Ciclo Diesel

Il ciclo Diesel è un ciclo termodinamico che caratterizza il funzionamento dei motori Diesel, ed è costituito nell'ordine da una fase di aspirazione (isobara), una fase di compressione (adiabatica), una fase di iniezione e combustione (isobara), una fase di espansione (adiabatica), una fase di decompressione (isocora) e una fase di scarico (isobara).

 

Dopo aver studiato il ciclo Otto, alla base del funzionamento dei motori a benzina, analizziamo il ciclo Diesel e più precisamente il funzionamento dei motori Diesel. Per cominciare descriveremo ognuna delle singole trasformazioni termodinamiche che lo costituiscono e spiegheremo lo scopo di ciascuna di esse.

 

Concluderemo infine ricavando le formule per il rendimento del ciclo Diesel con le temperature da un lato e con i volumi dall'altro, proponendo un confronto rispetto al rendimento dei motori a benzina.

 

Il ciclo Diesel: funzionamento dei motori Diesel

 

Se i motori a benzina sfruttano il ciclo Otto, i motori Diesel sfruttano invece un ciclo termodinamico diverso, detto appunto ciclo Diesel.

 

Analogamente alla lezione sul ciclo Otto, introduciamo un'ipotesi esemplificativa e studiamo il ciclo Diesel teorico supponendo che la macchina termica che realizza il ciclo sia reversibile.

 

Ecco come il ciclo Diesel si presenta graficamente sul piano di Clapeyron:

 

 

Ciclo diesel

 Ciclo Diesel nel piano di Clapeyron.

 

 

Prima di analizzare il ciclo un tratto alla volta, a partire dal punto O, riassumiamone le varie fasi.

 

 

Fase di aspirazioneTrasformazione isobara
Fase di compressioneCompressione adiabatica
Fase di iniezione e combustioneTrasformazione isobara
Fase di espansioneEspansione adiabatica
Fase di decompressioneTrasformazione isocora
Fase di scaricoTrasformazione isobara

 


In O→A la miscela aria-carburante viene aspirata all'interno del cilindro (fase di aspirazione). Si ha una espansione isobara, con aumento di volume fino a V_3 e mantenimento del valore della pressione costante. 

 

In A→B si ha una compressione adiabatica reversibile della miscela (fase di compressione), in cui è nullo lo scambio di calore. Il volume si riduce fino al valore V_1 che la miscela aveva in O, mentre aumentano pressione e temperatura.

 

In B→C si ha una espansione isobara (fase di iniezione e combustione): la miscela si incendia, la pressione rimane costante mentre il suo volume aumenta fino al valore V_2. In questa fase la miscela assorbe calore dall'ambiente secondo la formula per il calore scambiato nelle trasformazioni isobare.

 

Q_A = nc_p \left( T_C - T_B \right)

 

Dalla formula appare chiaro che il calore viene assorbito dalla miscela. Si tratta infatti di una quantità positiva, visto che tra parentesi compare una differenza in cui T_C è maggiore di T_B.

 

Proseguendo nel ciclo troviamo un'altra adiabatica reversibile in C→D (fase di espansione), in cui la miscela si espande ancora fino al volume V_3, con diminuzione di temperatura e di pressione ma senza scambi di calore.

 

Poi, in D→A, la miscela subisce una trasformazione isocora reversibile (fase di decompressione), in cui la pressione e la temperatura calano e il volume resta costante e pari a V_3. In questa fase il gas cede calore all'ambiente secondo la formula per le trasformazioni isocore.

 

Q_C = nc_V \left( T_A - T_D \right)

 

Qui la differenza tra le due temperature restituisce un valore negativo, dal momento che T_A<T_D. Lo si capisce graficamente per il fatto che A si trova su un ramo di iperbole equilatera (cfr. isoterma) disegnata più in basso rispetto a quella che passa per D. Così, il calore scambiato in questo tratto del ciclo è negativo e ciò significa che si tratta di calore che il gas ha ceduto.

 

Da ultimo, in A→O si ha un'isobara (fase di scarico): si apre la valvola di scarico e il gas prodotto nella combustione viene espulso fuori dal cilindro. Il volume diminuisce così fino a V_1, mentre la pressione si mantiene costante.

 

Rendimento in un ciclo Diesel

 

Il ciclo Diesel effettivo è dato dalle quattro trasformazioni ABCDA, ed è su di esso che è possibile calcolare il rendimento, aiutandoci con le formule del calore assorbito e di quello ceduto che abbiamo scritto in precedenza.

 

Scriviamo la formula del rendimento

 

\eta = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_A}

 

e sostituiamo i rispettivi valori

 

\eta = 1 - \frac{| nc_V \left( T_A - T_D \right) |}{nc_p \left( T_C - T_B \right)}

 

Dopo aver semplificato il numero di moli n, invertiamo l'ordine delle temperature a numeratore in modo che il calore ceduto diventi positivo e il valore assoluto si renda inutile.

 

\eta = 1 - \frac{c_V \left( T_D - T_A \right) }{c_p \left( T_C - T_B \right)} = \\ \\ \\ =1 - \frac{ \left( T_D - T_A \right) }{\gamma \left( T_C - T_B \right)}

 

Da qui, la formula per il rendimento nel ciclo Diesel con le temperature:

 

\eta=1 - \frac{ \left( T_D - T_A \right) }{\gamma \left( T_C - T_B \right)}

 

Ecco dunque un'espressione del rendimento del ciclo Diesel in cui vengono coinvolti tutti i valori di temperatura toccati dal ciclo. Un po' come accadeva per il ciclo di Carnot, è sufficiente conoscere le temperature del ciclo per sapere qual è il rendimento della macchina che lo esegue.

 

Il problema concreto però è che in una macchina termica che opera seguendo il ciclo Diesel è difficile conoscere e misurare le temperature nei vari punti del ciclo. Sarebbe invece più utile e interessante poter calcolare il rendimento della macchina a partire dai volumi in gioco. In effetti, i costruttori dei motori Diesel conoscono bene i volumi in ogni fase del ciclo ed è su questi che ragionano per ottimizzare il rendimento.

 

Sulle orme di quanto fatto per il ciclo Otto, dunque, possiamo esprimere il rendimento non in funzione delle temperature quanto piuttosto in funzione dei volumi (V_1,V_2,V_3). Per far questo definiamo due rapporti di volumi:

 

- il primo è il rapporto tra V_2 e V_1, chiamato rapporto di combustione a pressione costante, che indichiamo con la lettera C:

 

C=\frac{V_2}{V_1}

 

- il secondo è il rapporto tra i volumi V_3 e V_1 che prende il nome di rapporto di compressione volumetrico, e che indichiamo con r:

 

r=\frac{V_3}{V_1}\ \ ;\ \ \frac{1}{r}=\frac{V_1}{V_3}

 

Ora consideriamo le due trasformazioni adiabatiche del ciclo (A→B, C→D) e scriviamone le equazioni:

 

T_DV_3^{\gamma - 1} = T_CV_2^{\gamma - 1}\\ \\ T_AV_3^{\gamma - 1} = T_BV_1^{\gamma - 1}

 

Da queste due equazioni ricaviamo che:

 

\frac{T_D}{T_C} = \left( \frac{V_2}{V_3}  \right)^{\gamma - 1}\\ \\ \\ \frac{T_B}{T_A} = \left( \frac{V_3}{V_1}  \right)^{\gamma - 1} = r^{\gamma - 1}

 

Tieniamo da parte questi risultati e consideriamo la trasformazione isobara B→C: sappiamo che per questa trasformazione il rapporto tra le temperature è uguale al rapporto tra i volumi, pertanto possiamo scrivere:

 

\frac{T_C}{T_B} = \frac{V_2}{V_1} = C

 

Riprendiamo la formula scritta più in alto per il rapporto tra \frac{T_D}{T_C}, e modifichiamola dividendo e moltiplicando per V_1:

 

\frac{T_D}{T_C} = \left( \frac{V_2}{V_3}  \right)^{\gamma - 1}\\ \\ \\ \frac{T_D}{T_C} = \left( \frac{V_2}{V_1} \cdot \frac{V_1}{V_3}  \right)^{\gamma - 1}\\ \\ \\  \frac{T_D}{T_C} =\left( \frac{C}{r} \right)^{\gamma - 1}

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso delle definizioni di C e r. Questo passaggio è utile per riscrivere in un'altra forma il rapporto \frac{T_D}{T_A}:

 

\frac{T_D}{T_A} = \frac{T_D}{T_C} \cdot \frac{T_C}{T_B} \cdot \frac{T_B}{T_A}

 

Sfruttando quanto trovato in precedenza, ossia

 

\frac{T_D}{T_C} = \left( \frac{C}{r} \right)^{\gamma - 1}\ \ ;\ \ \frac{T_C}{T_B} = C\ \ ;\ \ \frac{T_B}{T_A} = r^{\gamma - 1}

 

ricaviamo

 

\frac{T_D}{T_A} = \left( \frac{C}{r} \right)^{\gamma - 1} \cdot C \cdot r^{\gamma - 1}\\ \\ \\ \frac{T_D}{T_A} = C^{\gamma}

 

Ora finalmente abbiamo tutto ciò che ci occorre per riscrivere la formula del rendimento in funzione dei parametri C e r. Serve solo un po' di semplice lavoro algebrico:

 

\eta = 1 - \frac{ \left( T_D - T_A \right) }{\gamma \left( T_C - T_B \right)} = 1 - \frac{ T_A\left( \frac{T_D}{T_A} - 1 \right) }{\gamma T_B \left( \frac{T_C}{T_B} - 1 \right)}= 1 - \frac{T_A}{T_B}\cdot \frac{ \frac{T_D}{T_A} - 1 }{\gamma \left(\frac{T_C}{T_B} - 1\right)}

 

da cui la formula per il rendimento del ciclo diesel in funzione dei volumi

 

\eta= 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} \cdot \frac{C^{\gamma} - 1}{\gamma \left( C - 1 \right)}\\ \\ \\ \mbox{con }C=\frac{V_2}{V_1}\ \ ;\ \ r=\frac{V_3}{V_1}

 

Noti i volumi e di conseguenza noti anche i rapporti C e r, siamo in grado di calcolare il rendimento di una macchima che esegue il ciclo Diesel.

 

 

Confronto tra ciclo Diesel e ciclo Otto

 

Da notare che la prima parte della formula

 

\eta = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}}

 

coincide con il rendimento del ciclo Otto. In quello Diesel si aggiunge però il fattore maggiore di 1 sul secondo addendo

 

\frac{C^{\gamma} - 1}{\gamma \left( C - 1 \right)}

 

A parità di rapporto di compressione il ciclo Otto presenta un rendimento più alto, ma bisogna dire che le macchine che sfruttano il ciclo Diesel riescono a raggiungere rapporti di compressione più elevati. Pertanto, di norma, un motore Diesel risulta avere un rendimento più alto di un motore a benzina e ciò si traduce in una riduzione del carburante usato a parità di performance.

 

 


 

Nella prossima lezione smetteremo di parlare di motori e passeremo ad analizzare il ciclo frigorifero, che non ha bisogno di particolari presentazioni in termini di utilizzo. ;) Come al solito vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna nel caso vogliate consultare esercizi risolti e/o eventuali approfondimenti.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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