Trasformazione isobara

Una trasformazione isobara, o più brevemente un'isobara (dal greco ἴσος - isos, "uguale" e βάρος - baros, "peso") è una trasformazione termodinamica a pressione costante, in cui le uniche variabili di stato libere di variare sono temperatura e volume.

 

Per concludere lo studio delle trasformazioni in cui una delle coordinate termodinamiche resta costante, rimane da analizzare il caso delle isobare, che abbiamo già trattato nel contesto della prima legge di Gay-Lussac e con riferimento ai gas perfetti.

 

Esattamente come nel caso delle isoterme e delle isocore, vedremo quali sono le proprietà che le caratterizzano e ricaveremo le formule per lavoro, calore ed energia interna; per in nostri scopi considereremo in particolare sistemi costituiti da gas ideali.

 

Isobara: trasformazione a pressione costante

 

Tra le trasformazioni in cui una delle tre variabili di stato (volume, pressione, temperatura) rimane costante, e le altre due sono libere di variare, ci resta da analizzare il caso delle isobare. Come suggerisce l'etimologia del nome, si tratta di trasformazioni a pressione costante in cui temperatura e volume possono variare i propri valori.

 

Riassumiamo velocemente quali sono le trasformazioni con una coordinata termodinamica costante:

 

- trasformazioni isoterme → trasformazioni a temperatura costante

 

- trasformazioni isocore → trasformazioni a volume costante

 

- trasformazioni isobare→ trasformazioni a pressione costante

 

Esattamente come per le altre due tipologie di trasformazioni, anche le isobare possono riguardare sistemi termodinamici di qualsiasi tipo. In questa lezione ci concentreremo però sui sistemi costituiti da gas e nello specifico da gas perfetti, in modo da approfondire la teoria studiata fin qui e applicare le formule che già conosciamo.

 

Proprietà delle trasformazioni isobare

 

Sul piano di Clapeyron V,p una trasformazione isobara è rappresentata da una segmento di una retta orizzontale, infatti per diversi valori di volume la pressione deve sempre essere la stessa.

 

 

Trasformazione isobara

Trasformazione isobara nel piano di Clapeyron.

 

 

In una delle precedenti lezioni del corso abbiamo già studiato le formule per le trasformazioni isobare relative a temperatura e volume, e in particolare quando ci siamo dedicati alla prima legge di Gay-Lussac.

 

Vediamo quali informazioni possiamo ricavare sulle trasformazioni isobare dall'equazione di stato dei gas perfetti:

 

 pV = nRT

 

Dividiamo entrambi i membri per p e per T

 

\frac{V}{T} = \frac{nR}{p}

 

Al secondo membro si ottiene una costante, perché il numero di moli n non cambia, R è la costante dei gas ideali e la pressione resta costante durante la trasformazione, visto che stiamo parlando di un'isobara.

 

In altri termini, se manteniamo costante la pressione, allora il rapporto tra il volume e la temperatura rimane costante.

 

p\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \frac{V}{T}\mbox{ costante}

 

Da qui si vede che tra volume e temperatura sussiste una relazione di proporzionalità diretta: in una trasformazione isobara, quando una delle due grandezze aumenta di valore, deve necessariamente aumentare anche l'altra.

 

Possiamo esprimere la precedente proprietà in una forma equivalente; se consideriamo due generici stati (V_1,p,T_1) e (V_2,p,T_2) di una trasformazione isobara, allora vale la relazione

 

\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\ \ \ (\bullet)

 

Lavoro, calore ed energia in una trasformazione isobara

 

Per analizzare le relazioni tra le varie forme di energia nelle trasformazioni isobare, partiamo dalla formula dell'energia interna:

 

\Delta U=nc_V\Delta T

 

dove c_V denota il calore specifico molare a volume costante.

 

Tale formula è valida purché c_V sia costante nel corso della trasformazione, e in tal caso stabilisce che la variazione di energia interna è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura. Tenuto conto della relazione tra volume e temperatura in (\bullet), cerchiamo di capire come si comporta l'energia nelle isobare:

 

- se il gas acquisisce energia dall'ambiente, allora \Delta U>0 e dunque la sua temperatura aumenta, il che implica un incremento del volume del gas. Siamo in presenza di un'espansione isobara

 

p\mbox{ costante}:\ \Delta U>0\ \longleftrightarrow\ \Delta T>0\ \longleftrightarrow\ \Delta V>0

 

- se il gas cede energia dall'ambiente, allora \Delta U<0 e dunque la sua temperatura diminuisce; lo stesso accade per il volume. In questo caso si manifesta una compressione isobara

 

p\mbox{ costante}:\ \Delta U<0\ \longleftrightarrow\ \Delta T<0\ \longleftrightarrow\ \Delta V<0

 

Riguardiamo per un istante il grafico di una generica trasformazione isobara nel piano di Clapeyron. Sappiamo che il lavoro esercitato tra il sistema e l'ambiente esterno, durante una trasformazione di qualsiasi tipo, è uguale all'area della regione di piano sottesa dal grafico di p=p(V) nel piano di Clapeyron, tra lo stato iniziale A e quello finale B. In questo caso si vede che, se scegliamo due stati A e B, la figura che si ottiene è un rettangolo, per cui il lavoro è uguale all'area del rettangolo. In formule scriveremo:

 

W=p\Delta V=p(V_B-V_A)

 

Nel caso delle isobare possiamo scrivere anche un'altra formula per il lavoro, ricavando i volumi V_A,V_B dalla legge dei gas perfetti

 

 pV= nRT\ \to\ \begin{cases}V_A= \dfrac{nRT_A}{p}\\ \\ V_B=\dfrac{nRT_B}{p}

 

Ovviamente non specifichiamo il valore di p scrivendo p_A,p_B visto che, trattandosi di un'isobara, la pressione rimane costante. Ora possiamo sostituire i due volumi nella formula del lavoro scritta in precedenza:

 

W=p(V_B-V_A)=p\left(\frac{nRT_B}{p}-\frac{nRT_A}{p}\right)

 

da cui la formula per il lavoro in una trasformazione isobara

 

W=nR(T_B-T_A)

 

da cui seguono considerazioni analoghe a quelle per l'energia interna:

 

- se il gas compie lavoro sull'ambiente, allora W>0 e la temperatura del gas aumenta, il che comporta un incremento del volume del gas (espansione isobara)

 

p\mbox{ costante}:\ W>0\ \longleftrightarrow\ \Delta T>0\ \longleftrightarrow\ \Delta V>0

 

- se l'ambiente compie lavoro sul gas, allora W<0 e la temperatura del gas diminuisce; lo stesso dicasi per il volume (compressione isobara)

 

p\mbox{ costante}:\ W<0\ \longleftrightarrow\ \Delta T<0\ \longleftrightarrow\ \Delta V<0

 

Riguardo al primo principio della Termodinamica, nelle isobare non presenta particolari caratterizzazioni come per le trasformazioni isoterme e isocore, dove una delle tre grandezze (Q,W,\Delta U) si annulla.

 

Per un'isobara possiamo dunque scrivere

 

\Delta U = Q - W

 

Sostituendo \Delta U con l'espressione data dalla formula dell'energia interna per trasformazioni qualsiasi, otteniamo

 

nc_{V} ( T_{B} - T_{A} )= Q - W

 

Da qui è possibile ricavare una particolare espressione per il calore; esplicitiamo la precedente equazione in favore di Q

 

 Q = nc_{V} ( T_{B} - T_{A} ) + W =

 

sostituiamo la formula del lavoro in funzione delle temperatura

 

= nc_{V} ( T_{B} - T_{A} ) + nR (T_{B} - T_{A} ) =\\ \\ =n (T_{B} - T_{A} ) (c_{V} + R) =

 

e ricorriamo alla relazione di Mayer tra calori specifici molari a volume e a pressione costante: c_p=c_V+R

 

= nc_{p} (T_{B} - T_{A} )

 

Abbiamo così ricavato la formula per il calore nelle trasformazioni isobare (quella che avevamo incontrato quando abbiamo studiato il calore specifico molare a pressione costante)

 

Q=nc_{p} (T_{B} - T_{A} )

 

Ne desumiamo che:

 

- quando il gas assorbe calore dall'ambiente esterno (Q>0), aumentano la sua temperatura e dunque il suo volume (espansione isobara)

 

p\mbox{ costante}:\ Q>0\ \longleftrightarrow \Delta T>0\ \longleftrightarrow \Delta V>0

 

- al contrario, se il gas cede calore all'ambiente esterno (Q<0), la sua temperatura e il suo volume diminuiscono (compressione isobara)

 

p\mbox{ costante}:\ Q<0\ \longleftrightarrow \Delta T<0\ \longleftrightarrow \Delta V>0

 

Esempio sulle trasformazioni isobare

 

Vediamo un esempio. Una mole di gas biatomico inizialmente alla temperatura di 320 K, compie una trasformazione isobara a una pressione di 1,25·105 Pa portandosi a una temperatura di 450 K. Di quanto è variato il suo volume?

 

Svolgimento: calcoliamo il lavoro svolto tra gas e ambiente servendoci della variazione di volume \Delta V

 

W=nR(T_B-T_A)=(1\mbox{ mol}) \cdot \left(8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)\cdot \left[(450\mbox{ K}-320\mbox{ K})\right]=1080\mbox{ J}

 

A questo punto possiamo calcolare la differenza di volume dalla formula inversa del lavoro come prodotto tra pressione e volume:

 

W=p\Delta V\\ \\ \Delta V=\frac{W}{p}=\frac{1080\mbox{ J}}{1,25\cdot 10^5\mbox{ Pa}}=8,64\cdot 10^{-3}\mbox{ m}^3

 

 


 

Ora che abbiamo esaurito le trasformazioni con una variabile di stato costante possiamo passare a un'ulteriore, importantissima tipologia di trasformazioni: le adiabatiche. Nel parliamo nella lezione successiva. :) Nel frattempo, per dubbi, domande o esercizi risolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM c'è tutto quello che vi serve. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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