Energia interna

L'energia interna di un gas è una grandezza che misura gli scambi di energia effettuati da un gas con l'ambiente esterno, a causa degli scambi di calore e del lavoro esercitato. L'energia interna di un gas ideale dipende solamente dalla temperatura e dal numero di moli, ed è una funzione di stato, in quanto ogni sua variazione dipende solo dagli stati iniziale e finale delle trasformazioni.

 

Qui ci limiteremo a fornire la definizione di energia interna di un gas e a presentare un'equazione che permette di calcolarne la variazione in una qualsiasi trasformazione di un gas ideale (la formula dell'energia interna).

 

Non ci spingeremo oltre le prime e più immediate osservazioni: per effettuare uno studio approfondito dei gas da un punto di vista energetico servono infatti ulteriori prerequisiti. Vi anticipiamo che svilupperemo l'argomento a fondo nel prosieguo del corso di Termodinamica, a partire dalla lezione sulla teoria cinetica dei gas. 

 

Energia interna come funzione di stato

 

In termodinamica esiste una grandezza, chiamata energia interna, le cui variazioni esprimono quanta energia il gas scambia con l'ambiente circostante. Premesso che qui ci limiteremo a trattare il caso dei gas ideali, tale energia dipende da alcune proprietà interne del gas, tra cui il moto d'agitazione delle molecole che lo compongono. 

 

L'energia interna si indica con la lettera U e ha una caratteristica molto importante: durante una trasformazione termodinamica qualsiasi, un gas (o più precisamente un sistema termodinamico) scambia energia sotto forma di calore e lavoro con l'ambiente circostante. Come vedremo nella lezione successiva, dedicata al primo principio della termodinamica, ciò implica che generalmente l'energia interna del gas cambi durante la trasformazione.

 

Se vogliamo calcolare la variazione di energia interna \Delta U, non ci interessa sapere quale particolare trasformazione è stata seguita dallo stato iniziale A a quello finale B; ci basta solo conoscere gli stati iniziale e finale. Si può scrivere pertanto:

 

\Delta U=U(B)-U(A)

 

Poiché ogni sua variazione dipende esclusivamente dagli stati finale e iniziale della trasformazione, ed è indipendente dal tipo di trasformazione che porta il gas dallo stato A allo stato B, l'energia interna viene definita funzione di stato.

 

A titolo di esempio possiamo considerare tre diverse trasformazioni (1), (2) e (3) sul piano di Clapeyron, ciascuna delle quali porti un medesimo gas perfetto dallo stato A allo stato B

 

 

Variazione di energia interna come funzione di stato

La variazione di energia interna dipende solo
dallo stato iniziale e da quello finale.

 

 

Seguendo una diversa trasformazione, il gas scambierà con l'ambiente diverse quantità di calore e di lavoro, ma la variazione di energia interna \Delta U sarà sempre la stessa. Essa infatti dipende solo dagli stati iniziale e finale e questi sono gli stessi per tutte e tre le trasformazioni

 

A\equiv B\ \Rightarrow\ (\Delta U)_1=(\Delta U)_2=(\Delta U)_3

 

Formula per la variazione di energia interna

 

Da cosa dipende l'energia interna di un gas perfetto? Si osserva che l'energia interna non dipende nè dalla pressione nè dal volume, ma solo dalla temperatura, oltre che dal numero di moli di cui il gas è costituito.

 

La formula per la variazione di energia interna \Delta U coinvolge il numero di moli n, il calore specifico molare a volume costante c_V e la variazione di temperatura \Delta T.

 

Se c_V è costante nel corso della trasformazione, la variazione di energia interna è data da

 

 \Delta U = n c_V \Delta T

 

o, esplicitamente

 

U_{B} - U_{A} = n c_V \left( T_{B} - T_{A} \right)

 

Se il calore specifico a volume costante varia in funzione della temperatura secondo una legge c_V=c_V(T), e se non vi sono dispersioni di gas nel corso della trasformazione, possiamo scrivere la variazione di energia interna in forma integrale:

 

 \Delta U = n \int_{T_{A}}^{T_{B}}{c_V(T) dT}

 

Energia interna e temperatura

 

Osserviamo subito che se la temperatura non varia, e quindi la variazione di temperatura \Delta T è zero, allora anche la variazione di energia interna \Delta U è zero

 

\Delta T\ \Rightarrow\ \Delta U=0

 

Nel particolare caso delle trasformazioni isoterme ciò implica che l'energia interna rimanga costante tra lo stato iniziale e lo stato finale.

 

Osservando che l'energia interna dipende dalla temperatura, è facile intuire che tale forma di energia sia legata al moto di agitazione delle molecole dei gas. Più è alta la temperatura, più le molecole si agitano e si urtano tra di loro. In particolare l'energia interna può essere vista come la somma dell'energia di tutte le singole molecole messe assieme.

 

La formula per la variazione di energia interna si rivela molto utile in svariate tipologie di esercizi, specialmente in quelli in cui è richiesta l'applicazione del primo principio della Termodinamica. Approfondiremo ogni cosa a tempo debito e, quando studieremo la teorica cinetica dei gas, vedremo in particolare come si caratterizza l'energia interna dei gas ideali rispetto all'energia cinetica, anche e soprattutto grazie all'equazione di stato dei gas perfetti.

 

Esempio: calcolo della variazione di energia interna

 

Proviamo a risolvere un esercizio: calcoliamo la variazione di energia interna di 2 moli di gas biatomico che vengono portate da una temperatura di 320 K a una temperatura di 450 K.

 

Svolgimento: usiamo la formula per la variazione di energia interna:

 

 \Delta U = n c_V \left( T_{B} - T_{A} \right) =

 

Nel caso di un gas biatomico conosciamo già il valore del calore specifico molare a volume costante

 

c_V=\frac{5}{2}R

 

sicché ci basta ricordare il valore approssimato della costante dei gas R

 

=(3 \mbox{ mol}) \cdot \left(\frac{5}{2} \cdot 8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (450\mbox{ K} - 320\mbox{ K})=8102\mbox{ J}

 

 


 

Per il momento è tutto. Non perdetevi per alcun motivo al mondo la prossima puntata! ;) Nelle ultime lezioni abbiamo parlato esclusivamente di gas, ma nelle successive amplieremo i nostri orizzonti e riprenderemo a parlare in termini più generali di sistemi termodinamici, di cui abbiamo fornito la definizione nella prima lezione del corso.

 

Innanzitutto vi presenteremo il primo principio della Termodinamica, dopodiché ci dedicheremo a una classificazione dettagliata dei vari tipi di trasformazioni termodinamiche. Come vedrete manterremo alta l'attenzione sullo studio dei gas, in quanto costituiscono un modello di sistema che ben si presta per analizzare le relazioni tra variabili di stato e tra grandezze energetiche, ma non ci limiteremo solamente ad essi...

 

Volete mettervi alla prova e fare un po' di allenamento? Ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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