Entropia

L'entropia è una grandezza che caratterizza i sistemi termodinamici e che viene definita in termini di variazione tra due stati. La variazione di entropia è data dall'integrale del rapporto tra il calore scambiato e la temperatura, e dipende solamente dallo stato iniziale e da quello finale.

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo studiato il secondo principio della Termodinamica e abbiamo scoperto che i processi termodinamici spontanei rispettano una specifica direzionalità temporale. Ne abbiamo fornito due enunciati, ma a ben vedere nessuna formulazione matematica. A seguire abbiamo esposto un risultato teorico - il teorema di Clausius - relativo alle trasformazioni termodinamiche di qualsiasi tipo, e abbiamo detto che avrebbe svolto il ruolo di prerequisito per l'introduzione di una nuova grandezza...

 

... Ed eccoci qui. L'entropia è forse la nozione più importante della Termodinamica, perché consente di formalizzare quanto affermato dal secondo principio e di descrivere rigorosamente i fenomeni termodinamici in una nuova prospettiva. Per riuscirci però serve un po' di lavoro: il punto di partenza è la definizione di entropia, o meglio della variazione di entropia. Cominciamo :)

 

Entropia e trasformazioni reversibili

 

Veniamo a una delle grandezze più importanti della Fisica e allo stesso tempo una delle più difficili da comprendere: l'entropia. Proveremo a sviluppare il concetto di entropia, a definirlo come una vera e propria grandezza fisica e a spiegarne tutte le implicazioni in questa lezione e nelle successive.

 

Cominciamo a vedere in che modo l'entropia fa la sua comparsa a partire da ciò che conosciamo già. Consideriamo due diversi stati termodinamici e immaginiamo di muoverci dallo stato A allo stato B mediante due diverse trasformazioni reversibili.

 

 

Entropia

Introduzione al concetto di entropia:
trasformazioni reversibili tra due stati termodinamici.

 

 

Invertiamo il senso di percorrenza della trasformazione 2 in modo da ottenere un ciclo termodinamico che va da A a B tramite la trasformazione 1, e che torna in A mediante la trasformazione 2 percorsa in senso inverso.

 

Per il teorema di Clausius nel caso reversibile (uguaglianza) sappiamo che:

 

\oint{\frac{dQ}{T}} = 0

 

L'integrale sull'intero ciclo, d'altronde, è dato dalla somma dell'integrale da A a B lungo la trasformazione 1 e di quello da B ad A lungo la trasformazione 2

 

\oint{\frac{dQ}{T}} = \left( \int_A^B{\frac{dQ}{T}} \right)_1 + \left( \int_B^A{\frac{dQ}{T}}\right)_{-2}

 

In accordo con le proprietà degli integrali, possiamo invertire gli estremi di integrazione del secondo integrale a patto di cambiarne il segno. Sappiamo inoltre che se invertiamo il verso di percorrenza di una trasformazione reversibile, il calore scambiato cambia di segno:

 

\oint{\frac{dQ}{T}} = \left( \int_A^B{\frac{dQ}{T}} \right)_1 - \left( \int_A^B{\frac{dQ}{T}} \right)_2

 

Da qui si ricava che i due integrali tra A e B sono uguali tra di loro.

 

\left( \int_A^B{\frac{dQ}{T}} \right)_1 = \left( \int_A^B{\frac{dQ}{T}} \right)_2

 

Poiché le trasformazioni 1 e 2 sono state scelte in modo del tutto casuale (non abbiamo specificato con che tipo di trasformazioni reversibili stessimo ragionando), non importa quale trasformazione termodinamica si stia seguendo: l'integrale da A a B che abbiamo scritto prima assume sempre lo stesso valore.

 

Questo è un risultato importante perché stabilisce che, per calcolare l'integrale, non ci serve conoscere la funzione lungo la quale muoverci; ci basta solamente conoscere gli stati iniziale e finale.

 

Entropia come funzione di stato e variazione di entropia

 

L'integrale da A a B lungo una qualsivoglia trasformazione reversibile viene considerato per definizione come variazione di una nuova grandezza, detta entropia e denotata con la lettera S

 

\int_A^B{\frac{dQ}{T}} = S_B - S_A = \Delta S

 

La variazione di entropia tra due stati termodinamici, per come è definita, dipende solo dallo stato iniziale A e da quello finale B e non dipende in alcun modo dalla trasformazione reversibile seguita. In altri termini, l'entropia S è una funzione di stato (in modo del tutto analogo rispetto all'energia interna di un gas U).

 

Come potete notare, qui abbiamo parlato di variazione di entropia \Delta S. In effetti è proprio il concetto di variazione quello che ci interessa, e che si dimostrerà interessante nello sviluppo della teoria.

 

 

Entropia associata a uno stato termodinamico

 

Per sapere qual è l'entropia associata a un particolare stato termodinamico possiamo rielaborarne la definizione, che è data in termini di variazione.

 

Consideriamo uno stato C di riferimento in cui il valore di entropia vale S_C. Possiamo dire che la variazione di entropia dallo stato C allo stato A lungo una qualsiasi trasformazione reversibile è data da:

 

S_A -  S_C = \int_C^A{\frac{dQ}{T}}

 

da cui

 

S_A = \int_C^A{\frac{dQ}{T}} + S_C

 

Se volessimo conoscere il valore di entropia in B, potremmo fare la stessa cosa appongiandoci sempre allo stato di riferimento C.

 

S_B -  S_C = \int_C^B{\frac{dQ}{T}}\ \ \to\ \ S_B = \int_C^B{\frac{dQ}{T}}  + S_C

 

In sintesi, l'entropia associata a uno stato termodinamico è determinata a meno di una costante arbitraria. Nel momento in cui siamo interessati alla differenza di entropia tra gli stati A e B, la costante S_C scompare e non ci interessa conoscerne il valore.

 

In conclusione, l'entropia in un particolare stato è definita a meno di una costante arbitraria; la variazione di entropia è invece perfettamente definita.

 

 

Entropia e trasformazioni irreversibili

 

Fin qui abbiamo sempre parlato di trasformazioni reversibili. Come si configura la definizione di entropia rispetto a una trasformazione irreversibile da A a B, e in che modo possiamo calcolare la relativa variazione di entropia?

 

Per come è stata definita, l'entropia è una funzione di stato e dipende quindi solo dagli stati A e B. Possiamo quindi pensare di muoverci da A a B attraverso una trasformazione reversibile qualsiasi, e calcolare la corrispondente variazione di entropia lungo tale trasformazione. Così facendo \Delta S non dipende dal tipo di trasformazione seguita, e non è necessario specificare niente in merito alla reversibilità di quest'ultima.

 

Formula di calcolo dell'entropia

 

Concludiamo con una nota di carattere pratico sul calcolo della variazione di entropia di un sistema soggetto a una trasformazione o a un qualsiasi processi termodinamico.

 

La formula per il calcolo dell'entropia nel caso generale è quella data dalla definizione, e coinvolge gli integrali:

 

\Delta S=\int_A^B{\frac{dQ}{T}}

 

Se la temperatura è funzione del calore nel corso del processo tra gli stati A e B non possiamo fare altro che scriverne l'espressione analitica e procedere con il calcolo dell'integrale.

 

Se però la temperatura è costante indipendentemente dallo scambio di calore nel corso della trasformazione, possiamo affidarci alla formula semplificata

 

\Delta S=\frac{Q}{T}

 

dove T è il valore di temperatura costante e Q è il calore scambiato nel processo, da intendersi positivo se assorbito dal sistema di cui stiamo calcolando la variazione di entropia, negativo se ceduto.

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui. Nella lezione successiva approfondiremo il concetto di variazione di entropia: introdurremo innanzitutto un nuovo metodo di rappresentazione delle trasformazioni termodinamiche, il piano entropia-temperatura, e vedremo come usarlo per calcolare la variazione di entropia nelle principali trasformazioni.

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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