Espansione libera di un gas

L'espansione libera di un gas è una trasformazione termodinamica irreversibile sia isoterma che adiabatica, per cui un gas inserito in un contenitore tende a occupare tutto il volume disponibile.

 

Nel corso di Termodinamica abbiamo più volte citato l'espansione libera di un gas come esempio in diversi contesti. Ora che abbiamo sviluppato buona parte della teoria possiamo analizzare e approfondire gli aspetti di tale trasformazione, che peraltro ben si presta per un ripasso generale degli argomenti trattati.

 

Innanzitutto daremo un'accurata descrizione del fenomeno, lo classificheremo rispetto alle tipologie di trasformazioni termodinamiche a noi note e ne elencheremo le caratteristiche. Successivamente ne effettueremo un'analisi dal punto di vista dell'entropia, dell'energia e della Statistica.

 

Cos'è l'espansione libera di un gas

 

Ricordiamo innanzitutto cosa si intende per espansione libera. Consideriamo un contenitore diviso in due parti che non comunicano tra di loro. Un gas ideale è racchiuso dentro una delle due parti del contenitore e si trova in un certo stato termodinamico, descritto dalle tre coordinate di pressione, volume e temperatura. Nell'altra parte del contenitore è stato fatto il vuoto.

 

Se si solleva la parete divisoria che separa le due parti, vedremo il gas cominciare a espandersi liberamente verso la sezione inizialmente vuota, fino a quando non avrà occupato tutto il volume disponibile. L'espansione libera di un gas consiste esattamente in questo e l'aggettivo libera fa riferimento alla spontaneità del processo: il gas si comporta in questo modo senza che vi siano forze esterne a indurre il fenomeno.

 

Caratteristiche dell'espansione libera di un gas: isoterma e adiabatica

 

In primo luogo osserviamo che tale trasformazione comporta una variazione di volume e di pressione, ma non di temperatura. Per vederlo si utilizza un contenitore con pareti adiabatiche, dunque tali da non consentire scambi di calore tra il gas e l'ambiente esterno, e si osserva che la temperatura resta costante indipendentemente dalla velocità di espansione. L'espansione libera di un gas è pertanto una trasformazione isoterma.

 

Ciò implica che la variazione di energia interna, legata alla variazione di temperatura, è nulla

 

\Delta U=0

 

Inoltre, per l'adiabaticità delle pareti del contenitore, anche il calore scambiato è nullo e di conseguenza l'espansione libera non è solo una trasformazione isoterma ma anche adiabatica

 

Q=0

 

Dal primo principio della Termodinamica segue che anche il lavoro del gas è nullo

 

W=0

 

Dalla legge dei gas perfetti sappiamo che, nel caso di una trasformazione isoterma, il prodotto della pressione per il volume è costante.

 

pV\mbox{ costante}

 

Le due grandezze sono dunque inversamente proporzionali; ciò significa ad esempio che se il contenitore è diviso in due comparti uguali, quando il gas si espande il volume raddoppia e di conseguenza la pressione si dimezza.

 

Irreversibilità dell'espansione libera di un gas e aumento di entropia

 

È strano che entrambe le condizioni di isotermia e adiabaticità possano coesistere, e in effetti ciò è impossibile per una trasformazione reversibile. Una trasformazione isoterma reversibile scambia sempre calore; il punto è che l'espansione libera può essere sia isoterma sia adiabatica in quanto si tratta di un trasformazione irreversibile.

 

L'irreversibilità dell'espansione libera si comprende facilmente: durante l'espansione il gas non scambia né lavoro, né calore. È possibile riportare il gas nello scompartimento in cui si trovava all'inizio, ma per farlo bisogna comprimerlo spendendo lavoro. Così facendo si torna effettivamente allo stato iniziale ma per riuscirci è necessario che l'ambiente spenda energia, subendo una modifica non reversibile.

 

Trattandosi di una trasformazione irreversibile ci aspettiamo che l'entropia aumenti, e in effetti se riprendiamo la formula per il calcolo della variazione di entropia nel caso di un trasformazione isoterma otteniamo:

 

\Delta S = nR \ln\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)

 

Da qui ricaviamo un valore positivo per \Delta S in quanto il volume aumenta, trattandosi di un'espansione

 

V_B>V_A\ \ \to\ \ \Delta S>0

 

Se ad esempio abbiamo una mole di gas e supponiamo che il volume finale sia il doppio di quello iniziale, allora la variazione di entropia è

 

\Delta S = (1\mbox{ mol}) \cdot \left(8,31\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{ K}}\right) \cdot \ln(2) \simeq 5,76\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{K}}

 

L'irreversibilità di un'espansione libera determina quindi un aumento di entropia e, di conseguenza, una degradazione dell'energia: al termine della trasformazione avremo sicuramente una certa quantità di energia inutilizzabile. Sappiamo infatti che tale energia è pari alla differenza tra il lavoro che si produrrebbe con una trasformazione reversibile che lega gli stati A e B e il lavoro realmente prodotto dalla trasformazione irreversibile.

 

Supponiamo di muoverci da A (gas chiuso in un solo comparto del contenitore prima dell'espansione) a B (il gas si è espanso ed ha occupato tutto il volume disponibile) con una trasformazione isoterma reversibile: il lavoro è dato da

 

W_{rev} = nRT \ln\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)

 

Se ora sottraiamo a questo lavoro il lavoro realmente prodotto durante l'espansione libera del gas, che è nullo (W_{irr}=0), otteniamo l'energia inutilizzabile nell'espansione libera da A a B:

 

E_{in} = W_{rev} - W_{irr} =nRT \ln\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)=

 

Confrontando questa formula con quella della variazione di entropia per l'espansione libera del gas da A a B

 

 = T\ \cdot\ \overbrace{nR\ln\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)}^{\Delta S}

 

ricaviamo

 

E_{in}=T \Delta S

 

che poi è la formula generale per il calcolo dell'energia inutilizzabile per qualsiasi trasformazione irreversibile.

 

Analisi statistica dell'espansione libera di un gas

 

Analizzando il fenomeno dell'espansione libera da un punto di vista statistico si vede facilmente che il gas evolve verso lo stato più probabile. È esattamente ciò che ci aspettavamo dalle lezioni sugli aspetti statistici dell'entropia e sulla relazione tra entropia e disordine.

 

Sappiamo infatti che le molecole del gas, al termine dell'espansione, saranno distribuite in modo da essere sostanzialmente equipartite tra i due compartimenti del contenitore. Tale configurazione d'altronde è quella associata al maggior numero di microstati, e dunque quella più probabile.

 

La situazione più improbabile (probabilità prossima allo zero) è quella in cui tutte le molecole del gas restano nel proprio comparto dopo l'apertura della parete divisoria, senza che nessuna si muova verso il comparto vuoto.

 

 

 


 

Come vedete, l'espansione libera di un gas è un buon esempio che ci permette di toccare i molteplici aspetti della Termodinamica. :)

 

Nella lezione successiva tratteremo il terzo caposaldo della teoria, il terzo principio della Termodinamica. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi risolti, o più in generale di risposte ai vistro dubbi, non esitate: qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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