Seconda legge di Gay-Lussac

La seconda legge di Gay-Lussac riguarda il comportamento dei gas ideali nelle trasformazioni isocore, e descrive la relazione tra temperatura e pressione di un gas qualsiasi quando è soggetto a una trasformazione a volume costante.

 

È giunto il momento di analizzare la terza tipologia di trasformazione che può subire un gas perfetto quando una delle tre grandezze termodinamiche si mantiene costante. Tra un attimo presenteremo enunciato e formula della seconda legge di Gay-Lussac, e vedremo quante analogie presenta rispetto alla prima.

 

A ben vedere, se avete già letto la precedente lezione, vi renderete conto che basterebbe ripercorrerla scambiando i ruoli di pressione e volume... Ma non bruciamo le tappe e procediamo con calma: studiare leggi e formule simili a quelle già affrontate è un'ottima occasione per apprendere i concetti al meglio. ;)

 

La seconda legge di Gay-Lussac per le trasformazioni isocore

 

Sappiamo che le tre grandezze che descrivono lo stato termodinamico di un gas sono pressione, temperatura e volume.

 

Abbiamo già studiato due delle tre leggi che descrivono il comportamento dei gas perfetti, quando essi subiscono una trasformazione in cui una delle tre variabili di stato rimane costante e le altre due sono libere di variare:

 

- la legge di Boyle ci dice come si comporta un gas ideale quando è sottoposto a una trasformazione isoterma (a temperatura costante);

 

- la prima legge di Gay-Lussac ci dice come si comporta un gas ideale quando subisce una trasformazione isobara (a pressione costante);

 

- la seconda legge di Gay-Lussac descrive ciò che accade a un gas ideale quando è soggetto a una trasformazione isocora (a volume costante).

 

Non ci resta che analizzare il terzo caso, e scoprire quale relazione sussiste tra temperatura e pressione quando un gas è sottoposto a una trasformazione a volume costante.

 

La prima cosa da fare è inquadrare le trasformazioni isocore nel piano di Clapeyron, dove i valori di volume vengono collocati sull'asse x e quelli di pressione sull'asse y.

 

Supponiamo che il gas passi da uno stato A=(V_A,p_A) a uno stato B=(V_B,p_B). Ormai sappiamo come ragionare in questo contesto, e non abbiamo difficoltà nell'intuire che una trasformazione isocora si presenta come un segmento di retta verticale.

 

V=V_A=V_B=\mbox{costante}\\ \\ x=k\ \ \mbox{con }k\mbox{ costante}

 

 

Seconda legge di Gay-Lussac e piano di Clapeyron

Trasformazione isocora nel piano di Clapeyron.

 

 

Il volume, infatti, deve rimanere costante al variare della pressione. Veniamo allora alla formulazione della seconda legge di Gay-Lussac:

 

p=p_0(1+\alpha t)

 

dove:

 

- p_0 indica la pressione del gas quando la sua temperatura è di 0 °C;

 

- \alpha è il coefficiente di dilatazione termica dei gas;

 

- t è la temperatura espressa in gradi Celsius.

 

La seconda legge di Gay-Lussac ci dice che, mantenendo il volume costante, la pressione varia linearmente con la temperatura. Come potete vedere la struttura di questa equazione è identica a quella che abbiamo scritto per la prima legge di Gay-Lussac.

 

In modo del tutto analogo rispetto alle trasformazioni isobare, possiamo tracciare il grafico della relazione p=p(t) nel piano t,p. Com'era lecito aspettarsi, se riscriviamo la formula della seconda legge di Gay-Lussac come

 

p=p_0\alpha t+p_0

 

vediamo che essa corrisponde all'equazione di una retta 

 

y=mx+q

 

 

Seconda legge di Gay-Lussac

Seconda legge di Gay-Lussac nel piano t,P.

 

 

Il coefficiente angolare (inclinazione della retta) è dato da p_0\alpha, mentre l'ordinata all'origine è data da q=p_0. Così, all'aumentare della temperatura, aumenta la pressione del gas.

 

Seconda legge di Gay-Lussac e costante di dilatazione termica dei gas

 

Il termine \alpha presente nella formula è la stessa identica costante che compare anche nella prima legge di Gay-Lussac: è il coefficiente di dilatazione termica dei gas, il cui valore è costante per qualsiasi tipo di gas

 

\alpha=\frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}}

 

e del quale sappiamo già tutto. :)

 

Esempio sulla seconda legge di Gay-Lussac

 

Come semplice esercizio di applicazione, supponiamo di avere un gas inizialmente alla temperatura di 0 °C e alla pressione di 3,5 atm. Tramite una trasformazione isocora portiamo il gas a una temperatura di 45 °C. Qual è il valore di pressione nel nuovo stato?

 

Svolgimento: applichiamo la seconda legge di Gay-Lussac:

 

 p = p_0(1+\alpha t)= \\ \\ =(3,5\mbox{ atm}) \cdot \left(1 + \frac{1}{273,15\ ^{\circ}\mbox{C}} \cdot (45 ^{\circ}\mbox{C}) \right) =  4,1\mbox{ atm}

 

Com ci aspettavamo, a una maggiore temperatura corrisponde una maggiore pressione.

 

Seconda legge di Gay-Lussac con temperatura in Kelvin

 

Come nella prima legge, anche la seconda legge di Gay-Lussac richiede che la temperatura sia espressa in gradi Celsius (indicata a tal proposito con la lettera t minuscola). Tramite la costante \alpha però è possibile riscrivere la formula in modo tale da far comparire la temperatura in kelvin.

 

Vediamo come fare: raccogliamo la costante \alpha tra parentesi tonde

 

p=p_0\alpha \left( \frac{1}{\alpha}+t\right)

 

dopodiché sostituiamo \alpha con il suo valore numerico

 

\frac{1}{\alpha} + t = \frac{1}{ \frac{1}{273,15 \: ^{\circ}\mbox{C}}} + t = 273,15 \: ^{\circ}\mbox{C} + t = T

 

Anche in questo caso abbiamo ottenuto l'espressione per convertire i gradi Celsius in kelvin, sicché possiamo scrivere la formula della seconda legge di Gay-Lussac per temperature in kelvin:

 

 p = p_{0} \alpha T

 

Il grafico della funzione p=p(T) in questo caso è quello di una retta passante per l'origine nel piano p,T, e la relazione tra le due variabili di stato è di proporzionalità diretta.

 

Inoltre, riscrivendo la precedente equazione nella forma

 

p_0\alpha=\frac{p}{T}

 

si può esprimere la seconda legge di Gay-Lussac affermando che in una trasformazione isocora il rapporto tra pressione e temperatura (in kelvin) è costante

 

V\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \frac{p}{T}\mbox{ costante}

 

 

Esempio

 

Vediamo un ultimo esercizio. Vogliamo trovare la temperatura associata a un valore di pressione di 2,3 atm per un gas che ha subito una trasformazione isocora, partendo da una temperatura iniziale di 0 °C e da una pressione iniziale di 0,8 atm.

 

Svolgimento: applichiamo la legge di Gay-Lussac nella sua seconda formulazione

 

 p = p_{0} \alpha T

 

e ricaviamo la temperatura

 

T = \frac{p}{p_{0} \alpha} = \\ \\ \\ = \frac{2,3\mbox{ atm}}{(0,8\mbox{ atm}) \cdot \frac{1}{273,15 \: ^{\circ}\mbox{C}}} =785\mbox{ K}= 512\ ^{\circ}\mbox{C}

 

 


 

Per il momento ci fermiamo con lo studio delle trasformazioni dei gas... Ma solo per il momento. :) Nelle lezioni successive introdurremo alcune nozioni propedeutiche, a partire dal concetto di mole e dal numero Avogadro. Per tutto il resto non dimenticate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e altrettante lezioni: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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