Trasformazione isocora

Una trasformazione isocora, o più brevemente isocora (dal greco ἴσος - isos, "uguale", e χώρα - khṓra, "spazio") è una trasformazione termodinamica a volume costante, in cui le uniche variabili di stato che possono cambiare sono pressione e temperatura.

 

Come lascia intendere l'etimologia della parola isocora, le trasformazioni che studieremo in questa lezione sono quelle che mantengono il volume costante. A ben vedere le abbiamo già affrontate quando abbiamo trattato la seconda legge di Gay-Lussac riferita ai gas perfetti, ed è per questo motivo non ci soffermeremo più di tanto sulla definizione...

 

Piuttosto, passeremo subito ad analizzarne le proprietà salienti per poi passare a studiarle dal punto di vista di calore, lavoro ed energia. Per quanto tali trasformazioni possano riguardare un qualsiasi sistema termodinamico, rimarremo concentrati sui gas ideali e sfrutteremo la teoria già nota per ricavare le principali formule delle trasformazioni isocore. Iniziamo! :)

 

Isocora: trasformazione a volume costante

 

Tra le tre tipologie di trasformazioni termodinamiche in cui una delle variabili di stato (temperatura, volume, pressione) viene mantenuta costante e si lasciano le altre libere di variare, la seconda di cui ci occupiamo è data dalle isocore.

 

Un breve riepilogo:

 

- trasformazione isoterma → trasformazione a temperatura costante

 

- trasformazione isobara → trasformazione a pressione costante

 

- trasformazione isocora → trasformazione a volume costante

 

In quanto trasformazioni, anche le isocore possono interessare qualsiasi sistema termodinamico. Noi però siamo prevalentemente interessati ai gas, e in particolare ai gas ideali, per cui svilupperemo la teoria considerando questo genere di sistemi e utilizzando le leggi e le formule che già conosciamo.

 

Proprietà e formule delle trasformazioni isocore

 

Consideriamo un gas e sottoponiamolo ad una trasformazione che mantiene costante il volume, impedendogli di espandersi e confinandolo dentro un contenitore con le pareti rigide. In questo caso, stiamo parlando di una trasformazione isocora, dove il gas può modificare solamente la propria temperatura e il proprio valore di pressione.

 

Sul piano di Clapeyron V,p il grafico che rappresenta gli stati (V,p) di una trasformazione isocora si presenta come un segmento di retta verticale, infatti per ogni valore di pressione il volume è sempre lo stesso.

 

V=k\ \ \ \mbox{con }k\mbox{ costante}

 

 

Trasformazione isocora

Trasformazione isocora nel piano di Clapeyron.

 

 

Notiamo quindi che nel caso delle isocore non si può individuare una funzione p=p(V) che ne descriva tutti gli stati, e per convincersene basta ripensare alla definizione di funzione.

 

Nella lezione sulla seconda legge di Gay-Lussac abbiamo già studiato nel dettaglio tutte le formule per temperatura e pressione nelle isocore, ma in quel contesto non disponevamo ancora della legge dei gas ideali, per cui vale la pena di tornare brevemente sul discorso.

 

Partendo dall'equazione di stato

 

pV=nRT

 

e applicandola nel caso di un'isocora, possiamo ricavare il rapporto tra la pressione e la temperatura in questo modo:

 

\frac{p}{T}=\frac{nR}{V}

 

Osserviamo che il secondo membro è una costante: abbiamo infatti il numero di moli n che non cambia, la costante universale dei gas R e il volume che, in un'isocora, è ovviamente costante. Possiamo dunque scrivere

 

V\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \frac{p}{T}\mbox{ costante}

 

vale a dire che il rapporto tra la pressione e la temperatura in un'isocora è uguale per qualsiasi coppia di stati (V,p_1,T_1),\ (V,p_2,T_2) della trasformazione

 

\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\ \ \ (\bullet)

 

Da qui si capisce, inoltre, che pressione e temperatura sono legate nelle trasformazioni isocore da una relazione di proporzionalità diretta.

 

Calore, lavoro ed energia in una trasformazione isocora

 

Come sappiamo, l'energia interna di un gas è funzione della temperatura e possiamo calcolarne le variazioni secondo la formula

 

\Delta U=nc_V\Delta T

 

Tale relazione vale per qualsiasi trasformazione ed è valida a patto che il calore specifico molare a volume costante c_V sia costante nel corso della trasformazione.

 

Nel caso delle trasformazioni isocore la precedente formula, insieme a quella (\bullet) per cui il rapporto tra pressione e temperatura è costante, ci permette di giungere a una semplice conclusione sull'energia nelle isocore:

 

- se il gas assorbe energia dall'ambiente, allora \Delta U>0 e quindi la sua temperatura aumenta e di conseguenza aumenta la pressione

 

V\mbox{ costante}:\ \Delta U>0\ \longleftrightarrow\ \Delta T>0\ \longleftrightarrow\ \Delta p>0

 

- se al contrario il gas cede calore all'ambiente, allora \Delta U<0 e quindi la sua temperatura diminuisce e di conseguenza diminuisce la pressione

 

V\mbox{ costante}:\ \Delta U<0\ \longleftrightarrow\ \Delta T<0\ \longleftrightarrow\ \Delta p<0

 

Una seconda osservazione in ottica energetica riguarda il lavoro nelle trasformazioni isocore. Non potendo modificare il proprio volume, il gas non può scambiare lavoro con l'ambiente. Per riuscirci avrebbe bisogno di espandersi o di comprimersi, ad esempio facendosi comprimere da un pistone e spingendolo in modo da espandersi, ma questo in un'isocora non può accadere.

 

D'altra parte sappiamo già che il lavoro è uguale all'area sottesa dal grafico della trasformazione nel piano di Clapeyron ma, come già sapevamo, per un'isocora l'area è nulla:

 

W=0

 

Dal primo principio della Termodinamica ne consegue che

 

\Delta U=Q

 

e dunque in un'isocora la variazione di energia interna è uguale al calore scambiato.

 

Ricordando la formula della variazione di energia interna applicabile a qualunque trasformazione, possiamo anche scrivere:

 

Q=\Delta U=nc_V(T_B-T_A)

 

e abbiamo così dimostrato la formula che avevamo scritto nella lezione sul calore specifico molare a volume costante.

 

Ricordando la convenzione sui segni introdotta con il primo principio della Termodinamica, dalla precedente relazione si vede che:

 

- se il gas assorbe calore (Q>0) anche la variazione di energia interna è positiva, e ciò significa che la temperatura del gas aumenta, come pure la pressione

 

V\mbox{ costante}:\ Q=\Delta U>0\ \longleftrightarrow \Delta T>0\ \longleftrightarrow \Delta p>0

 

- Al contrario, se il gas cede calore (Q<0) allora la variazione di energia interna è negativa, per cui la temperatura diminuisce e diminuisce anche la pressione

 

V\mbox{ costante}:\ Q=\Delta U<0\ \longleftrightarrow \Delta T<0\ \longleftrightarrow \Delta p<0

 

Esempio sulle trasformazioni isocore

 

Vediamo come risolvere un esercizio sulle isocore. Calcoliamo il calore scambiato in una trasformazione isocora di un 3 moli di gas perfetto monoatomico con un volume di 0,75 m3 e una pressione iniziale di 1,2·104 Pa, sapendo che la pressione finale è 1,8·104 Pa.

 

Svolgimento: per calcolare il calore Q ci servono le due temperature T_A,T_B, che possiamo determinare con la legge dei gas perfetti

 

pV = nRT

 

Invertiamo la formula in favore di T

 

T=\frac{pV}{nR}

 

e procediamo con i calcoli

 

T_A=\frac{p_AV}{nR}=\frac{(1,2 \cdot 10^4\mbox{ Pa}) \cdot (0,75\mbox{ m}^3)}{(3\mbox{ mol}) \cdot \left(8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)}\simeq 361\mbox{ K}\\ \\ \\ T_B=\frac{p_BV}{nR}=\frac{(1,8 \cdot 10^4\mbox{ Pa}) \cdot (0,75\mbox{ m}^3)}{(3\mbox{ mol}) \cdot \left(8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)}\simeq 542\mbox{ K}

 

Nei calcoli ovviamente abbiamo usato sempre lo stesso volume, V_A=V_B=0,75\mbox{ m}^3, visto che stiamo lavorando con una trasformazione isocora.

 

Ora possiamo calcolare il calore ricordando che il calore specifico molare a volume costante c_V per un gas monoatomico vale \frac{3}{2}R

 

Q=\Delta U=nc_V\left(T_B-T_A\right)=\\ \\ =(3\mbox{ mol})\cdot \frac{3}{2} \cdot \left(8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)\cdot \left[(542\mbox{ K})-(361\mbox{ K})\right]=6768\mbox{ J}

 

 


 

Per eventuali approfondimenti e dubbi, o se volete consultare esercizi svolti sull'argomento, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: etimologia di isocora e formule inverse - lavoro compiuto da un gas perfetto in una trasformazione isocora - come calcolare il calore scambiato in una trasformazione isocora.