Rendimento di macchine reversibili e irreversibili

Il rendimento di una macchina termica reversibile può essere calcolato con le sole temperature delle due sorgenti della macchina termica; il teorema di Carnot stabilisce che il rendimento di una macchina reversibile, a parità di temperature T1 e T2, è il limite superiore dei rendimenti delle macchine irreversibili.

 

Ora che abbiamo studiato il ciclo di Carnot, ossia il primo e più importante ciclo reversibile notevole, possiamo approfondire la nozione di rendimento di una macchina termica, di cui abbiamo già parlato nell'omonima lezione.

 

Distingueremo in particolare tra macchine termiche reversibili e irreversibili, dopodiché vedremo quali sono le formule per calcolare il rendimento di una macchina reversibile. Concluderemo analizzando il caso delle macchine irreversibili e presenteremo il teorema di Carnot, che fornisce una relazione tra quest'ultime e le macchine reversibili.

 

Macchine termiche reversibili e irreversibili

 

Così come le trasformazioni termodinamiche possono essere reversibili o irreversibili, anche le macchine termiche che realizzano cicli termodinamici possono essere reversibili o meno.

 

Ricordiamo che una trasformazione reversibile è tale se è possibile percorrerla al contrario facendo in modo che sistema e ambiente esterno tornino entrambi esattamente nel loro stato di partenza, senza subire alterazioni permanenti. Per una trasformazione irreversibile questo non è possibile.

 

La differenza tra una macchina reversibile e una macchina irreversibile riguarda fondamentalmente il rendimento.

 

Rendimento di una macchina reversibile

 

Per una macchina reversibile vale naturalmente la definizione generale di rendimento come rapporto tra il calore assorbito dal gas (sottratto alla sorgente a temperatura maggiore) e il lavoro prodotto:

 

\eta=\frac{W}{Q_A}=1-\frac{|Q_C|}{Q_A}

 

Ricordiamo che a un maggiore rendimento corrisponde una più alta percentuale di energia assorbita e convertita in lavoro, a fronte di una minore dissipazione di calore ceduto dal gas alla sorgente più fredda.

 

Si può dimostrare che la formula per il rendimento di una macchina reversibile qualsiasi è quella che abbiamo visto relativamente al ciclo di Carnot

 

\eta=1-\frac{T_1}{T_2}\ \ \mbox{con }T_1<T_2

 

dove T_1 è la temperatura della sorgente più fredda e T_2 quella della sorgente più calda. In altri termini tutte le macchine reversibili che lavorano tra due sorgenti alle temperature T_1,T_2 hanno sempre lo stesso rendimento.

 

Quale che sia la macchina reversibile che si considera, per determinarne il rendimento ci basta conoscere i valori delle temperature delle due sorgenti. Inoltre, ripensando a quanto abbiamo detto nella precedente lezione, si intuisce subito che le proprietà di una macchina reversibile sono le stesse della macchina di Carnot, in quanto la formula è la stessa:

 

- il rendimento non dipende dal gas che costituisce il sistema, poiché nella formula non compare alcuna grandezza relativa al gas (posto che per i nostri scopi consideriamo sempre sistemi costituiti da gas ideali);

 

- maggiore è il divario tra le due temperature, maggiore è il rendimento e di conseguenza maggiore è l'efficienza della macchina;

 

- per rendere la macchina più efficiente conviene diminuire la temperatura della sorgente più fredda piuttosto che aumentare quella della sorgente più calda, a parità di variazione.

 

In sintesi, per calcolare il rendimento di una macchina reversibile possiamo usufruire di due formule distinte.

 

 

Esempio: calcolo del rendimento di una macchina reversibile

 

Proviamo a calcolare il calore assorbito da una macchina reversibile che produce un lavoro di 7500 J, sapendo che la temperature della sorgente più fredda è di 300 K e che quella della sorgente a temperatura più elevata è 550 K.

 

Svolgimento: calcoliamo il rendimento usando le temperature:

 

 \eta=1-\frac{T_1}{T_2}=1-\frac{300\mbox{ K}}{550\mbox{ K}}\simeq 0,45\mbox{ K}

 

Ricorrendo alla definizione generale di rendimento

 

\eta=\frac{W}{Q_A}

 

possiamo ricavare il calore assorbito dal sistema

 

Q_{A}=\frac{W}{\eta}=\frac{7500\mbox{ K}}{0,45}\simeq 16667\mbox{ J}

 
 

Rendimento di una macchina irreversibile e teorema di Carnot

 

E se avessimo una macchina irreversibile? Per calcolarne rendimento non possiamo appoggiarci alla formula con le due temperature, poiché in tale eventualità non è più valida. Dobbiamo fare riferimento soltanto alla formula della definizione di rendimento: lavoro compiuto dalla macchina fratto calore assorbito dal sistema

 

\eta=\frac{W}{Q_A}=1-\frac{|Q_C|}{Q_A}

 

Esiste però una legge - il teorema di Carnot - secondo cui il rendimento di una macchina reversibile che lavora tra due sorgenti alle temperature T_1,T_2 rappresenta il limite superiore per il rendimento di qualunque macchina termica che lavora tra le stesse temperature.

 

La formula del teorema di Carnot è quindi

 

\eta_{irr}\leq\eta_{rev}\ \ \mbox{fissate }T_1,T_2

 

Di conseguenza, qualunque macchina irreversibile che lavora tra due sorgenti alle temperature T_1,T_2 ha un rendimento massimo pari a quello di una macchina reversibile che lavora tra le stesse temperature.

 

 

Applicazioni del teorema di Carnot negli esercizi

 

Nel corso degli studi potreste imbattervi in esercizi che chiedono di calcolare il massimo rendimento possibile per una macchina termica non reversibile.

 

Immaginiamo ad esempio di disporre di una macchina irreversibile che assorbe calore da una sorgente a 820 K e cede calore ad una sorgente a 370 K. Visto che il rendimento massimo è quello di una macchina reversibile che lavora tra le stesse temperature, scriveremo:

 

\eta_{max}=1-\frac{T_1}{T_2}=1-\frac{370\mbox{ K}}{820\mbox{ K}}\simeq 0,549=54,9\%

 

e ci fermeremo qui. :)

 

L'utilità delle macchine reversibili, che sono di difficile realizzazione nella realtà e nelle applicazioni, è che permettono di individuare un limite superiore al rendimento di una qualsiasi macchina termica che lavora tra due temperature prestabilite.

 

Una volte fissate le temperature T_1,T_2 possiamo dire qual è il rendimento massimo che potrà avere la macchina termica che intendiamo costruire. Più ci avviciniamo a quel valore, più la nostra macchina sarà ben fatta ed efficiente; nel contempo sappiamo che non potremo mai realizzare una macchina con un rendimento superiore a quello calcolato con la formula di Carnot.

 

 


 

Nella successiva lezione studieremo un nuovo ciclo reversibile notevole: il ciclo di Stirling. Se prima di proseguire volete cimentarvi con qualche esercizio, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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