Variazione di entropia nelle trasformazioni termodinamiche

La variazione di entropia nelle principali trasformazioni reversibili può essere calcolata facilmente con l'ausilio del piano T-S. Se si considera la temperatura T in funzione dell'entropia S, nel piano T-S l'area del grafico di T(S) tra due stati ha il significato geometrico di calore scambiato nella trasformazione.

 

In questa lezione proseguiremo lo studio dell'entropia e adotteremo un approccio pratico, introducendo il piano entropia-temperatura (detto anche piano T-S). Come vedremo, il piano T-S è estremamente comodo perché permette di calcolare velocemente il calore scambiato nelle trasformazioni termodinamiche.

 

Da parte nostra ci concentreremo esclusivamente su alcune trasformazioni reversibili notevoli (trasformazioni cicliche reversibili, isoterme reversibili, adiabatiche reversibili), analizzandole nel piano T-S e calcolando le corrispondenti variazioni di entropia.

 

Entropia, temperatura e calore nel piano T-S

 

Abbiamo visto in che modo nasce il concetto di entropia e come è definita la sua variazione per una qualsiasi trasformazione tra due stati termodinamici A e B. Sappiamo anche che l'entropia è una funzione di stato e che quindi la sua variazione non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi della trasformazione.

 

Nel corso di Termodinamica siamo sempre stati abituati a lavorare sul piano di Clapeyron, dove si rappresenta al pressione in funzione del volume. Se vogliamo lavorare con l'entropia, la scelta più conveniente è un'altra: considereremo infatti un piano cartesiano in cui collochiamo la temperatura T sull'asse y e l'entropia S sull'asse x, detto piano T-S.

 

 

Trasformazione termodinamica nel piano entropia-temperatura

Rappresentazione di una trasformazione sul piano T-S (entropia-temperatura).

 

 

Così facendo abbiamo una rappresentazione della temperatura in funzione dell'entropia. Il vantaggio di tale scelta sta nel fatto che l'area sottesa dal grafico della funzione T=T(S) da A a B coincide con il calore scambiato nella trasformazione da A a B.

 

Per capirlo ripartiamo dalla definizione di entropia in termini di variazione infinitesimale dS

 

dS = \frac{dQ}{T}

 

Da qui possiamo ricavare il calore dQ

 

dQ = T(S) dS

 

e dunque

 

Q = \int_A^B{T(S) dS}

 

dove abbiamo indicato esplicitamente che la temperatura è funzione dell'entropia. Per via del significato geometrico dell'integrale definito, si vede che il calore scambiato è uguale all'area sottesa al grafico della funzione T(S). Abbiamo quindi una situazione simile a quella vista per il lavoro nel piano di Clapeyron (pressione in funzione del volume).

 

In accordo con le proprietà degli integrali:

 

- se percorriamo il grafico di T(S) da sinistra a destra, il calore è positivo (assorbito dal sistema);

 

- se percorriamo il grafico di T(S) da destra a sinistra, il calore è negativo (ceduto dal sistema).

 

Variazione di entropia e trasformazioni reversibili notevoli

 

Con tali premesse e con l'ausilio del piano T-S, vogliamo provare a calcolare la variazione di entropia per alcune trasformazioni particolari, aiutandoci con i grafici.

 

Attenzione a non fare confusione: l'entropia è pur sempre una funzione di stato e ha variazioni che dipendono solamente dagli stati iniziale e finale; quel che vogliamo fare è considerare alcune trasformazioni termodinamiche notevoli e analizzarne le caratteristiche dal punto di vista dell'entropia, dunque lavorare nel piano T-S (e non nel piano di Clapeyron).

 

 

Variazione di entropia in un ciclo termodinamico reversibile

 

Se consideriamo una trasformazione ciclica reversibile, avremo nel piano T-S una curva chiusa:

 

 

Ciclo termodinamico reversibile nel piano entropia-temperatura

Ciclo termodinamico reversibile nel piano S-T.

 

 

Essendo l'entropia una funzione di stato, per un ciclo lo stato iniziale e quello finale coincidono e pertanto la variazione di entropia sull'intero ciclo è nulla.

 

\Delta S=0

 

Se andiamo da A a B seguendo la parte superiore del ciclo, ci stiamo muovendo da sinistra verso destra: per quanto detto in precedenza:

 

- l'area sottesa da questa parte del ciclo corrisponde al calore assorbito dal gas dalla sorgente a temperatura maggiore;

 

- l'area sottesa dalla parte di grafico sottostante da B ad A corrisponde al calore ceduto dal gas alla sorgente a temperatura minore.

 

Si vede quindi, in termini puramente grafici, che il calore ceduto è minore di quello assorbito.

 

 

Calore assorbito e ceduto in un ciclo termodinamico reversibile nel piano entropia-temperatura

Calore assorbito e calore ceduto in un ciclo termodinamico reversibile: 
analisi nel piano T-S.

 

 

La differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto equivale al lavoro compiuto dalla macchina termica che realizza il ciclo. Graficamente, se sottraiamo l'area corrispondente al calore ceduto a quella corrispondente al calore assorbito, troviamo l'area della regione di piano racchiusa dentro il ciclo. Quest'area equivale al lavoro compiuto e nel caso considerato è positivo, dunque esercitato dal sistema sull'ambiente esterno.

 

Se invece invertissimo il verso delle frecce nel ciclo in figura, il calore ceduto sarebbe maggiore di quello assorbito e il lavoro compiuto sarebbe negativo, dunque esercitato dall'ambiente esterno sul sistema.

 

 

Variazione di entropia in una trasformazione isoterma reversibile

 

Consideriamo una trasformazione isoterma reversibile: la temperatura rimane costante, pertanto nel piano T-S essa verrà rappresentata da una linea orizzontale, come accadeva per le isobare nel piano di Clapeyron.

 

 

Trasformazione isoterma reversibile nel piano entropia-temperatura

Trasformazione isoterma reversibile nel piano T-S.

 

 

Per questo tipo di trasformazioni la variazione di entropia è data da

 

\Delta S = \frac{Q}{T}

 

 

Variazione di entropia in una trasformazione adiabatica reversibile

 

Un'altro tipo di trasformazione che vale la pena di analizzare nel piano T-S è dato dalle adiabatiche reversibili. Tali trasformazioni non scambiano calore, ed essendo \Delta Q=0 è nulla anche la variazione di entropia:

 

\Delta S = 0

 

Nel piano T-S un'adiabatica è rappresentata da un segmento verticale

 

 

Trasformazione adiabatica reversibile nel piano entropia-temperatura

Trasformazione adiabatica reversibile nel piano T-S.

 

 

In questo modo l'area sottesa dal grafico della curva (ossia il calore scambiato) è nulla, in accordo con la definizione di trasformazione adiabatica.

 

 

Variazione di entropia in un ciclo di Carnot

 

Se vogliamo mettere assieme le precedenti considerazioni possiamo pensare al ciclo di Carnot, che per definizione è costituito da due trasformazioni isoterme e due trasformazioni adiabatiche, tutte reversibili. Tale ciclo nel piano T-S è rappresentato da un rettangolo.

 

 

Ciclo di Carnot nel piano entropia-temperatura

Ciclo di Carnot nel piano T-S.

 

 

L'area del rettangolo equivale al lavoro eseguito dalla macchina di Carnot. Se calcoliamo l'area del rettangolo che ha come base superiore il tratto AB e base inferiore S1S2, otteniamo il calore assorbito nel ciclo

 

Q_A = T_2 (S_2 - S_1)

 

L'area (con segno) del rettangolo che ha come base superiore il tratto CD e base inferiore S1S2 corrisponde al calore ceduto

 

Q_C = T_1 (S_1 - S_2) = - T_1 (S_2 - S_1)

 

Il lavoro è la differenza tra il calore assorbito e il calore ceduto

 

W = Q_A - |Q_C| = (T_2 - T_1)(S_2 - S_1)

 

Possiamo così trovare il rendimento del ciclo

 

\eta = \frac{W}{Q_A} =\frac{(T_2 - T_1)(S_2 - S_1)}{T_2(S_2 - S_1)} = \frac{T_2 - T_1}{T_2} = 1 - \frac{T_1}{T_2}

 

E siamo giunti alla formula del rendimento del ciclo di Carnot in cui compaiono le temperature delle due sorgenti, partendo dalle considerazioni sulla variazione di entropia.

 

Per concludere, scriviamo tutte le possibili formule che possono essere usate per il calcolo della variazione dell'entropia tra gli stati A e B nel caso di un gas ideale

 

\Delta S = S_B - S_A = nc_{v} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right) + nR \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\\ \\ \\ \Delta S = S_B - S_A = nc_{v} \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right) + nc_{p} \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\\ \\ \\ \Delta S = S_B - S_A = nc_{p} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right) - nR \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)

 

Da queste discendono i casi particolari. Per le trasformazioni isoterme, isobare e isocore si ha infatti:

 

\mbox{isoterme}\ \ \Delta S = S_B - S_A = nR \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = - nR \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)\\ \\ \\ \mbox{isobare}\ \ \Delta S = S_B - S_A = nc_{p} \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = nc_{p} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)\\ \\ \\ \mbox{isocore}\ \ \Delta S = S_B - S_A = nc_{v} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right) = nc_{v} \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)

 

In ogni caso, poiché l'entropia è una funzione di stato, tutte le equazioni che abbiamo scritto sono equivalenti e portano al medesimo risultato.

 

 


 

Giunti a questo punto disponiamo di tutte le nozioni necessarie per usare il concetto di entropia in modo da scrivere una formulazione matematica del secondo principio della Termodinamica: nella prossima lezione introdurremo il principio di aumento dell'entropia dell'universo.

 

In caso di dubbi o domande, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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