato un qualsiasi gas ideale soggetto a una trasformazione isoterma, in cui possono variare solo due delle tre variabili di stato che descrivono il gas: la pressione e il volume. La temperatura invece rimane costante.

 

D'altra parte è possibile esercitare una trasformazione di un gas mantenendo costante un'altra grandezza tra pressione e volume, e lasciare la temperatura libera di variare:

 

- se manteniamo costante la pressione, il gas subisce una trasformazione isobara;

 

- se manteniamo costante il volume, il gas subisce una trasformazione isocora.

 

Le leggi di Gay-Lussac si occupano proprio di descrivere il comportamento dei gas in corrispondenza di tali trasformazioni, e in particolare:

 

- la prima legge di Gay-Lussac descrive la relazione tra volume e temperatura quando si mantiene costante la pressione (trasformazioni isobare);

 

- la seconda legge di Gay-Lussac individua il legame tra pressione e temperatura quando si mantiene costante il volume (trasformazioni isocore)

 

Per evitare di mettere troppa carne sul fuoco enunciamo le due leggi separatamente: della prima ci occupiamo qui di seguito, della seconda nella successiva lezione. ;)

 

La prima legge di Gay-Lussac per le trasformazioni isobare

 

Immaginiamo di effettuare una trasformazione termodinamica di un gas perfetto in cui manteniamo costante la pressione: stiamo compiendo una trasfomazione isobara. Per ricordarvi il termine isobara e associarlo alla trasformazione in cui ciò che non cambia è la pressione, potete aiutarvi con un piccolo trucchetto e pensare al fatto che una delle unità di misura della pressione è il bar. Quella che viene usata per il gonfiaggio degli pneumatici, per intenderci.

 

Per enunciare (e comprendere) la legge di Gay-Lussac possiamo immaginare di effettuare un semplice esperimento. Realizziamo una trasformazione isobara ponendo un gas all'interno di un contenitore con una parete mobile, in modo che esso abbia la possibilità di espandersi, e mantenendo in ogni istante l'equilibrio tra la pressione interna del gas e quella dell'ambiente esterno.

 

Come si rappresenta una trasformazione isobara nel piano di Clapeyron, in cui i valori di volume vengono riportati sull'asse x e quelli di pressione sull'asse y? Poiché la pressione è costante, una trasformazione isobara tra gli stati A=(V_A,p_A) e B=(V_B,p_B) è caratterizzata dalla proprietà

 

p=p_A=p_B=\mbox{costante}

 

In perfetta analogia con le rette orizzontali nel piano cartesiano, aventi equazione della forma

 

y=k\ \ \mbox{con }k\mbox{ costante}

 

si capisce subito che il grafico di un'isobara è dato da un segmento orizzontale

 

 

Prima legge di Gay-Lussac, trasformazione isobara e piano di Clapeyron

Trasformazione isobara nel piano di Clapeyron.

 

 

La prima legge di Gay-Lussac stabilisce che, in un gas ideale soggetto a una trasformazione isobara, la relazione V=V(t) tra volume e temperatura è di tipo lineare, e più precisamente che il volume dipende dalla temperatura secondo l'equazione

 

V=V_0(1+ \alpha t)

 

Attenzione ai termini che compaiono nella formula della prima legge di Gay-Lussac

 

- t indica la temperatura espressa in gradi Celsius;

 

- V_0 è il volume che il gas occupa quando la sua temperatura è uguale a 0 °C;

 

- V è il volume occupato dal gas quando la sua temperatura è uguale a t;

 

- \alpha è una costante uguale per tutti i gas, detta coefficiente di dilatazione termica.

 

L'equazione della prima legge di Gay-Lussac ci dice che il volume varia linearmente al variare della temperatura. Per capirlo dimentichiamoci del piano di Clapeyron V,p e consideriamo il piano temperatura-volume t,V.

 

Riscriviamo la formula come

 

V=V_0\alpha t+V_0

 

Se la confrontiamo con la generica equazione della retta in forma esplicita

 

y=mx+q

 

vediamo subito che il grafico della funzione V=V(t) è la retta avente coefficiente angolare m=V_0\alpha e intercetta q=V_0.

 

 

Prima legge di Gay-Lussac

Prima legge di Gay-Lussac nel piano t,V.

 

 

In sintesi, la prima legge di Gay-Lussac stabilisce che in una trasformazione a pressione costante la dipendenza del volume dalla temperatura è descritta da una retta nel piano t,V, avente inclinazione pari al prodotto tra la costante di dilatazione termica e il volume del gas a 0 °C, e tale da intersecare l'asse y in corrispondenza del volume del gas a 0 °C.

 

Prima legge di Gay-Lussac e costante di dilatazione termica dei gas

 

Abbiamo detto che la costante di dilatazione termica \alpha che compare nella prima legge di Gay-Lussac assume lo stesso valore per qualunque tipo di gas. Tale valore è

 

\alpha=\frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}}

 

ed è piuttosto semplice da ricordare, perché a denominatore compare proprio il numero che ci permette di passare da gradi Celsius a kelvin e viceversa.

 

Il nome della costante \alpha si deve al fatto che, come probabilmente vi sarete accorti sin da subito, la prima legge di Gay-Lussac ha la stessa identica formulazione che abbiamo visto per la dilatazione volumica dei solidi, e in cui il coefficiente \alpha era proprio il coefficiente di dilatazione volumica.

 

La differenza sta nel fatto che, mentre per i solidi il coefficiente di dilatazione volumica \alpha varia a seconda del materiale, per i gas il coefficiente di dilatazione termica mantiene sempre lo stesso valore.

 

Esempio sulla prima legge di Gay-Lussac

 

Vediamo un esercizio di applicazione: vogliamo calcolare il volume di un gas quando la sua temperatura è 120 °C, sapendo che il volume a 0 °C è 0,85 m3:

 

V = V_0(1+ \alpha t)=\\ \\ =(0,85\mbox{ m}^3) \left[ 1 + \frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}} \cdot (120\ ^{\circ}\mbox{C}) \right] \simeq 1,2\mbox{ m}^3

 

Prima legge di Gay-Lussac con temperatura in kelvin

 

Nella formulazione della prima legge di Gay-Lussac che abbiamo scritto finora la temperatura va espressa in gradi Celsius, ed è per questo che l'abbiamo indicata con la t minuscola. Ciò può apparire strano, visto che normalmente si utilizzano i kelvin così come previsto dal Sistema Internazionale.

 

Nulla ci vieta di riscrivere l'equazione in modo da poter utilizzare le temperature T in kelvin. Ripartiamo dalla formula così come l'abbiamo presentata

 

V=V_0(1+ \alpha t)

 

e raccogliamo il coefficiente \alpha

 

V=V_0\alpha\left(\frac{1}{\alpha}+t\right)

 

Se consideriamo solo la coppia di parentesi che abbiamo ricavato e sostituiamo ad \alpha il suo valore numerico, otteniamo:

 

\frac{1}{\alpha} + t = \frac{1}{ \frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}}} + t = 273,15\ ^{\circ}\mbox{C} + t = T

 

cosicché la somma tra parentesi non è altro che l'espressione per convertire i gradi Celsius in kelvin. Possiamo dunque scrivere la prima legge di Gay-Lussac per temperature espresse in kelvin, che ha la forma più compatta:

 

V=V_0\alpha T

 

Valgono considerazioni grafiche del tutto analoghe rispetto alle precedenti, con la differenza che:

 

- in questo caso la relazione V=V(T) si rappresenta nel piano V,T come una retta passante per l'origine;

 

- la formula esprime una relazione di proporzionalità diretta tra il volume e la temperatura.

 

All'atto pratico la scelta tra la formula con temperature in gradi celsius e quella in kelvin è irrilevante, purché ci sia coerenza con i dati a disposizione. In riferimento all'esempio numerico, se calcoliamo nuovamente il volume convertendo la temperatura in kelvin

 

t=120\ ^{\circ}\mbox{C}\\ \\ T=273,15\ ^{\circ}\mbox{C} + t=393,15\mbox{ K}

 

giungiamo allo stesso risultato

 

V=(0,85\mbox{ m}^3) \cdot \frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}} \cdot (393,15\mbox{ K})\simeq 1,2\mbox{ m}^3

 

La formula per temperature in kelvin inoltre consente di esprimere la prima legge di Gay-Lussac in un'ulteriore forma. Se consideriamo due generici stati A, B in una trasformazione costante, possiamo scrivere

 

V_A=V_0\alpha T_A\ \to\ V_0\alpha=\frac{V_A}{T_A}\\ \\ \\ V_B=V_0\alpha T_B\ \to\ V_0\alpha=\frac{V_B}{T_B}

 

Essendo il primo membro costante in entrambe le equazioni, giungiamo a

 

p\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \frac{V_A}{T_A}=\frac{V_B}{T_B}

 

Da qui è evidente che la prima legge di Gay-Lussac stabilisce che, in una trasformazione isobara, il rapporto tra volume e temperatura (in kelvin) è costante

 

p\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \frac{V}{T}\mbox{ costante}

 

 


 

Di certo non rimarrete a bocca aperta sapendo che la lezione successiva è dedicata alla seconda legge di Gay-Lussac, vero? :D Ci vediamo là... Ma prima vi ricordiamo, come sempre, che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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