Trasformazioni cicliche

Una trasformazione ciclica (o ciclo termodinamico) è un tipo di trasformazione termodinamica, eventualmente costituita a sua volta da diverse trasformazioni, in cui lo stato iniziale del sistema e quello finale coincidono.

 

I cicli termodinamici non costituiscono solamente una famiglia di trasformazioni notevoli, di cui vale la pena studiare le proprietà generali; hanno importanti conseguenze e rappresentano il primo ponte di collegamento tra la teoria studiata finora e gli argomenti pratici che affronteremo nel seguito.

 

Qui ne forniremo la definizione e ne ricaveremo le proprietà generali nel contesto energetico (calore, lavoro ed energia). Vedremo infine come risolvere un tipico esercizio sui cicli termodinamici, in cui vengono coinvolte le formule e le leggi già note per le altri particolari tipologie di trasformazioni.

 

Trasformazioni cicliche e cicli termodinamici

 

Abbiamo visto nel dettaglio alcune particolari trasformazioni termodinamiche e tutte le relative formule. Finora abbiamo considerato trasformazioni tra due stati A e B, rispettivamente iniziale e finale, con B diverso da A.

 

Cosa succede se consideriamo uno stato finale coincidente con quello iniziale, dunque A=B? In tale eventualità il sistema è soggetto a una trasformazione ciclica (o ciclo termodinamico): parte da un certo stato iniziale A, compie una serie di trasformazioni di qualunque tipo ed infine torna nuovamente allo stato A.

 

Cerchiamo di capire quali leggi e quali formule sussistono, in generale, per energia, calore e lavoro nelle trasformazioni cicliche, prendendo sempre come riferimento sistemi termodinamici costituti da un gas e in particolare da gas ideali.

 

Se ricordate, la variazione di energia interna è una funzione di stato, vale a dire che è dipendente solo dallo stato iniziale e da quello finale, e non dipende dalla specifica trasformazione da A a B. Nell'ambito di una trasformazione ciclica, poiché A e B coincidono, la variazione di energia interna \Delta U è sempre uguale a zero.

 

\Delta U=0

 

In accordo con il primo principio della Termodinamica

 

\Delta U=Q-W

 

ne consegue che il lavoro esercitato tra gas e ambiente esterno è uguale al lavoro scambiato tra essi.

 

Q=W

 

Nel piano di Clapeyron V,p una trasformazione ciclica è rappresentata da una linea chiusa. Sappiamo che, in questo caso, il lavoro del gas è dato graficamente dell'area della regione di piano racchiusa all'interno della curva.

 

 

Trasformazione ciclica

Lavoro di una trasformazione ciclica nel piano di Clapeyron.

 

 

Nella pratica possiamo procedere agevolmente al calcolo del lavoro come area solo in presenza di una figura piana "standard", o eventualmente scomponibile in figure elementari. Supponiamo di avere un ciclo termodinamico di questo tipo:

 

 

Trasformazione ciclica come composizione di trasformazioni

Un ciclo termodinamico
come composizione di quattro trasformazioni.

 

 

Se vogliamo sapere quanto vale il lavoro durante l'intero ciclo, e quindi anche il calore scambiato tra gas e ambiente esterno, possiamo calcolare l'area del trapezio rettangolo mediante la formula

 

W=Q=S_{ABCD}=\frac{(B+b)h}{2}

 

dove la base maggiore B è data dalla differenza dei volumi tra C e D, la base minore b dalla differenza dei volumi tra A e B e l'altezza è pari alla differenza delle pressioni tra A e D.

 

Cicli termodinamici come composizione di trasformazioni notevoli

 

Spesso una trasformazione ciclica è data dall'unione di più trasformazioni conosciute (isoterme, isobare, isocore, adiabatiche), il che ci dà la possibilità di calcolare calore e lavoro non solo durante l'intero ciclo termodinamico, ma anche in ogni singolo tratto della trasformazione complessiva.

 

Consideriamo ad esempio trasformazione ciclica rappresentata in figura:

 

 

Esempio di trasformazione ciclica

Esempio di trasformazione ciclica
con isoterma, isocora, isobara e adiabatica.

 

 

Partendo da A abbiamo una trasformazione isoterma fino a B, un'isocora da B a C, un'isobara da C a D e un'adiabatica da D ad A.

 

Proviamo a fare i calcoli su questo ciclo considerando 3 moli di gas perfetto biatomico, ricordando che in tal caso i calori specifici molari sono noti

 

c_V=\frac{5}{2}R\ \ ;\ \ c_p=\frac{7}{2}R

 

e dunque è noto anche il rapporto \gamma dell'adiabatica

 

\gamma=\frac{c_p}{c_V}=\frac{7}{5}

 

Sappiamo che in A la temperatura è di 380 K e il volume è 0,58 m3, in B la pressione è 1,03·104 Pa, la pressione in C è 0,87·104 Pa e in D il volume è la metà del volume in C.

 

Per questione di chiarezza e comodità in questo genere di applicazioni conviene sempre redigere uno schema, in cui si riportano tutti i dati noti per le tre variabili termodinamiche (temperatura, pressione, volume), e per ciascuno stato di raccordo tra le varie trasformazioni del ciclo.

 

Appoggiamoci ovviamente alle caratteristiche di ogni trasformazione: ad esempio, se da A a B abbiamo una isoterma, significa che la temperatura in B sarà uguale a quella in A.

 

A:\ T_A = 380 \mbox{ K}\ \ \ ;\ \ \ V_A = 0,58 \mbox{ m}^3\ \ \ ;\ \ \ p_A = ?\\ \\ B:\ T_B = T_A = 380 \mbox{ K}\ \ \ ;\ \ \ V_B = ?\ \ \ ;\ \ \ p_B = 1,03 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}\\ \\ C:\ T_C = ?\ \ \ ;\ \ \ V_C = V_B = ?\ \ \ ;\ \ \ p_C = 0,87 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}\\ \\ A:\ T_D = ?\ \ \ ;\ \ \ V_D = \frac{1}{2} V_C = ?\ \ \ ;\ \ \ p_D = p_C = 0,87 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}

 

A questo punto possiamo scrivere tutte le formule riguardanti la variazione di energia interna, il lavoro e il calore scambiato per ogni singola trasformazione. Sottolineiamo che per affrontare questa tipologia di esercizi è essenziale ricordare tutte le formule che abbiamo ricavato per le varie famiglie di trasformazioni

 

AB:\ W = nRT_A \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\ \ \ ;\ \ \ Q = W\ \ \ ;\ \ \ \Delta U = 0\\ \\ BC:\ W = 0\ \ \ ;\ \ \ Q = \Delta U\ \ \ ;\ \ \ \Delta U = nc_V (T_C - T_B)\\ \\ CD:\ W = p \Delta V = nR(T_D - T_C) \ ;\ Q = nc_p (T_D - T_C)\ ;\ \Delta U = nc_V (T_D - T_C)\\ \\ DA:\ W = - \Delta U\ \ \ ;\ \ \ Q = 0\ \ \ ;\ \ \ \Delta U =  nc_V (T_A - T_D)

 

Ora abbiamo un quadro chiaro e completo dei dati e delle formule che ci possono servire. Cominciamo allora a calcolare il lavoro compiuto dal gas nell'espansione isoterma AB. Abbiamo tutti i dati tranne il volume in B, che possiamo calcolare con la legge dei gas perfetti.

 

V_B = \frac{nRT_B}{p_B} = \\ \\ =\frac{(3 \mbox{ mol}) \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (380 \mbox{ K})}{1,03 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}} \simeq 0,92 \mbox{ m}^3

 

Di conseguenza:

 

W_{AB} = Q_{AB} = nRT_A \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = \\ \\ =(3 \mbox{ mol}) \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (380 \mbox{ K}) \cdot \ln\left(\frac{0,92 \mbox{ m}^3}{0,58 \mbox{ m}^3}\right) \simeq 4371 \mbox{ J}

 

Per calcolare il calore scambiato e la variazione di energia interna nel tratto BC, ci serve la temperatura in C:

 

T_C = \frac{p_CV_C}{nR} = \frac{(0,87 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}) \cdot (0,92 \mbox{ m}^3)}{(3 \mbox{ mol}) \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)} \simeq 321 \mbox{ K}

 

Dunque

 

\Delta U_{BC} = Q_{BC} = nc_V (T_C - T_B) = \\ \\ =(3 \mbox{ mol}) \cdot \frac{5}{2} \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (321 \mbox{ K} - 380 \mbox{ K}) \simeq - 3677 \mbox{ J}

 

Calcoliamo infine la temperatura in D:

 

T_D = \frac{p_DV_D}{nR} = \frac{(0,87 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}) \cdot (0,46 \mbox{ m}^3)}{(3 \mbox{ mol}) \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right)} \simeq 161 \mbox{ K}

 

e, a questo punto, possiamo ricavare Q,W,\Delta U nel tratto CD

 

W_{CD} =  p_C (V_D - V_C) = \\ \\ =(0,87 \cdot 10^{4} \mbox{ Pa}) \cdot (0,46 \mbox{ m}^3 - 0,92 \mbox{ m}^3) \simeq - 3989 \mbox{ J}\\ \\ \\ Q_{CD} = nc_p (T_D - T_C) = \\ \\ = (3 \mbox{ mol}) \cdot \frac{7}{2} \left(\cdot 8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (161 \mbox{ K} - 321 \mbox{ K}) \simeq - 13961 \mbox{ J}\\ \\ \\ \Delta U_{CD} = nc_V (T_D - T_C) = \\ \\ =(3 \mbox{ mol}) \cdot \frac{5}{2} \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (161 \mbox{ K} - 321 \mbox{ K}) \simeq - 9972 \mbox{ J}

 

Abbiamo tutti i dati per calcolare il lavoro nella adiabatica DA

 

W_{DA} = \Delta U_{DA} =  - nc_V (T_A - T_D) = \\ \\ = -(3 \mbox{ mol}) \cdot \frac{5}{2} \cdot \left(8,31 \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}}\right) \cdot (380 \mbox{ K} - 161 \mbox{ K}) \simeq - 13649 \mbox{ J}

 

Per chiudere in bellezza, calcoliamo il lavoro nell'intero ciclo termodinamico come somma dei contributi delle singole trasformazioni

 

W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = \\ \\ = (4371 - 3989 - 13649) \mbox{ J} = - 13267 \mbox{ J}

 

Questo è anche il valore del calore scambiato in tutto il ciclo. Il gas quindi ha ceduto calore all'ambiente, subendo la medesima quantità di lavoro da parte dell'ambiente. Se provate a fare il conto, vedete che la variazione di energia interna totale è nulla, così come deve essere.

 

 


 

Il prossimo argomento di cui ci occuperemo è propedeutico per lo studio di alcuni cicli termodinamici notevoli, e trova riscontro in numerose applicazioni pratiche. Non perdetevi la lezione successiva, dedicata alla nozione di macchina termica; per tutto il resto, in particolare per esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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