Ciclo di Stirling

Il ciclo di Stirling è un ciclo termodinamico costituito da due trasformazioni isoterme e da due isocore. Fu proposto per la prima volta da Robert Stirling nel 1816 al fine di ideare l'omonima macchina termica (il motore di Stirling).

 

Dopo aver studiato le macchine reversibili e irreversibili in generale, in questa lezione proseguiamo la rassegna dei più importanti cicli termodinamici reversibili. Il primo è stato il ciclo di Carnot; ora è il turno del ciclo di Stirling.

 

Ne daremo innanzitutto la definizione elencando le trasformazioni che lo costituiscono e mostrandone un generico grafico nel piano di Clapeyron. Fatto ciò, passeremo alla formula per il rendimento del ciclo di Stirling e mostreremo come ricavarla.

 

Trasformazioni del ciclo di Stirling

 

Oltre al ciclo di Carnot esistono altri cicli reversibili che le macchine termiche possono compiere, e che in base a quanto abbiamo visto nella lezione sul rendimento delle macchine reversibili rivestono una particolare importanza nelle applicazioni pratiche. Uno di questi è il ciclo di Stirling.

 

Il grafico di un ciclo di Stirling nel piano di Clapeyron si presenta in una forma analoga alla seguente:

 

 

Ciclo di Stirling

Un ciclo di Stirling nel piano di Clapeyron.

 

 

Per definizione un ciclo di Stirling è composto da quattro trasformazioni reversibili di un gas ideale:

 

- da A a B abbiamo un'espansione isoterma, in cui il volume del gas aumenta e diminuisce la pressione

 

A\to B:\ \ T^=\ \ V^\nearrow\ \ p^\searrow

 

- da B a C la trasformazione è isocora. La temperatura cala, in quanto ci spostiamo su un'isoterma più bassa rispetto a quella passante per A e B, e la pressione diminuisce ulteriormente

 

B\to C:\ \ T^\searrow\ \ V^=\ \ p^\searrow

 

- da C a D si ha una compressione isoterma, in cui il volume diminuisce e la pressione aumenta

 

C\to D:\ \ T^=\ \ V^\searrow\ \ p^\nearrow

 

- infine da D ad A abbiamo un'isocora che incrementa sia la temperatura sia la pressione, riportando il gas nel suo stato iniziale

 

D\to A:\ \ T^\nearrow\ \ V^=\ \ p^\nearrow

 

Riepilogando, le trasformazioni di un ciclo di Stirling alternano una fase di espansione/compressione rispettivamente a una fase a volume costante, e sono date da:

 

1) un'espansione isoterma reversibile

 

2) una trasformazione a volume costante reversibile

 

3) una compressione isoterma reversibile

 

4) una trasformazione a volume costante reversibile

 

In base alle formule e alle proprietà delle trasformazioni isoterme e delle trasformazioni isocore, è facile dedurre che in una macchina di Stirling

 

- il gas assorbe calore nella fase di espansione isoterma A→B e nella fase isocora D→A;

 

- il gas cede calore nell'isocora B→C e nella compressione isoterma C→D;

 

 

Rendimento in un ciclo di Stirling

 

Nella precedente lezione abbiamo elencato tutte le formule per il rendimento delle macchine reversibili e irreversibili. Con particolare riferimento alle macchine reversibili, abbiamo visto che vale una formula più specifica rispetto a quella per il rendimento di una generica macchina termica.

 

Come mostreremo tra poco, la formula per il rendimento della macchina di Stirling è esattamente quella per il rendimento delle macchine reversibili:

 

\eta=1-\frac{T_1}{T_2}

 

dove T_1<T_2 sono rispettivamente le temperature della fase isoterma a temperatura minore (C→D) e della trasformazione isoterma a temperatura maggiore (A→B).

 

Se ad esempio disponiamo di una macchina di Stirling che lavora tra due sorgenti con temperature pari a 340 K e 700 K, il rendimento sarà:

 

\eta=1-\frac{340\mbox{ K}}{700\mbox{ K}}\simeq 0,49=49\%

 

Per quanto riguarda le proprietà della macchina di Stirling valgono inoltre le stesse proprietà già elencate per le macchine reversibili in generale, poiché la formula del rendimento è sempre la stessa:

 

- il rendimento non dipende dal particolare gas considerato, perché la formula non coinvolge alcuna delle grandezze relative al gas;

 

- per aumentare l'efficienza della macchina è necessario incrementare la differenza tra le temperature delle due sorgenti;

 

- una diminuzione della temperatura della sorgente più fredda comporta un incremento del rendimento maggiore rispetto a un aumento della temperatura della sorgente più calda, a parità di variazione considerata.

 

Dimostrazione della formula del rendimento nel ciclo di Stirling

 

Vediamo come ricavare la formula del rendimento nel caso del ciclo di Stirling. Prima di procedere è essenziale ricordare le formule per calore e lavoro nelle trasformazioni isoterme e isocore, perché saranno fondamentali nel corso della dimostrazione.

 

Partiamo dalla definizione, valida per qualunque tipo di macchina e indipendente dal tipo di ciclo che essa realizza:

 

\eta = \frac{W}{Q_A} = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_A}

 

Prima di buttarci a capofitto con i calcoli per determinare il calore ceduto Q_C e quello assorbito Q_A, dobbiamo ricordare com'è definita una macchina termica che opera tra due sorgenti, di cui una più calda (T_2) e una più fredda (T_1). Per costruzione concorrono allo scambio netto di calore solamente le sorgenti che hanno temperature costanti.

 

In un ciclo di Stirling dobbiamo prendere in considerazione solamente il calore assorbito dal gas nella trasformazione A→B (espansione isoterma) e quello ceduto dal gas nella trasformazione C→D (compressione isoterma).

 

Anche nelle due isocore avvengono scambi di calore, ma a temperature non costanti, infatti la temperatura diminuisce nella fase B→C e aumenta nel tratto D→A

 

Q_{BC}=\Delta U_{BC}=nc_{V}(T_1-T_2)<0\\ \\ Q_{DA} = \Delta U_{DA}=nc_{V}(T_2-T_1)>0

 

Il risultato è che il calore scambiato nelle due isocore non concorre al calcolo del rendimento, in quanto le due fasi si bilanciano; in termini di scambio netto, il gas assorbe calore solamente dalla sorgente a temperatura T_2 e lo cede solamente alla sorgente a temperatura T_1.

 

Nel nostro particolare ciclo il gas assorbe calore durante l'espansione isoterma da A a B, pertanto possiamo calcolarlo con l'apposita formula

 

Q_A=Q_{AB}=nRT_2\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)

 

Tale calore è positivo (quindi è assorbito dal gas) perché il rapporto tra i volumi è maggiore di 1 e, in questo caso, il logaritmo restituisce un valore maggiore di zero.

 

Al contrario, il gas cede calore durante la fase di compressione isoterma da C a D

 

Q_C=Q_{CD}=nRT_1\ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right)

 

Qui il calore è negativo (quindi è ceduto dal gas) perché il rapporto tra i volumi è minore di 1, e di conseguenza il logaritmo è minore di zero.

 

Sostituiamo Q_C,Q_A nella formula generale del rendimento:

 

\eta=1-\frac{\left|nRT_1\ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right)\right|}{nRT_2\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}

 

Se invertiamo il rapporto dei volumi V_D,V_C otteniamo una quantità positiva a numeratore e possiamo eliminare il valore assoluto. Semplifichiamo inoltre il numero di moli n e la costante dei gas perfetti R

 

\eta=1-\frac{T_1\ln\left(\frac{V_C}{V_D}\right)}{T_2\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}

 

Come si evince dalle due trasformazioni isocore, sappiamo che V_A=V_D e che V_B=V_C, dunque i rapporti tra i volumi che costituiscono gli argomenti dei logaritmi sono uguali

 

\frac{V_C}{V_D}=\frac{V_B}{V_A}

 

e i logaritmi possono essere semplificati. In questo modo ci rimane la formula che coinvolge solamente le temperature delle due sorgenti, in accordo con quanto sapevamo sul rendimento delle macchine reversibili

 

\eta=1-\frac{T_1}{T_2}

 

da cui la tesi.

 

 


 

Ora che abbiamo analizzato il ciclo di Stirling siamo pronti per fare un ulteriore passo in avanti e affrontare un nuovo ciclo reversibile: il ciclo Otto, che sarà protagonista della prossima lezione. Come al solito vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna per trovare tutte le risposte a eventuali dubbi e per consultare tonnellate di esercizi svolti passo-passo. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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