Formulario di Termodinamica

In questo formulario presentiamo tutte le formule della Termodinamica che si possono affrontare sia alle scuole superiori che all'università. Alcune delle formule elencate in questo formulario si trovano in forma differenziale o in forma integrale per venire incontro alle necessità degli studenti universitari.

 

Per chi frequenta le superiori e non conosce il calcolo integrale e il calcolo differenziale, nessun problema: quando possibile, al fianco delle formule incriminate, sono presenti le stesse in una forma comprensibile per gli studenti delle superiori.

 

Formule della Termodinamica

 

Attenzione: non tutti gli argomenti, le definizioni e le applicazioni della Termodinamica possono essere riassunti in una formula! Vi consigliamo di usare il formulario con cautela, non prima di aver acquisito le necessarie basi teoriche. Cliccando sui vari link potete accedere alle lezioni relative a ciascun argomento.

 

Definizione di temperatura

 

T(X)=273,16\cdot \frac{X}{X_{pt}}\ \mbox{ K}\\ \\ T_{pt}:=273,16\mbox{ K}\mbox{ punto triplo dell'acqua}

 

Scale termometriche - Scala Celsius

 

T(\mbox{congelamento acqua},\ P=1\mbox{ atm})=0\ ^\circ\mbox{C}\\ \\ T(\mbox{ebollizione acqua},\ P=1\mbox{ atm})=100\ ^\circ\mbox{C}\\ \\ T(\mbox{punto triplo acqua},\ P=611,7\mbox{ Pa})=0,01\ ^\circ\mbox{C}\\ \\ T(\mbox{ambiente},\ P=1\mbox{ atm})=20\ ^\circ\mbox{C}\\ \\ T(\mbox{zero assoluto})=-273,15\ ^\circ\mbox{C}\\ \\ -273,15\ ^\circ C\leq T(^\circ C)<+\infty\\ \\ T(^\circ\mbox{C}) =[T(\mbox{K})-273,15]\ ^\circ\mbox{C}

 

Scale termometriche - Scala Kelvin

 

T(\mbox{zero assoluto})=0\mbox{ K}\\ \\ T(\mbox{punto triplo acqua},\ P=611,7\mbox{ Pa})=273,16\mbox{ K}\\ \\ T(\mbox{ebollizione acqua},\ P=1\mbox{ atm})=373,15\mbox{ K}\\ \\ 0\ ^\circ\mbox{C}=273,15\mbox{ K}\\ \\ T(\mbox{K})=[T(^\circ\mbox{C})+273,15]\mbox{ K}

 

Scale Termometriche - Scala Fahrenheit

 

T(^\circ\mbox{F}) =\left[\frac{9}{5}T(\mbox{K})-459,67\right]\ ^\circ\mbox{F}\ \ \ ;\ \ \ T(\mbox{K})=\frac{5}{9}[T(^\circ\mbox{F}) + 459,67]\mbox{ K}\\ \\ T(^\circ\mbox{F})=\left[\frac{9}{5}T(^\circ\mbox{C}) + 32\right]\ ^\circ\mbox{F}\ \ \ ;\ \ \ T(^\circ\mbox{C})=\frac{5}{9} [T(^\circ\mbox{F})-32]\ ^\circ\mbox{C}

 

Dilatazione termica lineare

 

L-L_0=\alpha L_0(T-T_0)

 

Dilatazione termica superficiale

 

S-S_0=\sigma S_0(T-T_0)\ \ \ \mbox{con }\sigma=2\alpha

 

Dilatazione termica volumica

 

V-V_0=\beta V_0(T-T_0)\ \ \ \mbox{con }\beta=3\alpha

 

Calore

 

1\mbox{ cal}=4,186\mbox{ J}\\ \\ 1\mbox{ kcal}=10^3\mbox{ cal}=4186\mbox{ J}=4,186\mbox{ kJ}

 

Calore specifico

 

Q=cm\Delta T\ \ \ ;\ \ \ c\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{kg}\cdot\mbox{K}}

 

Capacità termica

 

C=mc\ \ \ ;\ \ \ C\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{K}}\\ \\ Q=C\Delta T

 

Calorimetria

 

Q_{ass}=-Q_{ced}

 

\Delta T>0\ \ \to\ \ Q>0\ \ \to\ \ \mbox{calore assorbito}\\ \\ \Delta T<0\ \ \to\ \ Q<0\ \ \to \ \ \mbox{calore ceduto}

 

Formula del calorimetro

 

c_o=\frac{c_am_a(T_e-T_a)}{m_o(T_o-T_e)}

 

Temperatura di equilibrio (tra due corpi - tra tre corpi - tra n corpi)

 

T_{e} = \frac{m_1c_1T_1 + m_2c_2 T_2}{m_1c_1 + m_2c_2}\\ \\ \\ T_e = \frac{m_1c_1T_1 + m_2c_2 T_2 + m_3c_3 T_3}{m_1c_1 + m_2c_2 + m_3c_3}\\ \\ T_e=\frac{\sum_{i=1}^n m_ic_iT_i}{\sum_{i=1}^n m_ic_i}

 

Calore latente

 

Q=mL\ \ \ ;\ \ \ L\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{kg}}

 

Temperatura di equilibrio nei passaggi di stato (due corpi di cui uno di due effettua un passaggio di stato)

 

 T_e = \frac{m_ac_a T_a + m_gc_g T_g - m_g L_f}{ m_ac_a + m_gc_g}

 

Conducibilità termica

 

k\ \to\ \frac{\mbox{W}}{\mbox{m}\cdot\mbox{K}}

 

Legge di Fourier - Conduzione del calore

 

 Q = -kA \frac{\Delta T}{L} \Delta t\ \ \ \mbox{con }\Delta T=T_2-T_1<0,\ \ T_1>T_2

 

Legge di Fourier - Calore nell'unità di tempo

 

q=\frac{Q}{\Delta t}\ \ \ ;\ \ \ q\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{s}}=\mbox{W}

 

Irraggiamento - Legge di Stefan-Boltzmann (energia irradiata nell'unità di tempo)

 

\varepsilon = \sigma e T^4\ \ \ \varepsilon\ \to\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{m}^2\mbox{s}}

 

\sigma costante di Stefan-Boltzmann

 

 \sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{m}^2\mbox{s}\mbox{K}^4}

 

e emissività del corpo

 

 

Gas ideali

 

- Sono costituiti da molecole con volume trascurabile (molecole puntiformi).

 

- Le molecole non interagiscono tra loro a distanza (molecole non interagenti).

 

- Le molecole interagiscono con le pareti del recipiente tramite urti perfettamente elastici.

 

- Le molecole sono tutte uguali tra loro.

 

- Le molecole si muovono di moto casuale in ogni direzione.

 

 

Legge di Boyle (trasformazione isoterma)

 

T\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ pV=\mbox{costante}

 

Prima legge di Gay-Lussac (trasformazione isobara)

 

p\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \begin{cases}V=V_0(1+ \alpha t)\\ V=V_0\alpha T\\ \frac{V}{T}\mbox{ costante}

 

Seconda legge di Gay-Lussac (trasformazione isocora)

 

V\mbox{ costante}\ \Rightarrow\ \begin{cases}p=p_0(1+\alpha t)\\  p=p_0\alpha T \\ \frac{p}{T}\mbox{ costante}\end{cases}

 

Mole

 

Una mole (1 mol) di una sostanza è la quantità di tale sostanza che contiene tante entità elementari, atomi o molecole, quante sono le entità fondamentali contenute in 12 grammi di isotopo 12C del carbonio.

 

\mbox{Entità fondamentali: atomi}\ \to\ m^g_{(1\mbox{ mol})}=\mbox{PA}\cdot (1\mbox{ g})\\ \\ \mbox{Entità fondamentali: molecole}\ \to\ m^g_{(1\mbox{ mol})}=\mbox{PM}\cdot (1\mbox{ g})

 

m^g massa di 1 mole di sostanza espressa in grammi

 

\mbox{PA} peso atomico

 

\mbox{PA} peso molecolare

 

M_m=\frac{m^g}{n}\ \ ;\ \ M_m\ \to\ \frac{\mbox{g}}{\mbox{mol}}

 

n=\frac{m^g}{M_m}

 

M_m massa molare

 

n\ \to\ \mbox{mol} numero di moli

 

V_m=\frac{V}{n}\ \ ;\ \ V_m\ \to\ \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{mol}}

 

n=\frac{V}{V_m}

 

V_m volume molare

 

Numero di Avogadro

 

Il numero di Avogadro è il numero di atomi di carbonio 12 presenti in 12 grammi di tale sostanza.

 

N_A \ = \ 6,02214129 \times 10^{23} \ \mbox{mol}^{-1}\ \ \ ;\ \ \ N_A\ \to\ \frac{1}{\mbox{mol}}

 

N=N_A\cdot n=6,02214129 \times 10^{23}

 

N numero di atomi/molecole in 1 mole

 

1\mbox{ g}=N_A \mbox{ u}

 

\mbox{u} unità di massa atomica

 

M_{tot} = N\cdot \mbox{MA} = nN_{A} \cdot \mbox{MA}\\ \\  M_{tot} = N\cdot \mbox{MM} = nN_{A} \cdot \mbox{MM}

 

M_{tot} massa totale

 

\mbox{MA} massa atomica

 

\mbox{MM} massa molecolare

 

N_A=\frac{R}{k_B}

 

R=8,314472\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{mol}\cdot\mbox{K}} costante universale dei gas

 

k_B=1,3806488 \times 10^{-23} \ \frac{\mbox{J}}{\mbox{K}} costante di Boltzmann

 

N_A=\frac{F}{q_e}

 

F=96485,3365 \ \frac{\mbox{C}}{\mbox{mol}} costante di Faraday 

 

q_e=-1,602176565 \times 10^{-19} \mbox{ C} carica dell'elettrone cambiata di segno

 

 

Legge di Avogadro - Volume e volume molare occupato da 1 mole di gas a 0 °C e 1 atm

 

V_0=22,41\ \ell=0,02241\mbox{ m}^3\ \ \ (0\ ^{^\circ}\mbox{C},\ 1\mbox{ atm})\\ \\ V_{m,0}=22,41\ \frac{\mbox{\ell}}{\mbox{ mol}}=0,02241\ \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{mol}}\ \ \ (0\ ^{^\circ}\mbox{C},\ 1\mbox{ atm})

 

Legge dei gas ideali (equazione di stato dei gas perfetti)

 

pV = nRT

 

Legge dei gas ideali (variante con costante di Boltzmann)

 

 pV = N k_{B} T

 

Lavoro di un gas (caso generale)

 

W=\int_{V_A}^{V_B}p(V)dV

 

Lavoro di un gas (trasformazione isobara)

 

W=p\Delta V = p (V_B - V_A)

 

Lavoro di un gas (trasformazione isocora)

 

W=0

 

Calore specifico molare

 

\mbox{a pressione costante:}\ \ c_{p} = \frac{1}{n} \left( \frac{dQ}{dT} \right)_{p}\\ \\ \mbox{a volume costante: }\ \ c_{V} = \frac{1}{n} \left( \frac{dQ}{dT} \right)_{V}

 

c_p>c_V

 

Q_V=nc_V\Delta T\ \ \ (c_V\mbox{ costante})\\ \\ Q_p=nc_p\Delta T\ \ \ (c_p\mbox{ costante}) 

 

\gamma:=\frac{c_p}{c_V}

 

Calore specifico molare - Gas monoatomici

 

c_V=\frac{3}{2}R\ \ ;\ \ c_p=\frac{5}{2}R\ \ ;\ \ \gamma=\frac{5}{3}

 

Calore specifico molare - Gas monoatomici

 

c_V=\frac{5}{2}R\ \ ;\ \ c_p=\frac{7}{2}R\ \ ;\ \ \gamma=\frac{7}{5}

 

Calore specifico molare - Relazione di Mayer

 

c_p-c_V=R

 

Energia interna (funzione di stato) - Variazione tra due stati A e B

 

\Delta U=U(B)-U(A)\\ \\ \Delta U = n c_V \Delta T\ \ \ \mbox{se }c_V\mbox{ costante}\\ \\ \\ \Delta U = n \int_{T_{A}}^{T_{B}}{c_V(T) dT}\ \ \ \mbox{se }c_V\mbox{ non costante}\\ \\ \\ \Delta T\ \Rightarrow\ \Delta U=0

 

Primo principio della Termodinamica

 

\Delta U=Q-W

 

Q\mbox{ assorbito dal sistema}\ \to\ Q>0\\ \\ Q\mbox{ ceduto dal sistema}\ \to\ Q<0\\ \\ W\mbox{ compiuto dal sistema}\ \to\ W>0\\ \\ W\mbox{ esercitato sul sistema}\ \to\ W<0

 

Trasformazioni termodinamiche

 

\mbox{Stato di un sistema}\ \leftrightarrow\ (V,p,T)

 

Trasformazioni reversibili

 

W_{A\to B}+W_{B\to A}=0\ \to\ W_{B\to A}=-W_{A\to B}\\ \\ Q_{A\to B}+Q_{B\to A}=0\ \to\ Q_{B\to A}=-Q_{A\to B}\\ \\ \Delta U_{A\to B}+\Delta U_{B\to A}=0\ \to\ \Delta U_{B\to A}=-\Delta U_{A\to B}

 

Trasformazione isoterma

 

T\mbox{ costante}\ \ \ \begin{cases}pV\mbox{ costante}\\ \Delta U=0\\ Q=W\\ W=nRT \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\end{cases}

 

Trasformazione isocora

 

V\mbox{ costante}\ \ \ \begin{cases}\frac{p}{T}\mbox{ costante}\\ \Delta U=nc_V\Delta T\\ W=0\\ \Delta U=Q\\ Q=nc_V(T_B-T_A)\end{cases}

 

Trasformazione isobara

 

p\mbox{ costante}\ \ \ \begin{cases}\frac{V}{T}\mbox{ costante}\\ \Delta U=nc_V\Delta T\\ W=p\Delta V=p(V_B-V_A)=nR(T_B-T_A)\\ Q=nc_{p} (T_{B} - T_{A} )\end{cases}

 

Trasformazione adiabatica

 

Q=0\ \ \ \begin{cases}pV^\gamma=\mbox{ costante}\\ \Delta U=-W\\ W=nc_V(T_A-T_B)\\ T_A V_A^{\gamma - 1} = T_B V_B^{\gamma - 1}\ \ ;\ \ p_A V_A^{\gamma} = p_B V_B^{\gamma}\ \ ;\ \ T_A p_A^{\tfrac{1 - \gamma}{\gamma}} = T_B p_B^{\tfrac{1 - \gamma}{\gamma}}\\ \\ \gamma = \dfrac{c_p}{c_V} \end{cases}

 

Trasformazioni cicliche

 

A\equiv B\ \ \ \begin{cases}\Delta U=0\\ Q=W\end{cases}

 

Macchina termica - Lavoro e rendimento

 

W=Q_A-|Q_C|

 

\eta=\frac{W}{Q_A}=1-\frac{|Q_C|}{Q_A}

 

Rendimento di una macchina reversibileciclo di Carnot

 

\eta=1-\frac{T_1}{T_2}\ \ \mbox{con }T_1<T_2

 

Rendimento di una macchina irreversibile

 

\eta=\frac{W}{Q_A}=1-\frac{|Q_C|}{Q_A}

 

Teorema di Carnot

 

\eta_{irr}\leq\eta_{rev}\ \ \mbox{fissate }T_1,T_2

 

Ciclo Otto

 

\eta=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}\\ \\ \eta = 1 - \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma -1}\\ \\ r=\frac{V_2}{V_1}\ \ (\mbox{rapporto di compressione})

 

→ considerando la benzina come un gas biatomico

 

\eta = 1 - \frac{1}{r^{0,4}}

 

Ciclo Diesel

 

\eta=1 - \frac{ \left( T_D - T_A \right) }{\gamma \left( T_C - T_B \right)}\\ \\ \eta= 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} \cdot \frac{C^{\gamma} - 1}{\gamma \left( C - 1 \right)}\\ \\ C=\frac{V_2}{V_1}\ \ \mbox{rapporto di combustione a pressione costante}\\ \\ r=\frac{V_3}{V_1}\ \ \mbox{rapporto di compressione volumetrico}

 

Ciclo frigorifero - Lavoro e coefficiente di prestazione 

 

\mbox{COP}=\frac{Q_A}{|W|}\\ \\ COP = \frac{T_1}{T_2 - T_1}

 

Teoria cinetica dei gas - Pressione ed energia cinetica media

 

- Numero di collisioni contro la parete del contenitore

 

N=\frac{1}{2} \eta v_x\Delta t A

 

- Forza esercitata dal volume di gas

 

F=\eta mA v_x^2

 

- Pressione esercitata dalle molecole del gas

 

p=\eta m\langle v_x^2\rangle

 

- Pressione del gas con l'energia cinetica media

 

p = \frac{2}{3} \eta \langle E_c\rangle

 

Teoria cinetica dei gas - Temperatura ed energia cinetica

 

- Energia cinetica traslazionale media in funzione della temperatura di un gas

 

\langle E_c\rangle=\frac{3}{2}\frac{n}{N}RT

 

- Energia cinetica traslazionale media in funzione della temperatura dei gas

 

\langle E_c\rangle=\frac{3}{2} k_BT

 

- Velocità quadratica media in funzione della temperatura del gas

 

\langle v^2\rangle=\frac{3k_BT}{m}

 

- Velocità quadratica media in funzione della temperatura del gas

 

\langle v^2\rangle=\frac{3RT}{M_m}

 

Principio di equipartizione dell'energia

 

\langle E_c\rangle=\frac{L}{2}k_BT

 

\mbox{gas monoatomico}:\ L_T=3\ ;\ L=3\\ \\ \mbox{gas biatomico}:\ L_T=3\ ;\ L_R=2\ (\mbox{*}) \ ;\ L=5\\ \\ \mbox{gas poliatomico}:\ L_T=3\ ;\ L_R=3\ ;\ L=6

 

*a patto che la molecola non ruoti attorno al proprio asse (o manubrio)

 

Calore specifico molare a volume costante in funzione dei gradi di libertà

 

\frac{L}{2} R = c_v

 

Distribuzione di Maxwell delle velocità

 

- Formulazione differenziale

 

dN = 4 \pi N_0 \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{- \tfrac{m}{2 k_BT} v^2} dv

 

- Funzione di distribuzione delle velocità

 

dN = F(v) dv

 

- Velocità più probabile, velocità quadratica media e velocità media

 

v_p = \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}\\ \\ \langle v\rangle = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \simeq 1,23 \ v_p\\ \\ v_m \simeq 1,13 \ v_p

 

- Funzione di Maxwell normalizzata rispetto alla velocità più probabile

 

y(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} x^2 e^{- x^2}\ \ \ \mbox{con }x:=\frac{v}{v_p}

 

- Distribuzione di Maxwell delle velocità in forma normalizzata

 

\frac{dN}{N_0} = y(x) dx

 

Libero cammino medio

 

\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \eta \pi d^2}

 

\eta=\frac{N}{V} densità molecolare

 

Secondo principio della Termodinamica

 

- Kelvin-Planck: è impossibile realizzare una trasformazione termodinamica che abbia come unico risultato la completa trasformazione in lavoro del calore assorbito da una sorgente a temperatura costante.

 

- Clausius: è impossibile realizzare un processo termodinamico che abbia come unico risultato il passaggio di calore da un corpo a temperatura minore ad uno a temperatura maggiore.

 

Disuguaglianza di Clausius

 

\sum_{k = 1}^{n}{\frac{Q_k}{T_k}} \leq 0

 

Entropia (funzione di stato) - Variazione di entropia tra due stati A e B

 

\Delta S=\int_A^B{\frac{dQ}{T}}\\ \\ \\ \Delta S=\frac{Q}{T}\ \ \ (T\mbox{ costante})

 

- variazione di entropia in una trasformazione ciclica

 

\Delta S=0

 

 

- variazione di entropia in una trasformazione adiabatica reversibile

 

\Delta S=0

 

- variazione di entropia in una trasformazione isoterma reversibile

 

\Delta S = S_B - S_A = nR \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = - nR \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)

 

- variazione di entropia in una trasformazione isobara reversibile

 

\Delta S = S_B - S_A = nc_{p} \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) = nc_{p} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)

 

- variazione di entropia in una trasformazione isocora reversibile

 

\Delta S = S_B - S_A = nc_{v} \ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right) = nc_{v} \ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)

 

Principio di aumento dell'entropia

 

\Delta S_{tot}  \geq 0\ \ \ \begin{cases}\mbox{reversibile }=0\\ \mbox{reversibile }>0\end{cases}

 

Variazione di entropia per due corpi a contatto termico

 

\Delta S = \int_{T_0}^{T_{e}}{\frac{dQ}{T}} =\int_{T_0}^{T_{e}}{\frac{m_0c_0dT}{T}} =\\ \\ \\ = m_0c_0 \ln\left(\frac{T_{e}}{T_0}\right)

 

Variazione di entropia in un passaggio di stato

 

\Delta S = \Delta S_{corpo} + \Delta S_{ext}=\frac{Q_{corpo}}{T_{corpo}}+\frac{Q_{ext}}{T_{ext}}

 

Principio di degradazione dell'energia - Energia inutilizzabile

 

E_{in}=W_{rev}-W_{irr}\\ \\ E_{in} = T \Delta S

 

Equazione di Boltzmann - Entropia e numero di microstati N per il macrostato di un sistema

 

S=k_B\ln(N)+c\ \ \ \mbox{con }c\mbox{ costante arbitraria}

 

Espansione libera di un gas (trasformazione irreversibile isoterma e adiabatica)

 

T\mbox{ costante},\ Q=0\ \ \ \begin{cases}pV\mbox{ costante}\\ \Delta U=0\\ W=0\\ \Delta S = nR \ln\left(\frac{V_{B}}{V_{A}}\right)\end{cases}

 

Terzo principio della Termodinamica

 

In una trasformazione reversibile la variazione di entropia tende a zero al tendere a zero della temperatura assoluta.

 

T=0\mbox{ K} \ \ \Rightarrow \ \ S=0\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{K}}

 

(Formulazione equivalente) Non è possibile raggiungere lo zero assoluto mediante un numero finito di processi.

 

Equazione di Van der Waals

 

\left( p + a \frac{n^{2}}{V^{2}} \right) \left( V - nb \right) = nRT

 

→ pressione interna: a \frac{n^{2}}{V^{2}}

 

→ volume escluso: nb

 

Entalpia (funzione di stato) e variazione di entalpia tra due stati A e B

 

H=U+pV\\ \\ \Delta H=nc_p\Delta T

 

Energia libera di Gibbs (funzione di stato) e variazione di energia libera di Gibbs tra due stati A e B

 

G = H - TS\\ \\ \Delta G = \Delta H - T \Delta S

 

 

Il formulario di Termodinamica in versione pdf è disponibile qui - click per il download.

 

 

Lezione precedente

 
 

Tags: formulario con tutte le formule di Termodinamica.