Secondo principio della Termodinamica

Il secondo principio della Termodinamica si presenta in due formulazioni, rispettivamente dovute a Kelvin-Plank e a Clausius, ed equivalenti tra loro. La prima stabilisce che in un processo termodinamico il calore non può essere integralmente convertito in energia; la seconda che il calore non fluisce spontaneamente da un corpo più freddo a uno più caldo.

 

State per leggere la lezione dedicata alla seconda pietra miliare dell'intero corso. Il secondo principio della Termodinamica ci fornirà le risposte a svariate domande finora irrisolte, completando la regola di bilancio energetico sancita dal primo principio, e traducendo sotto forma di legge fisica la direzionalità dello scorrere del tempo.

 

Partiremo con una serie di osservazioni e di esempi, da cui capiremo perché il primo principio da solo non è sufficiente a descrivere i fenomeni fisici. Passeremo quindi a enunciare il secondo principio della Termodinamica in due formulazioni, analizzandone il significato e le conseguenze; da ultimo, proveremo che i due enunciati sono equivalenti tra loro.

 

Verso il secondo principio della Termodinamica

 

Sappiamo che il primo principio della termodinamica è di fatto la legge di conservazione dell'energia per i processi termodinamici. Chiunque si cimenti con i problemi riguardanti trasformazioni e cicli termodinamici sa quanto il primo principio sia importante e utile.

 

Il primo principio da solo però non è in grado di fornire un quadro completo della Termodinamica, infatti esso ci dice in che modo è possibile convertire una forma di energia in un'altra, senza porre alcun limite. Eppure esistono fenomeni che pongono limitazioni evidenti alla trasformazione dell'energia.

 

Immaginiamo di avere appena preparato una bella tazza di thè bollente. Cosa facciamo? Aspettiamo perché sappiamo che, col passare del tempo, il calore fluisce verso l'ambiente circostante e il thè si raffredda.

 

In natura si osserva che, quando si mettono in contatto termico due corpi a diversa temperatura, il calore fluisce sempre in modo spontaneo dal corpo più caldo a quello più freddo, e che non accade mai il contrario. D'altra parte a nessuno di noi sarà mai capitato di vedere l'acqua in un pentolino scaldarsi e cominciare a bollire da sola.

 

Se si considera solamente il primo principio della Termodinamica, un fenomeno assurdo come il precedente non è escluso a priori. Poiché l'aria possiede una certa quantità di energia interna, il primo principio non vieta che parte di tale energia si trasferisca alla tazza di tè per riscaldarlo; da un punto di vista puramente energetico, il primo principio lo consentirebbe. Nessuna delle leggi di conservazione dell'energia a noi note finora lo impedirebbero, eppure fenomeni del genere non avvengono mai in natura. Perché?

 

Il processo di trasferimento di calore da un corpo a un altro a temperatura maggiore è possibile, ma va forzato: è necessario spendere del lavoro, ed è quello che accade ad esempio con le macchine frigorifere. In assenza di una tale forzatura, il fenomeno sarebbe impossibile.

 

Appare chiaro inoltre che i fenomeni fisici seguono una determinata direzionalità in relazione al tempo. Osserviamo un vaso di vetro che cade dal bordo di un tavolo: lo vediamo muoversi in verticale verso il basso di moto uniformemente accelerato, per via della gravità, toccare il pavimento e infrangersi in una miriade di piccoli pezzi che si spargono ovunque. Se ci capitasse di vedere i frammenti di vetro sul pavimento muoversi tutti verso uno stesso punto, ricongiungersi, riformare il vaso distrutto e infine vedere quest'ultimo risalire in verticale e appoggiarsi sul bordo del tavolo, cosa penseremmo? Di essere impazziti, sicuramente! Se vedessimo tali immagini su uno schermo, penseremmo semplicemente che il filmato stia andando alla rovescia.

 

Il fatto che in natura il vaso cada in verticale verso il basso e si rompa e non il contrario, e allo stesso modo che il passaggio del calore avvenga dai corpi caldi a quelli freddi, ci dà il senso dello scorrere in avanti del tempo. Anche in questo frangente è del tutto lecito domandarsene il perché.

 

Alla luce di tali osservazioni è evidente che la natura debba seguire un'ulteriore legge, che si aggiunge al primo principio della Termodinamica. Il secondo principio della Termodinamica è proprio la legge che affronta il problema della direzionalità temporale degli eventi: esso ci porterà all'introduzione di una nuova grandezza, tanto importante quanto ostica, detta entropia. Impareremo così ad affrontare i fenomeni fisici non più solamente da un punto di vista energentico, ma anche da una nuova prospettiva.

 

Enunciati del secondo principio della Termodinamica

 

Dalle precedenti considerazioni segue la necessità di una nuova legge, che spieghi la direzionalità temporale dei fenomeni fisici. L'impossibilità che certe cose possano accadere in modo spontaneo ha portato alla formulazione del secondo principio della Termodinamica, che si presenta con due diversi enunciati.

 

Vediamoli entrambi ma non prima di aver ricordato che, trattandosi di un principio, è una legge che è frutto dell'esperienza: pur essendo verificato empiricamente non ne esiste una vera e propria dimostrazione.

 

 

Enunciato del secondo principio della Termodinamica di Kelvin-Planck

 

È impossibile realizzare una trasformazione termodinamica che abbia come unico risultato la completa trasformazione in lavoro del calore assorbito da una sorgente a temperatura costante.

 

 

Enunciato del secondo principio della Termodinamica di Clausius

 

È impossibile realizzare un processo termodinamico che abbia come unico risultato il passaggio di calore da un corpo a temperatura minore ad uno a temperatura maggiore.

 

Significato del secondo principio della Termodinamica

 

Conoscevamo già i principi esposti nei precedenti enunciati, ma ora abbiamo una formulazione chiara e precisa di ciò che è impossibile da realizzare. Analizziamo il significato delle due versioni del secondo principio della Termodinamica contestualizzandole alla teoria a noi nota.

 

Soffermiamoci sull'enunciato di Kelvin-Planck:

 

è impossibile realizzare una trasformazione termodinamica che abbia come unico risultato la completa trasformazione in lavoro del calore assorbito da una sorgente a temperatura costante.

 

Quando abbiamo descritto le macchine termiche e abbiamo analizzato i cicli termodinamici che esse possono realizzare, abbiamo sempre considerato macchine termiche che lavorano tra due sorgenti di calore a diverse temperature.

 

Pur non avendolo fatto, avremmo potuto chiederci: perché bisogna necessariamente avere due sorgenti? Non ne basterebbe solo una da cui assorbire calore da trasformare in lavoro? La risposta è no. Se avessimo una sola sorgente, la macchina avrebbe la possibilità di assorbire calore da essa e di convertirlo interamente in lavoro, violando così il secondo principio della Termodinamica. Non ci sarebbe infatti la seconda sorgente, a cui cedere quella parte del calore assorbito che la macchina non è riuscita a trasformare in lavoro.

 

Una conseguenza diretta dell'enunciato di Kelvin-Plank è l'impossibilità di costruire una macchina che abbia un rendimento del 100%. Non potendo trasformare tutto il calore assorbito in lavoro, ci deve sempre essere una frazione di calore che la macchina non è in grado di utilizzare e che viene scartato, cosicché il lavoro risulta sempre minore del calore assorbito.

 

Essendo il rendimento dato dal rapporto tra il lavoro prodotto e il calore assorbito

 

\eta=\frac{W}{Q_A}

 

tale rapporto sarà sempre minore di 1 e dunque, in percentuale, inferiore al 100%.

 

Passiamo all'enunciato di Clausius:

 

è impossibile realizzare un processo termodinamico che abbia come unico risultato il passaggio di calore da un corpo a temperatura minore ad uno a temperatura maggiore.

 

Esso stabilisce che un passaggio spontaneo di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo è impossibile. Se appoggiamo un cubetto di ghiaccio su una padella calda, vediamo il cubetto di ghiaccio riscaldarsi e cominciare a fondere, mentre il fondo della padella si raffredda. Non accadrà mai di vedere il ghiaccio raffreddarsi sempre di più e al contempo il fondo della padella diventare sempre più rovente.

 

C'è dunque una direzionalità temporale nel modo con cui avvengono i fenomeni spontanei che non può essere violata, e che viene talvolta chiamata freccia del tempo.

 

Se osserviamo su uno schermo l'immagine di un grosso blocco di ghiaccio che si stacca da una scogliera in Antartide, cadendo in mare, abbiamo la percezione di aver assistito ad un fenomeno naturale dovuto all'innalzamento della temperatura. Se ora sullo stesso schermo guardiamo i frammenti di ghiaccio sollevarsi dal mare, ricomporsi e formare un grosso blocco che risale e si attacca alla scogliera, allora capiamo subito che il video è proiettato al contrario. La direzionalità di cui parlavamo ci dice in che direzione scorre il tempo.

 

Attenzione a non fraintendere l'enunciato di Clausius. Un passaggio di calore in verso opposto a quanto accade spontaneamente è possibile: le macchine frigorifere hanno proprio questo compito, ma il passaggio di calore dal corpo più freddo a quello più caldo non rappresenta "l'unico" risultato. Affinché ciò sia possibile, l'ambiente esterno deve spendere lavoro e così alla fine del processo abbiamo due risultati: il passaggio forzato di calore dal corpo a temperatura minore a quello a temperatura maggiore e la sottrazione di energia all'ambiente sotto forma di lavoro. In questo modo l'enunciato di Clausius non è violato; esso ci dice che è impossibile realizzare tale passaggio di calore senza che venga esercitato lavoro sul sistema.

 

Quest'ultimo esempio ci fa comprendere che i punti chiave dell'enunciato di Clausius sono l'espressione unico risultato e la spontaneità dei fenomeni a cui si riferisce.

 

Equivalenza dei due enunciati del secondo principio della Termodinamica

 

I due enunciati del secondo principio della termodinamica non potrebbero apparire più diversi di come si presentano.

 

Quello di Kelvin ci parla dell'impossibilità di realizzare un processo che assorba calore e lo trasformi al 100% in lavoro.

 

Quello di Clausius ci dice che non avverrà mai un passaggio di calore spontaneo da un corpo più freddo ad uno più caldo.

 

Sembra che non vi siano punti di contatto tra i due enunciati, eppure è possibile dimostrare che se si vìola il primo enunciato, allora si incorre nella violazione del secondo, e viceversa.

 

 

Dimostrazione dell'equivalenza dei due enunciati del secondo principio della Termodinamica

 

Vediamo innanzitutto come, negando l'enunciato di Kelvin, si finisce per negare anche quello di Clausius.

 

Supponiamo che sia possibile costruire una macchina termica che lavori con una sola sorgente. In questo modo tutto il calore assorbito da tale sorgente viene integralmente convertito in lavoro, sicché vale la relazione:

 

W=Q_A

 

Se utilizziamo il lavoro prodotto per mettere in funzione una macchina frigorifera, possiamo assorbire calore da una sorgente fredda e trasferirlo alla sorgente calda

 

 

Secondo principio della Termodinamica

Violare l'enunciato di Kelvin del secondo principio della Termodinamica
implica una violazione dell'enunciato di Clausius.

 

 

Il sistema complessivo che abbiamo creato con la combinazione delle due macchine ha come unico risultato il trasferimento di calore dalla sorgente fredda a quella calda, in contrasto con l'enunciato di Clausius. Infatti tutto il lavoro prodotto dalla prima macchina, il motore ideale, è interamente assorbito dalla seconda.

 

Inoltre, la macchina frigorifera cede più calore alla sorgente calda di quanto non ne assorba il motore ideale. Supponendo possibile poter trasformare integralmente in lavoro il calore assorbito da una sorgente, siamo riusciti a trasferire calore da una sorgente fredda ad un calda senza spendere lavoro. Ciò non è consentito dal secondo principio della Termodinamica nella formulazione di Clausius.

 

Vediamo la dimostrazione inversa e violiamo l'enunciato di Clausius. Supponiamo che sia possibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia il passaggio di calore da una sorgente a temperatura inferiore a una a temperatura superiore.

 

Inseriamo tra le due sorgenti una macchina termica che operi normalmente, ovvero che assorba calore Q_A dalla sorgente più calda, trasformi una parte di tale calore in lavoro W e ceda la restante parte Q_C alla sorgente più fredda.

 

 

Equivalenza enunciati del secondo principio della Termodinamica

Violare l'enunciato di Clausius del secondo principio della Termodinamica 
implica una violazione dell'enunciato di Kelvin.

 

 

Possiamo calibrare la macchina in modo che la quantità di calore che essa assorbe sia uguale al calore precedentemente ceduto alla sorgente più calda, in seguito al trasferimento di calore avvenuto dalla sorgente più fredda (Q_A=Q).

 

In questo modo lo scambio di calore complessivo della macchina con la sorgente a temperatura più alta è zero; è come se questa sorgente non esistesse. L'unico risultato che abbiamo ottenuto dunque è l'assorbimento di una quantità di calore pari a Q-Q_C dalla sorgente più fredda, e una trasformazione totale di questo calore nel lavoro W prodotto dalla macchina.

 

Abbiamo così violato l'enunciato di Kelvin, secondo il quale non è possibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la conversione integrale di calore in lavoro.

 

 

Osservazione (sincronismo delle macchine nella dimostrazione dell'equivalenza)

 

Abbiamo messo in evidenza l'equivalenza dei due enunciati del secondo principio della Termodinamica: negarne uno significa negare anche l'altro.

 

Nelle dimostrazioni precedenti abbiamo costruito dei sistemi composti da due macchine supponendo implicitamente che esse lavorassero assieme in sincronia, e cioè che completassero entrambe lo stesso numero di cicli nello stesso tempo. Si tratta di una semplificazione che ci ha permesso di arrivare alle nostre conclusioni in modo più semplice, ma si può dimostrare che tale ipotesi non rappresenta una limitazione: i risultati ottenuti hanno comunque validità generale.

 

 


 

La prossima lezione sarà interamente dedicata al teorema di Clausius, dopodiché introdurremo la nuova, fondamentale grandezza che abbiamo menzionato nel corso della spiegazione: l'entropia. Un po' più in là, invece, chiuderemo il cerchio trattando il terzo principio della Termodinamica.

 

Come sempre, per qualsiasi dubbio e/o per scegliere tra tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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